高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.2指数函数(5类必考点)(原卷版+解析)

专题4.2指数函数TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：指数函数的概念】 1【考点2：指数函数的图象】 1【考点3：指数函数的定义域与值域】 5【考点4：指数函数的单调性与最值】 7【考点5：指数函数的应用】 7【考点1：指数函数的概念】【知识点：指数函数的概念】形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数.1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列函数是指数函数的是（

）A．y=x4 B．y=3·2x 2．（2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数f(x)=m2−3m+3mx是指数函数，q:m2A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要3．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数fx=(a−1)4．（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=12a−3ax5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx是指数函数，且f2=9【考点2：指数函数的图象】【知识点：指数函数的图象】1．指数函数的图象函数y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1图象图象特征在x轴上方，过定点(0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升2.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．1．（2022·浙江宁波·高一期中）函数y=x⋅12A． B．C． D．2．（2023·广东·高三学业考试）函数y=ax−1−3（aA．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）3．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数fx=1A． B．C． D．4．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数fx=x−ax−b（其中a>b）的图象如图所示，则函数A． B．C． D．5．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知函数fx=ax−4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，yA．9 B．24 C．4 D．66．（2022·全国·高一单元测试）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12A．54，3，13，12 B．3，54C．12，13，3，54， D．13，127．（2022·全国·高三专题练习）函数y=21−x的图象大致是（A． B． C． D．8．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数y=ax−1a

A．①③ B．②④ C．④ D．①9．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数y=ax2+bx与函数y=A． B．C． D．【考点3：指数函数的定义域与值域】【知识点：指数函数的定义域与值域】函数y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性质定义域R值域(0，＋∞)1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）设集合A=x-1≤x≤1，BA．∅ B．-2,0 C．0,+∞ D．12．（2022·浙江·高一阶段练习）已知集合A=xx-1<a,A．(-∞,1] B．(-∞,1) C．(0,1] D．(-∞,3]3．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知集合A=yy=2x−1，B=A．15 B．16 C．31 D．324．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数f(x)=exex+1A．−∞，1 C．0，1 5．（2021·江西景德镇·高一期末）函数f(x)=22x−2x+1+2的定义域为A．-1∈M B．1∈MC．M=−∞,1 6．（2022·全国·高一单元测试）函数y=17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=2x−a8．（2021·全国·高一专题练习）（1）函数y=2（2）函数y=29．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数fx=ax−1x≥0的图象经过点(2,1210．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域和值域：(1)y=2(2)y=(11．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)(1)求a的值；(2)当x∈−2,0时，求函数g(x)=【考点4：指数函数的单调性与最值】【知识点：指数函数的单调性与最值】函数y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性质单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．1．（2021·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（

）A．−2.545>C．13−12．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知fx=12x2−2axA．−∞,1 B．1,2 C．2,3 3．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设fx=12x，xA．奇函数且在-∞,0上是增函数 B．偶函数且在-∞,0上是减函数C．奇函数且在-∞,0上是减函数 D．偶函数且在-∞,0上是增函数4．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（

