高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)2.1.2两条直线平行和垂直的判定(原卷版+解析)

2.1.2两条直线平行和垂直的判定备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：集合的基本概念；元素与集合的关系；用列举法表示集合；用描述法表示集合；集合中元素的特性及求参课堂知识小结考点巩固提升知识归纳两条直线平行的判定（1）平行：且（注意验证）（2）平行：且（验证）（3）当斜率不存在时，两直线平行，倾斜角为90.两条直线垂直的判定（1）垂直：（2）垂直：（3）当一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0.三．平行和垂直直线的求法与直线平行的直线可设为：考点讲解直线垂直的直线可设为：考点讲解考点1：由斜率判断两条直线平行例1．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；

②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；其中正确命题的个数是______．【方法技巧】1，平行：且（注意验证）2.平行：且（验证）3.当斜率不存在时，两直线平行，倾斜角为90.4.根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；【变式训练】【变式1】．下列说法中正确的是（

）A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行【变式2】．设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要D．既不充分也不必要【变式3】．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)的倾斜角为60°，经过点，；(2)平行于y轴，经过点，．考点2：由斜率判断两条直线垂直例2．与直线垂直的直线l的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【方法技巧】由直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率，再根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【变式训练】【变式1】．已知直线的斜率，直线的斜率，则与()A．平行

B．垂直

C．重合

D．非以上情况【变式2】．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（

）A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直【变式3】．已知直线，则与（

）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直考点3：已知直线平行求参数例3．若直线与直线平行，则__________.【方法技巧】1.利用两直线平行的充要条件即可.2.注意斜率不存在的情况【变式训练】【变式1】．已知直线，．若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．2【变式2】．若直线与直线平行，则（

）A．或0 B． C．1或0 D．1【变式3】．已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.考点4：已知直线垂直求参数例4．已知直线和直线互相垂直，则实数a的值为（

）A．0 B． C．0或 D．0或2【方法技巧】1.直接由直线垂直的公式求解即可.2.注意斜率不存在的情况【变式训练】【变式1】．已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（

）A．2， B．－2， C．－2， D．2，【变式2】．已知直线与互相垂直，则（

）A． B． C．1 D．1或【变式3】．（多选）已知直线与直线，则直线与直线的位置关系可能是（

）A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直考点5：直线平行垂直的判定在几何中的应用例5．已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：(1)平行；(2)垂直．【方法技巧】由两线的位置关系，结合已知条件及直线平行、垂直的判定，即可求解.【变式训练】【变式1】．已知直线l的倾斜角为10°，直线l1l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为（

）A．10°，10° B．80°，80°C．10°，100° D．100°，10°【变式2】．已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为_____________．【变式3】．已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形．知识小结知识小结1.、两条直线平行的判定公式成立的条件：①两直线不重合；②两直线的斜率均存在.特别地，两直线的倾斜角都为90°，互相平行或重合.二、两条直线垂直的判定 成立的条件：两直线的斜率均存在.特别地，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.巩固提升巩固提升一、单选题1．将直线绕着原点顺时针旋转，得到新直线的斜率是（

）A． B． C． D．2．直线与直线平行，则实数的值为(

)A． B． C． D．3．若直线与直线互相垂直，则实数a的值是（

）A． B．6 C． D．4．在平面直角坐标系中，若直线：与直线：同时与直线：垂直，则实数，的值分别为（

）A．2， B．，2 C．1， D．4，5．“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．已知，，则满足的的值是（

）A． B．0 C．或0 D．或07．直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交8．若直线与直线垂直，垂足为，则（

