高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题32指数函数的概念、图象与性质(原卷版+解析)

专题32指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.温馨提示：指数函数解析式的3个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.2．指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称3．新知拓展(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当a>b>1时，①若x>0，则ax>bx>1；②若x<0，则1>bx>ax>0.当1>a>b>0时，①若x>0，则1>ax>bx>0；②若x<0，则bx>ax>1.(2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．(3)当a>1时，x→－∞，y→0；当0<a<1时，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x趋近于正无穷大”)题型一指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1 D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2．下列函数一定是指数函数的是()A．y＝2x＋1 B．y＝x3C．y＝3·2x D．y＝3－x3．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－1.A．0个 B．1个C．3个 D．4个4．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指数函数的个数是()A．0 B．1C．2 D．35．下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.A．1 B．2C．3 D．06．指出下列哪些是指数函数．(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，且a≠1)).7．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．8．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则()A．a＝1或a＝3 B．a＝1C．a＝3 D．a>0且a≠19．函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.10．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是()A．4 B．1或3C．3 D．111．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.12．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．14．已知函数f(x)为指数函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.15．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.16．若点(a,27)在函数y＝(eq\r(3))x的图象上，则eq\r(a)的值为()A.eq\r(6) B．1C．2eq\r(2) D．017．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，则x＝________.18．已知f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，若f(a)＝5，则f(2a)＝________.19．若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋eq\f(f6,f5)＋…＋eq\f(f2020,f2019)＝()A．1010B．2020C．2019D．1009题型二指数函数的图象及其应用1．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x的图象可能是()2．函数y＝3－x的图象是()ABCD3．函数y＝2－|x|的大致图象是()4．函数y＝a－|x|(0<a<1)的图象是()ABCD5．函数y＝－2－x的图象一定过第________象限．6．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<07．已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()8．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在()A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限9．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A．0<a<1，且b>0 B．a>1，且b>0C．0<a<1，且b<0 D．a>1，且b<010．若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则()A．a＞1 B．a＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜111．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是()12．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的图象可能是()13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()14．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．16．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．17．函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)19．已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝()A．1 B．3C．4 D．220．函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．21．若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则()A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1C．0＜m≤1 D．m≥022．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.23．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．题型三指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝2eq\s\up15(eq\f(1,x－4));(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|));(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3；(5)y＝4x＋2x＋1＋2.2．(1)求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的定义域与值域；(2)求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，x∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x的值．3．函数y＝eq\r(2x－1)的定义域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)4．函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定义域是________．5．若函数y＝eq\r(ax－1)的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为()A．a>0 B．a<1C．0<a<1 D．a≠16．若函数f(x)＝eq\r(ax－a)的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是()A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(2，＋∞)7．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是()A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)8．函数y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)9．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥8)的值域是()A．R B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,256)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,256))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,256)，＋∞))10．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是()A．[0,1]B．[－1,0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))11．已知函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．12．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值域是________．13．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－1的值域是________．14．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________．15．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．16．若定义运算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a<b，,b，a≥b，))则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是________．17．函数f(x)＝eq\f(3x,3x＋1)的值域是________．18．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．19．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．专题32指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.温馨提示：指数函数解析式的3个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.2．指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称3．新知拓展(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当a>b>1时，①若x>0，则ax>bx>1；②若x<0，则1>bx>ax>0.当1>a>b>0时，①若x>0，则1>ax>bx>0；②若x<0，则bx>ax>1.(2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．(3)当a>1时，x→－∞，y→0；当0<a<1时，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x趋近于正无穷大”)题型一指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1 D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x[解析]由指数函数的定义知a>0且a≠1，故选D.2．下列函数一定是指数函数的是()A．y＝2x＋1 B．y＝x3C．y＝3·2x D．y＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D正确．3．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－1.A．0个 B．1个C．3个 D．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案]B4．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指数函数的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.5．下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.A．1 B．2C．3 D．0[解析](1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.6．指出下列哪些是指数函数．(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，且a≠1)).[解析](2)是四次函数；(3)是－1与4x的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数．7．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．[解析]由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)，且a≠1，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．8．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则()A．a＝1或a＝3 B．a＝1C．a＝3 D．a>0且a≠1[解析]由指数函数的概念可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－22＝1，,a>0，,a≠1，))得a＝3.9．函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.[解析]∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.10．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是()A．4 B．1或3C．3 D．1[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a≠1，,a2－4a＋4＝1，))解得a＝3，故选C.11．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.[解析]由指数函数的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝1.12．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．[解析]由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝eq\f(1,8).13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．[解析]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.14．已知函数f(x)为指数函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.[解析]设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得a－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).15．