）A．2.30.7>0.8C．1.90.3>1.95．（2021·天津·高一期末）设x∈R，则“|x-2|<1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2022·江苏·连云港市海滨中学高三阶段练习）若函数f(x)=ax（a>0且a≠1）在[−1,2]上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（A．12 B．1142 C．116 D．7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=ax+1，（a>0且a≠1）在区间2，3上的最大值比最小值大aA．12 B．2 C．32 8．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））不等式9x9．（2022·上海·高一单元测试）指数函数y=ax(a>0,a≠1)10．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数fx=ax,x>14−a2x+2,x≤111．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数gx=2x+112．（河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期教学指导卷（二）数学（文）试题）已知p：实数x满足22x−3a<116，q：实数x满足2x2+3x−20≤013．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=a(1)求a的值；(2)证明：函数F(x)=f(x)−f(−x)是R上的增函数．14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值与最小值之和为20，记(1)求a的值；(2)求证：fx(3)求f1【考点5：指数函数的应用】【知识点：指数函数的应用】1．（2022·北京房山·高三开学考试）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=atA．第5个月时，浮萍面积就会超过50mB．浮萍每月增加的面积都相等C．浮萍面积每月的增长率都相等（注：浮萍面积每月增长率=下月浮萍面积−D．若浮萍面积为2m2,3m2,6m2．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：mgL）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（其中PA．40% B．50% C．64% D．81%3．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（其中4．（2022·湖南·高一课时练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)5．（2022·全国·高一课时练习）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB．（1）y关于x的函数解析式为______；（2）如果病毒占据内存不超过1GB(1GB6．（2022·全国·高一学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量yμg与时间th之间近似满足如图所示的图象，则y关于t7．（2022·湖南·高一课时练习）20世纪60年代，地质考古学家在阿拉斯加的一个洞穴中发现了古人类穿过的草鞋，实验测得那只草鞋的14C含量大约是现生长同种草的14C含量的25%，已知8．（2022·湖南·高一课时练习）已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，问：(1)经过7.66天以后，氡元素会全部消失吗？(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的18(3)质量为m的氡经x天衰变后其质量为f(x)=m⋅ax，试用计算器求9．（2022·湖南·高一课时练习）现有某种细胞1个，该细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，依此规律，若该细胞分裂xh后，写出得到的细胞个数y关于x10．（2022·湖南·高一课时练习）医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1cm的铅板后，强度变为原来的0.568倍，穿过厚度为xcm的铅板后的强度与原来的强度之比为Hx专题4.2指数函数TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：指数函数的概念】 1【考点2：指数函数的图象】 2【考点3：指数函数的定义域与值域】 8【考点4：指数函数的单调性与最值】 12【考点5：指数函数的应用】 13【考点1：指数函数的概念】【知识点：指数函数的概念】形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数.1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列函数是指数函数的是（

）A．y=x4 B．y=3·2x 【答案】C【分析】根据指数函数的特征即可求解.【详解】对于A,y=对于B，y=3×对于C,y=πx对于D,y=(−4)故选：C2．（2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数f(x)=m2−3m+3mx是指数函数，q:m2A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据命题p和指数函数的定义列方程解得m，根据命题q解得m，再根据必要不充分条件的定义判断即可.【详解】命题p真，则m2−3m+3=1，解得m=1或2，又m≠1，∴m=2；q为真，则∴q是p的必要不充分条件.故选：C．3．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数fx=(a−1)【答案】1<a<2或【分析】根据指数函数的定义即可求解.【详解】fx=a-1x为指数函数，则0<a-1<1故答案为：1<a<2或4．（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=12a−3ax【答案】8【分析】根据指函数的定义求解即可.【详解】解：因为函数fx所以12a−3=1，所以故答案为：8.5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx是指数函数，且f2=9【答案】3【分析】依题意设fx=ax（a>0且a≠1），根据【详解】解：由题意，设fx=ax（因为f2=9，所以a2=9，又所以fx=3故答案为：3【考点2：指数函数的图象】【知识点：指数函数的图象】1．指数函数的图象函数y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1图象图象特征在x轴上方，过定点(0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升2.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．1．（2022·浙江宁波·高一期中）函数y=x⋅12A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的单调性和值域排除即可．【详解】由题可得函数的定义域为−∞当x>0，y=x⋅12当x<0，y=x⋅12故选：D．2．（2023·广东·高三学业考试）函数y=ax−1−3（aA．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）【答案】D【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解．【详解】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．故选：D．3．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数fx=1A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式，分析函数在x≥0时的单调性及值域即可得解.【详解】由fx=12x−1可知，当故选：C4．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数fx=x−ax−b（其中a>b）的图象如图所示，则函数A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象特点，结合指数型函数图象的特点进行判断即可.【详解】fx=x−ax−b的函数图象与由x−ax−b=0可得两根为a，观察fx=x−ax−b的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间又∵a>b，∴a>1，−1<b<0，gx当a>1时，ax又由−1<b<0得gx的图象与y轴的交点在x分析选项可得C符合这两点．故选：C．5．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知函数fx=ax−4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，yA．9 B．24 C．4 D．6【答案】C【分析】由题意可得2m+n=2，利用基本不等式求最值即可.【详解】因为函数f(x)=ax−4又点A的坐标满足关于x，y的方程所以4m+2n=4，即2m+n=2所以1m+⩾12(4+24mn所以1m故选：C．6．（2022·全国·高一单元测试）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12A．54，3，13，12 B．3，54C．12，13，3，54， D．13，12【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而3>故选：C．7．（2022·全国·高三专题练习）函数y=21−x的图象大致是（A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.【详解】解：函数y=2∴当x>1时，y=2x−1是增函数，当x≤1时，且x=1时，y=1，即图象过1,1点；∴符合条件的图象是A．故选：A．8．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数y=ax−1a