）A． B．4 C． D．二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（

）A． B．C． D．10．下列说法正确的有（

）A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行三、填空题11．若直线与互相垂直，则实数___________．12．若直线与直线平行，则m的值为______．13．已知直线的斜率为3，直线经过点，，若直线，则_______.14．已知直线：和直线：．当______时，轴，当______时，．四、解答题15．已知两条直线：，为何值时，与：（1）垂直；（2）平行16．已知直线经过点，，直线经过，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.2.1.2两条直线平行和垂直的判定备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：集合的基本概念；元素与集合的关系；用列举法表示集合；用描述法表示集合；集合中元素的特性及求参课堂知识小结考点巩固提升知识归纳两条直线平行的判定（1）平行：且（注意验证）（2）平行：且（验证）（3）当斜率不存在时，两直线平行，倾斜角为90.两条直线垂直的判定（1）垂直：（2）垂直：（3）当一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0.三．平行和垂直直线的求法与直线平行的直线可设为：考点讲解直线垂直的直线可设为：考点讲解考点1：由斜率判断两条直线平行例1．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；

②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；其中正确命题的个数是______．【答案】【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；所以正确的命题个数是4．故答案为：．【方法技巧】1，平行：且（注意验证）2.平行：且（验证）3.当斜率不存在时，两直线平行，倾斜角为90.4.根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；【变式训练】【变式1】．下列说法中正确的是（

）A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行【答案】C【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；若，则或，的斜率都不存在，B错误；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．故选：C.【变式2】．设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立；反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件，故选：C.【变式3】．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)的倾斜角为60°，经过点，；(2)平行于y轴，经过点，．【答案】(1)或与重合(2)【分析】（1）根据两直线的斜率关系即可判断位置关系，（2）根据两直线均无斜率即可判断位置关系.（1）由题意，知直线的斜率，直线的斜率，所以，所以或与重合．（2）由题意，知是y轴所在的直线，所以．考点2：由斜率判断两条直线垂直例2．与直线垂直的直线l的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【详解】由题知直线的斜率为，故直线l的斜率为，根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为150°.故选：D【方法技巧】由直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率，再根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【变式训练】【变式1】．已知直线的斜率，直线的斜率，则与()A．平行

B．垂直

C．重合

D．非以上情况【答案】B【详解】根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直故选：B【变式2】．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（

）A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直【答案】C【分析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系【详解】设方程的两根为、，则．直线、的斜率，故与相交但不垂直．故选：C．【变式3】．已知直线，则与（

）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【分析】由直线的斜率间的关系可得结论．【详解】因为的斜率分别为，所以，所以.故选：A.考点3：已知直线平行求参数例3．若直线与直线平行，则__________.【答案】【分析】利用两直线平行的充要条件即可.【详解】由直线与直线平行，可得:，解得，所以，.故答案为：【方法技巧】1.利用两直线平行的充要条件即可.2.注意斜率不存在的情况【变式训练】【变式1】．已知直线，．若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】直接由两直线平行公式求解即可.【详解】由题意得，，解得.经验证符合题意.故选：D.【变式2】．若直线与直线平行，则（

）A．或0 B． C．1或0 D．1【答案】D【分析】分和两种情况求解【详解】当时，两直线分别为，，此时两直线垂直，不平行，不合题意，当时，因为直线与直线平行，所以，解得，综上，，故选：D【变式3】．已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.【答案】0【分析】根据两直线平行求出n，由两直线间的距离是求出m，即可得到.【详解】因为直线（）与直线互相平行，所以且.又两直线间的距离是，所以，因为，解得：.所以.故答案为：0考点4：已知直线垂直求参数例4．已知直线和直线互相垂直，则实数a的值为（

）A．0 B． C．0或 D．0或2【答案】D【详解】由题意得，，解得或2.故选：D.【方法技巧】1.直接由直线垂直的公式求解即可.2.注意斜率不存在的情况【变式训练】【变式1】．已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（

）A．2， B．－2， C．－2， D．2，【答案】A【分析】点与关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线上，列式求解即可.【详解】易知，则直线的斜率为-2，所以，即．又AB的中点坐标为，代入，得.故选：A.【变式2】．已知直线与互相垂直，则（

）A． B． C．1 D．1或【答案】C【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出关于的方程，求解即可．【详解】解：因为直线与互相垂直，所以，解得.故选：C【变式3】．（多选）已知直线与直线，则直线与直线的位置关系可能是（