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.[解析]设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝9，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.∴f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9)，f(1)＝3.16．若点(a,27)在函数y＝(eq\r(3))x的图象上，则eq\r(a)的值为()A.eq\r(6) B．1C．2eq\r(2) D．0[解析]选A点(a,27)在函数y＝(eq\r(3))x的图象上，∴27＝(eq\r(3))a，即33＝3eq\f(a,2)，∴eq\f(a,2)＝3，解得a＝6，∴eq\r(a)＝eq\r(6).故选A.17．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，则x＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－a＝2，所以a＝1，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝f(x)可变形为4－x－2－x－2＝0，解得2－x＝2，所以x＝－1.18．已知f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，若f(a)＝5，则f(2a)＝________.[解析]因为f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，f(a)＝5，则f(a)＝2a＋eq\f(1,2a)＝5.所以f(2a)＝22a＋eq\f(1,22a)＝(2a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2a)))2－2＝23.19．若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋eq\f(f6,f5)＋…＋eq\f(f2020,f2019)＝()A．1010B．2020C．2019D．1009[解析]不妨设f(x)＝2x，则eq\f(f2,f1)＝eq\f(f4,f3)＝…＝eq\f(f2020,f2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二指数函数的图象及其应用1．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x的图象可能是()[解析]0<eq\f(3,4)<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y＝3－x的图象是()ABCD[解析]∵y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，∴B选项正确．3．函数y＝2－|x|的大致图象是()[解析]y＝2－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥0.,2x，x<0，))画出图象，可知选C.4．函数y＝a－|x|(0<a<1)的图象是()ABCD[解析]y＝a－|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))|x|，易知函数为偶函数，∵0<a<1，∴eq\f(1,a)>1，故当x>0时，函数为增函数，当x<0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.5．函数y＝－2－x的图象一定过第________象限．[解析]y＝－2－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x关于x轴对称，一定过第三、四象限．6．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.7．已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()[解析]由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.8．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在()A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限[解析]A,∵a>1，且－1<b<0，故其图象如图所示．]9．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A．0<a<1，且b>0 B．a>1，且b>0C．0<a<1，且b<0 D．a>1，且b<0[解析]函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0<a<1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b－1<－1⇒b<0.故选C.10．若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则()A．a＞1 B．a＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1[解析]选B,y＝ax(a＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图象经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当0＜a＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1＜－1，所以m＜0，故选B.11．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是()[解析]当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.12．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的图象可能是()[解析]二次函数y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2－eq\f(b2,4a)，其图象的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))，由指数函数的图象知0<eq\f(b,a)<1，所以－eq\f(1,2)<－eq\f(b,2a)<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－eq\f(1,2)和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)[解析]当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝()A．1 B．3C．4 D．2[解析]选C,由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1,3)，m＋n＝4.20．函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令2x＋1＝0得x＝－eq\f(1,2)，y＝2，所以函数图象恒过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).21．若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则()A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1C．0＜m≤1 D．m≥0[解析]易知y＝2－|x|－m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－m.若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－m＝0有解，即m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|有解．∵0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|≤1，∴0＜m≤1.22．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.[解析](1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．23．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．[解析](1)f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b＝0，,a0＋b＝－2，))又因为a＞0，且a≠1，所以a＝eq\r(3)，b＝－3.(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.即a0＋b＜0，所以b＜－1.故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f(x)|＝|(eq\r(3))x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝2eq\s\up15(eq\f(1,x－4));(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|));(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3；(5)y＝4x＋2x＋1＋2.[解析](1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝eq\r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，所以eq\r(1－3x)∈[0,1)，即函数y＝eq\r(1－3x)的值域为[0,1)．(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4.所以函数y＝2eq\s\up15(eq\f(1,x－4))的定义域为{x|x≠4}．因为eq\f(1,x－4)≠0，所以2eq\s\up15(eq\f(1,x－4))≠1，即函数y＝2eq\s\up15(eq\f(1,x－4))的值域为{y|y>0，且y≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|))的定义域为{x|x＝0}．因为x＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝1，即函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|))的值域为{y|y＝1}．(4)定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16.又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域为(0,16]．(5)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．2．(1)求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的定义域与值域；(2)求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，x∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x的值．[解析](1)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，eq\r(x－2)≥0，又因为0＜eq\f(1,3)＜1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\r(x－2)的值域为{y|0＜y≤1}．(2)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，∴y＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2.令m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝m2.由0≤x≤2，知eq\f(1,4)≤m≤1.∴f(m)＝4m2－4m＋2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋1.∴当m＝eq\f(1,2)，即当x＝1时，f(m)有最小值1；当m＝1，即x＝0时，f(m)有最大值2.故函数的最大值是2，此时x＝0，函数的最小值为1，此时x＝1.3．函数y＝eq\r(2x－1)的定义域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.[答案]C4．函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定义域是________．[解析]由1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥0得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，∴x≥0，∴函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y＝eq\r(ax－1)的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为()A．a>0 B．a<1C．0<a<1 D．a≠1[解析]由ax－1≥0，得ax≥a0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a<1.6．若函数f(x)＝eq\r(ax－a)的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是()A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(2，＋∞)[解析]∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1.7．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是()A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.8．函数y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x≥0.又因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，即函数y＝eq\r(16－4x)的值域为[0,4)．9．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥8)的值域是()A．R B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,256)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,256))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,256)，＋∞))[解析]因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在[8，＋∞)上单调递减，所以0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＝eq\f(1,256).10．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是()A．[0,1]B．[－1,0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析]∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，∴－1≤1－2x≤0，选B.11．已知函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．[解析]∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上为减函数，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，n＝eq\b\lc