A．①③ B．②④ C．④ D．①【答案】C【分析】分a>1，0<a<1，根据指数函数和图象平移判断.【详解】当a>1时，0<1a<1，函数y=ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y=当0<a<1时，1a>1，函数y=ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y=a故选：C9．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数y=ax2+bx与函数y=A． B．C． D．【答案】B【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．【详解】解：函数y=bx的是指数函数，b>0且b≠1，排除选项如果a>0，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：x=−b所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；如果a<0，二次函数有一个零点x=−ba>0故选：B．【考点3：指数函数的定义域与值域】【知识点：指数函数的定义域与值域】函数y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性质定义域R值域(0，＋∞)1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）设集合A=x-1≤x≤1，BA．∅ B．-2,0 C．0,+∞ D．1【答案】D【分析】求出集合B，利用交集的定义可求得结果.【详解】根据指数函数的性质B=yy故选：D.2．（2022·浙江·高一阶段练习）已知集合A=xx-1<a,A．(-∞,1] B．(-∞,1) C．(0,1] D．(-∞,3]【答案】A【分析】根据并集关系得到A⊆B，分A=∅【详解】A∪B=当a>0,A=(1-a,1+综上a≤1故选：A．3．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知集合A=yy=2x−1，B=A．15 B．16 C．31 D．32【答案】B【分析】先化简A,B两个集合，用列举法表示集合A∩B，利用子集个数的计算公式求解即可【详解】由题意，A=yy=2故A∩B={0,1,2,3}，有4个元素，故A∩B的所有子集的个数为：24故选：B4．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数f(x)=exex+1A．−∞，1 C．0，1 【答案】C【分析】对函数解析化简后，根据指数函数的性质结合不等式的性质求解即可.【详解】f(x)=e因为x∈R，所以e所以ex所以0<1所以−1<−1所以0<1−1ex所以f(x)的值域为0，故选：C5．（2021·江西景德镇·高一期末）函数f(x)=22x−2x+1+2的定义域为A．-1∈M B．1∈MC．M=−∞,1 【答案】ABCD【分析】先根据函数的值域求出定义域，进而作出判断.【详解】因为函数值域为N=1,2，所以1≤22x−2x+1+2≤2，即22x−故选：ABCD6．（2022·全国·高一单元测试）函数y=1【答案】(−【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可.【详解】由题18−2x−1≥0因为y=2x为单调递增函数，所以−3≥x−1故答案为：(−7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=2x−a【答案】4【分析】由已知可得不等式2x−a≥0的解集为2,+∞，可知x=2为方程2【详解】由题意可知，不等式2x−a≥0的解集为2,+∞，则2当a=4时，由2x−4≥0，可得2x故答案为：4.8．（2021·全国·高一专题练习）（1）函数y=2（2）函数y=2【答案】

R

（0，1]