）A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直【答案】ABC【分析】利用直线与直线相交、平行、垂直、重合的性质直接求解即可.【详解】直线的斜率为，过定点，直线的斜率为，过点．若直线与相交，则，而，即可以成立，A正确；若直线与重合，则，且，而，可以有，B正确；若直线与平行，则且，而，可以有，C正确；若直线与垂直，则，则，与矛盾，直线与不可能垂直，D错误．故选：ABC．考点5：直线平行垂直的判定在几何中的应用例5．已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：(1)平行；(2)垂直．解：(1)直线相交，则，即，所以或.当时，，，符合题设；当时，，，两线重合，不合题设；综上，.(2)直线垂直，则，可得.【方法技巧】由两线的位置关系，结合已知条件及直线平行、垂直的判定，即可求解.【变式训练】【变式1】．已知直线l的倾斜角为10°，直线l1l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为（

）A．10°，10° B．80°，80°C．10°，100° D．100°，10°【答案】C【详解】∵l1l，∴它们的倾斜角相等，即l1的倾斜角为10°，∵l2⊥l，若l2的倾斜角为，则，∴，即，∴.故选：C.【变式2】．已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为_____________．【答案】##【分析】根据直线方程可求出；根据求出，进而可求出直线的倾斜角.【详解】直线方程直线的倾斜角大小为故答案为：【变式3】．已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形．【答案】证明见解析【分析】根据题意，只要证明四边形一组对边平行，且不相等，即可证明四边形为梯形.【详解】由点，，，，可得,而,,故,但,所以四边形ABCD是梯形．知识小结知识小结1.、两条直线平行的判定公式成立的条件：①两直线不重合；②两直线的斜率均存在.特别地，两直线的倾斜角都为90°，互相平行或重合.二、两条直线垂直的判定 成立的条件：两直线的斜率均存在.特别地，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.巩固提升巩固提升一、单选题1．将直线绕着原点顺时针旋转，得到新直线的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据两直线垂直充要条件即可求得新直线的斜率.【详解】直线的斜率为由题意可知新直线与直线互相垂直，则新直线的斜率为故选：A2．直线与直线平行，则实数的值为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】两直线斜率存在时，两直线平行，斜率相等，据此即可求出a的值．【详解】根据题意，若直线与直线平行，则有，解可得：；故选：A﹒3．若直线与直线互相垂直，则实数a的值是（

）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；【详解】解：因为直线与直线互相垂直，所以，解得；故选：B4．在平面直角坐标系中，若直线：与直线：同时与直线：垂直，则实数，的值分别为（

）A．2， B．，2 C．1， D．4，【答案】D【分析】由直线垂直得到方程组，求出，的值.【详解】由题意得：，解得：故选：D5．“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由直线与直线垂直求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】直线与直线垂直,则，解得：或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：B.6．已知，，则满足的的值是（

）A． B．0 C．或0 D．或0【答案】C【分析】直接由直线的一般方程平行的公式求解即可.【详解】由可得，得或,当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；故满足的的值为0或．故选：C.7．直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【答案】B【分析】利用两直线平行的等价条件即可求解.【详解】因为直线和直线平行，所以，故直线为，与直线平行故选：B8．若直线与直线垂直，垂足为，则（

）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】根据垂直关系可求，再根据点在直线上可求，，从而可得正确的选项.【详解】因为与直线垂直，故即，因为垂足为，故，故，故，故选：D.二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据斜率确定正确选项.【详解】直线的斜率为，直线、直线的斜率为，不符合题意.直线、直线的斜率为，符合题意.故选：BC10．下列说法正确的有（

）A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行【答案】AD【分析】根据斜率与两条直线位置关系可判断A；两直线平行斜率可能都不存在可判断B；另一条直线的斜率存在但不为可判断C；根据两直线的位置关系可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以这两条直线可能平行，故选项A正确；对于B：若，则或两条直线的斜率都不存在，故选项B不正确；对于C：