高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题40用二分法求方程的近似解(原卷版+解析)

专题40用二分法求方程的近似解知识点一二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点C．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．知识点三新知拓展1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．题型一二分法的适用条件1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,33．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是()4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCD5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．6．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3 D．x47．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx8．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是()①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.A．①②B．①③C．①④ D．②9．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1题型二用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2，－1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为()A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)C．(1.5,2) D．不能确定5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为()A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)6．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.67．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4] B．[－2,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.510．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．11．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918－0.3604－0.9989由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．14．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过eq\f(1,4)(不能用计算器)．15．已知方程2x＋2x＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间；(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．参考数值：x1.18751.1251.251.31251.3751.52x2.2782.1812.3782.4842.5942.8316．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)17．求方程lgx＝2－x的近似解．(精确度为0.1)18．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．19．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)题型三二分法的实际应用1．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．2．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1.(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．4．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？专题40用二分法求方程的近似解知识点一二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点C．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．知识点三新知拓展1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．题型一二分法的适用条件1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()[解析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A．2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3[解析]图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是()[解析]由于只有C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCD[解析]二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．答案为B5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．[解析]因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．6．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3 D．x4[解析]由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．7．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx[解析]对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．8．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是()①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.A．①②B．①③C．①④ D．②[解析]由二分法的定义知①②正确.9．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1[解析]因为f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2＝(x＋eq\r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．题型二用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点[解析]用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解[解析]二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2，－1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2][解析]∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为()A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)C．(1.5,2) D．不能确定[解析]由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为()A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)[解析]因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．6．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6[解析]已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝eq\f(1,2)(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案C7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．[解析]因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4] B．[－2,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))[解析]∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)).答案D9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.5[解析]由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.40625,1.4375)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.10．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．[解析]f(1.5625)≈0.003>0，f(1.5562)≈－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.5562，1.5625)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.5625.11．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)[解析]∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，∴方程的解在(0.6875,0.75)上，而|0.75－0.6875|<0.1，∴方程的一个近似解为0.6875.（答案不唯一）12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918－0.3604－0.9989由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．[解析]因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解．13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．[解析]∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．14．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过eq\f(1,4)(不能用计算器)．[解析]∵f(2)<0，f(3)>0，∴f(x)的零点x0∈(2,3)．取x1＝eq\f(5,2)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝lneq\f(5,2)－1＝lneq\f(5,2)－lne<0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))f(3)<0，∴x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3)).取x2＝eq\f(11,4)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))＝lneq\f(11,4)－eq\f(1,2)＝lneq\f(11,4)－lneeq\s\up15(eq\f(1,2))>0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<0，∴x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(11,4))).而eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)－\f(5,2)))＝eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(11,4)))即为符合条件的一个区间．15．已知方程2x＋2x＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间；(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．参考数值：x1.18751.1251.251.31251.3751.52x2.2782.1812.3782.4842.5942.83[解析](1)令f(x)＝2x＋2x－5.因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内．(2)用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值符号(1,2)1.5f(1.5)>0(1,1.5)1.25f(1.25)<0(1.25,1.5)1.375f(1.375)>0(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)>0(1.25,1.3125)因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.3125－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数的零点近似值为1.3125，即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.3125.16．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)[解析]令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.17．求方程lgx＝2－x的近似解．(精确度为0.1)[解析]在同一平面直角坐标系中，作出y＝lgx，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lgx＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．设f(x)＝lgx＋x－2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)；f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)；f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75,2)，f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)；f(1.75)<0，f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125)．∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，∴方程的近似解可取为1.8125.18．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．[解析]确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(－1)>0，f(－2)<0(－2，－1)x0＝eq\f(－1－2,2)＝－1.5f(x0)＝4.375>0(－2，－1.5)x1＝eq\f(－1.5－2,2)＝－1.75f(x1)≈2.203>0(－2，－1.75)x2＝eq\f(－1.75－2,2)＝－1.875f(x2)≈0.736>0(－2，－1.875)x3＝eq\f(－1.875－2,2)＝－1.9375f(x3)≈－0.0974<0(－1.9375，－1.875)x4＝eq\f(－1.875－1.9375,2)＝－1.90625f(x4)≈0.3280>0(－1.9375，－1.90625)x5＝eq\f(－1.9375－1.90625,2)＝－1.921875f(x5)≈0.1174>0(－1.9375，－1.921875)x6＝eq\f(－1.9375－1.921875,2)＝－1.9296875f(x6)≈0.0105>0(－1.9375，－1.9296875)由于|－1.9296875＋1.9375|＝0.0078125<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.9296875.19．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)[解析]函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－2<0，f(1.5)>0，故f(x)在(1,1.5)内有零点．又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，所以(x＋1)(x－eq\r(2))(x＋eq\r(2))＝0，所以f(x)在(1,1.5)内的零点为eq\r(2)，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.而根据二分法，将(1,1.5)分为(1,1.25)，(1.25,1.5)，因f(1.25)≈－0.984<0，故f(x)的零点在(1.25,1.5)内，此时区间长度为0.25>ε，继续下去，f(x)的零点在(1.375,1.4375)内，此时区间长度为0.0625<ε，此时零点的近似解可取1.375或1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．题型三二分法的实际应用1．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．[解析]∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点eq\f(1,2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)a＋b＋c＝eq\f(3,4)a＋(－a)＝－eq\f(1,4)a<0.∵f(0)>0，f(1)>0，∴函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上各有一个零点．又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．2．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1.(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．[解析](1)∵f(0)＝1>0，f(2)＝－eq\f(1,3)<0，∴f(0)·f(2)＝－eq\f(1,3)<0，由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．(2)取x1＝eq\f(1,2)(0＋2)＝1，得f(1)＝eq\f(1,3)>0，由此可得f(1)·f(2)＝－eq\f(1,9)<0，下一个有解区间为(1,2)．再取x2＝eq\f(1,2)(1＋2