(−∞,−1)∪(−1,+【分析】（1）由指数函数的定义域以及单调性得出其定义域和值域；（2）解不等式x+1≠0得出定义域，由指数函数的单调性得出值域.【详解】（1）函数y=23x+1的定义域为R，由|x+1|≥0，得出0<2（2）要使得函数有意义，只需x+1≠0，即x≠−1，故定义域为(−∵x−1x+1=1−2故答案为：（1）R；(0,1]（2）(−∞,−1)∪(−1,+9．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数fx=ax−1x≥0的图象经过点(2,12【答案】0【分析】先利用点(2,12)【详解】因为fx=所以12=a2−1，解得因为x≥0，所以x−1≥−1，所以0<12x−1≤2，即函数故答案为：010．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域和值域：(1)y=2(2)y=(【答案】(1)(−∞,4)∪(4,+∞)，(0,1)∪(1,+∞【分析】根据给定的各函数有意义列出不等式，求解即得对应函数的定义；由求得的定义域确定相应函数的指数取值，再借助指数函数性质即可求得值域.(1)使函数有意义，则x−4≠0，解得x≠4，所以函数y=21x−4因为1x−4≠0，则21所以函数y=21x−4(2)要使函数有意义，则−|x|≥0，即|x|≤0，于是得x=0，所以函数y=(23因当x=0时，(2所以函数y=(2311．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)(1)求a的值；(2)当x∈−2,0时，求函数g(x)=【答案】(1)a=13【分析】（1）将点代入指数函数f(x)中求出a=1（2）换元法令t=1【详解】（1）∵函数f(x)=ax(a>0,a≠1)∴a−2=9，得（2）令t=13x，x∈∵g(x)=a∴ℎ(t)=t所以ℎ(t)在t∈1,9故当t=1时，ℎt当t=9时，ℎt故当x∈−2,0时，gx的值域为【考点4：指数函数的单调性与最值】【知识点：指数函数的单调性与最值】函数y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性质单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．1．（2021·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（

）A．−2.545>C．13−1【答案】C【分析】根据指数函数的单调性即可判断.【详解】A选项：−2.545=因为2.5>1，4又因为指数函数y=2.5所以2.545>B选项：0.4−32=2又因为指数函数y=2所以25C选项：因为13−12>1D选项：因为2.51.6>1，2−0.2故选:C.2．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知fx=12x2−2axA．−∞,1 B．1,2 C．2,3 【答案】A【分析】利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令t=x2−2ax因为fx在1,3函数t=x2−2ax又因为ℎt所以t=x2−2ax函数t=x2−2ax的对称轴为x=a故选:A.3．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设fx=12x，xA．奇函数且在-∞,0上是增函数 B．偶函数且在-∞,0上是减函数C．奇函数且在-∞,0上是减函数 D．偶函数且在-∞,0上是增函数【答案】D【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断f(x)【详解】∵fx=∴f故fx为偶函数,当x<0时，故选：D．4．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（

）A．2.30.7>0.8C．1.90.3>1.9【答案】A【分析】根据指数函数的单调性即可比较B,C,D,由中间值法可求解A.【详解】对于A,由于2.30.7>2.30对于B,由于y=0.7x对于C，由于y=1.9x对于D，由于y=2.7x故选：A5．（2021·天津·高一期末）设x∈R，则“|x-2|<1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别先解出绝对值不等式，指数不等式后进行判断即可.【详解】由|x-2|<1可知，-1<x-2<1，即1<x<3，根据指数函数性质，y=3x是R上递增的指数函数，3x<27即3故选：A6．（2022·江苏·连云港市海滨中学高三阶段练习）若函数f(x)=ax（a>0且a≠1）在[−1,2]上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（A．12 B．1142 C．116 D．【答案】D【分析】分a>1和0<a<1两种情况，由函数的单调性结合函数的最大值为4，求出a的值，从而可求出函数的解析式，进而可求出函数的最小值.【详解】a>1时，f(x)=ax在则f(x)max=f(2)=此时f(x)=2x，当0<a<1时，f(x)=ax在所以f(x)max=f(−1)=此时f(x)=14x综上，m的值为12或1故选：D.7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=ax+1，（a>0且a≠1）在区间2，3上的最大值比最小值大aA．12 B．2 C．32 【答案】AC【分析】分0<a<1、a>1讨论，利用f(x)的单调性求出最大值、最小值再做差可得答案.【详解】当0<a<1时，f(x)在区间2，3上单调递减，此时f(x)max=f(2)=a2+1，当a>1时，f(x)在区间2，3上单调递增，此时f(x)min=f(2)=a2+1，f(x)故选：AC．8．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））不等式9x【答案】[1,2]【分析】根据二次不等式的解法可得3≤3【详解】不等式9x-4×3即3x解得3≤3所以1≤x所以不等式9x-4×3故答案为：[1,2]．9．（2022·上海·高一单元测试）指数函数y=ax(a>0,a≠1)【答案】2【分析】利用指数函数的单调性有a0【详解】由y=ax(a>0,a≠1)所以a=2.故答案为：210．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数fx=ax,x>14−a2x+2,x≤1【答案】4,8【分析】根据题中条件判断函数的单调性，结合分段函数的性质列出相应的不等式组，即可求得答案.【详解】若函数fx=ax,x>1不等式x1则函数fx在R上单调递增，则a>1解得：4≤a<8，故实数a的取值范围为4,8,故答案为：4,8．11．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数gx=2x+1【答案】1（答案不唯一）【分析】分段讨论函数的单调性，画出y=2x+1−【详解】解：因为gx当x>a时当x≤a时画出y=2x要使函数gx在-∞,+∞由图可知当a≤1时均可满足函数gx在故答案为：1（答案不唯一）12．（河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期教学指导卷（二）数学（文）试题）已知p：实数x满足22x−3a<116，q：实数x满足2x2+3x−20≤0【答案】a>3【分析】根据指数函数的单调性解出命题q，根据一元二次不等式的解法解出命题q，结合必要不充分条件的定义即可求解.【详解】命题p:2又函数y=2所以2x−3a<−4，解得x<3命题q:2x2+3x−20≤0因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的真子集，有32a−2>5故实数a的取值范围为a>3.13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=a(1)求a的值；(2)证明：函数F(x)=f(x)−f(−x)是R上的增函数．【答案】(1)a=2；(2)证明见解析【分析】（1）根据fx（2）根据定义法证明函数为增函数即可.（1）因为fx=a所以函数fx=ax+1(a>1)所以a2+1+a又因为a＞1，所以（2）由（1）知，F(x)=f(x)−f(−x)=2任取x1,xF===2因为x1<x2，所以所以Fx1−F所以Fx=fx14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值与最小值之和为20，记(1)求a的值；(2)求证：fx(3)求f1【答案】(1)a=4；(2)证明见解析；(3)100【分析】（1）函数y=ax在1,2上单调，得到a2（2）fx=4（3）根据fx（1）解：因为函数y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数y=ax（a>0且所以当x=1和x=2时，函数y=ax（a>0且a≠1）在1,2上取得最值，即解得a=4或a=−5（舍去），所以a=4．（2）解：由（1）知，a=4，所以fx故fx（3）解：由（2）知，fx因为1201+200201=1，2所以f=f1201【考点5：指数函数的应用】【知识点：指数函数的应用】1．（2022·北京房山·高三开学考试）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=atA．第5个月时，浮萍面积就会超过50mB．浮萍每月增加的面积都相等C．浮萍面积每月的增长率都相等（注：浮萍面积每月增长率=下月浮萍面积−D．若浮萍面积为2m2,3m2,6m【答案】C【分析】由函数过点(1,2)，可得y=2【详解】由图可知，y=at过点(1,2)，则2=a所以池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=当t=5时，y=2当t=1时，y=2，当t=2时，y=22=4，当t=3所以第一个月浮萍增加的面积为2m2，第二个月浮萍增加的面积为4−2=2m浮萍面积每月增长率为2t+1因为2t所以2t1⋅故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：mgL）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（其中PA．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【分析】由t=0，得污染物含量的初始值为P0，根据t=10得e−k=0.81【详解】当t=0时，P=P0；当t=10时，即e−10k=0.8，得e−k当t=20时，P=0.8故选：C3．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（其中【答案】25%【分析】由题可得e−5k【详解】由题，得当t=0时，P=P当t=5时，1−50%P0解得e−k所以P=P所以当t=10时，P=0.5即废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%.故答案为：25%.4．（2022·湖南·高一课时练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)【答案】4500【分析】根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，即可得到答案；【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3000×1.067≈4500.故答案为：45005．（2022·全国·高一课时练习）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB．（1）y关于x的函数解析式为______；（2）如果病毒占据内存不超过1GB(1GB【答案】

y=2x3【分析】（1）根据题意分析前面几分钟的情况可得，y关于x的函数解析式；（2）先根据题意，换算病毒占据的最大内存1GB【详解】因为这种病毒开机时据内存2KB所以，一个三分钟后它占据的内存为2×2=2两个三分钟后它占据的