高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(原卷版+解析)

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：两点间的距离；点到直线的距离；点到平面的距离；直线到平面的距离；平面到平面的距离；异面直线的距离；线线夹角；线面夹角；面面夹角课堂知识小结考点巩固提升一、利用法向量求空间距离⑴点Q到直线距离若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为⑵点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.即⑶直线与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即⑷两平行平面之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。即二．利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则⑵求直线和平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.OAOABOABl求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即；考点讲解如果是钝角，则，即.考点讲解考点1：两点之间的距离例1．已知直三棱柱中，，为中点，为中点，求【方法技巧】本题考查空间线段长度计算，建立空间直角坐标系，将长度计算转化为坐标计算，难度较易.已知，所以.【变式训练】【变式】．已知正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A1C的长度．考点2：点到直线的距离例2.（2022辽宁省大连市三模）如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________.【方法技巧】若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为【变式训练】【变式】．设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，.求点到直线的距离.考点3：点到平面的距离例3：（2022·河南郑州·二模（理））如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（

）A． B． C． D．【方法技巧】若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.即【变式训练】【变式】．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.求点到平面的距离.考点4：直线到平面的距离例4：正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（

）A． B． C． D．【方法技巧】当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即【变式训练】【变式】．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.考点5：两个平面之间的距离例5：在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．【方法技巧】利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即【变式训练】【变式】在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．考点6：两条一面直线之间的距离例6.正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离.【方法技巧】设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。即【变式训练】（2007·重庆·高考真题（理））如图，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．（1）求异面直线DE与的距离；考点7：异面直线的夹角例7：（2018·全国·高考真题（理））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【方法技巧】已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则【变式训练】【变式1】（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【变式2】．（2022·山西晋城·三模（文））在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.考点8：直线和平面的夹角例8：（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．【方法技巧】求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角

的余角.即有：【变式训练】（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．考点9：平面与平面的夹角例9：（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．.【方法技巧】求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即；如果是钝角，则，即.【变式训练】（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．知识小结知识小结距离问题考的不多，要求掌握。重点掌握⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则⑵求直线和平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.如图：求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即；如果是钝角，则，即.巩固提升巩固提升一、单选题1．正方体中棱长为a，若，N是的中点，则的值为（

）A． B． C． D．2．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°4．已知在直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．5．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（

）A． B． C． D．6．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．8．如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（

）A．B．与共线的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是10．关于正方体，下列说法正确的是（

）A．直线平面B．若平面与平面的交线为l，则l与所成角为C．棱与平面所成角的正切值为D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为三、填空题11．正方体的棱长为，则平面与平面的距离为_______.12．在长方体中，，，则点到平面的距离等于_____.四、解答题13．已知三棱锥的三条侧棱､､两两垂直，且，，，求顶点到平面的距离.14．如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.(1)证明:；(2)若，求二面角的余弦值.15．在四棱锥中，，平面平面.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.16．如图，已知四棱锥平面，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：两点间的距离；点到直线的距离；点到平面的距离；直线到平面的距离；平面到平面的距离；异面直线的距离；线线夹角；线面夹角；面面夹角课堂知识小结考点巩固提升一、利用法向量求空间距离⑴点Q到直线距离若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为⑵点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.即⑶直线与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即⑷两平行平面之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。即二．利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则⑵求直线和平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.OAOABOABl求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即；考点讲解如果是钝角，则，即.考点讲解考点1：两点之间的距离例1．已知直三棱柱中，，为中点，为中点，求【答案】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式计算出.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：根据条件可知：，所以【方法技巧】本题考查空间线段长度计算，建立空间直角坐标系，将长度计算转化为坐标计算，难度较易.已知，所以.【变式训练】【变式】．已知正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A1C的长度．【详解】（1）如图，∵正方体的棱长为2，∴A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，2，2），D（2，0，2），A1（0，0，0），B1（0，2，0），C1（2，2，0），D1（2，0，0）．（2）A1C的长度|A1C|==2．【点睛】本题主要考查了空间点的坐标及两点间距离公式的求解，属于基础题.考点2：点到直线的距离例2.（2022辽宁省大连市三模）如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________.【详解】设的中点为，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，所以到直线的距离为.故答案为：【方法技巧】若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为【变式训练】【变式】．设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，.求点到直线的距离.【答案】.【分析】由于在上的射影长为，结合已知条件可求出其值为，然后利用勾股定理可求出点到直线的距离【详解】解：因为平面，所以，所以，因为四边形为矩形，所以,所以,因为，，所以在上的射影长为，又，所以点到直线的距离.故答案为：考点3：点到平面的距离例3：（2022·河南郑州·二模（理））如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，以D为坐标原点，，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.设平面的法向量为，则，即，得，令，则，所以点E到平面的距离为．故选：C【方法技巧】若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.即【变式训练】【变式】．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.求点到平面的距离.【详解】设为平面的法向量，显然不垂直与平面ADF,故可设由得,即,所以，所以又,设与的夹角为，则到平面的距离为.考点4：直线到平面的距离例4：正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设分别是的中点，连接，根据正三棱柱的几何性质可知两两相互垂直，建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设.由于平面平面，所以平面.所以到平面的距离即到平面的距离，即.故选：B【方法技巧】当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即【变式训练】【变式】．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.【详解】（1）证明：以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，，，令，则，，所以，因为平面，所以平面．（2）解：因为平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，，设直线到平面的距离为，则，所以直线到平面的距离为．考点5：两个平面之间的距离例5：在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，，，则，因为、不在同一条直线上，则，平面，平面，则平面，同理可证平面，，故平面平面，设平面的法向量为，，，由，取，可得，又因为，因此，平面与平面之间的距离为.【方法技巧】利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即【变式训练】【变式】在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，又，，所以平面MNA与平面EFBD之间的距离．考点6：两条一面直线之间的距离zABCDMNxyzzABCDMNxyzzzz解：如图建立坐标系，则，设是直线与的公垂线，且则，【方法技巧】设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。即【变式训练】（2007·重庆·高考真题（理））如图，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．（1）求异面直线DE与的距离；解法一：（Ⅰ）因，且，故面，从而，又，故是异面直线与的公垂线．设的长度为，则四棱椎的体积为．而直三棱柱的体积为．由已知条件，故，解之得．从而．在直角三角形中，，又因，故．解法二：（Ⅰ）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．设，则，又设，则，从而，即．又，所以是异面直线与的公垂线．下面求点的坐标．设，则．因四棱锥的体积为．而直三棱柱的体积为．由已知条件，故，解得，即．从而，，．接下来再求点的坐标．由，有，即（1）又由得．（2）联立（1），（2），解得，，即，得．故．考点7：异面直线的夹角例7：（2018·全国·高考真题（理））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】C详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.【方法技巧】已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则【变式训练】【变式1】（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，.所以，.故选：C.【变式2】．（2022·山西晋城·三模（文））在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.【答案】##【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，设直线与所成角为，则故答案为：考点8：直线和平面的夹角例8：（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．(1)证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；(2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.【方法技巧】求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角

的余角.即有：【变式训练】（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．证明：(1)过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、．∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，则，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．(2)因为平面，过点做平行线，所以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为由，得，取，设直线与平面所成角为，∴．考点9：平面与平面的夹角例9：（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．解：(1)在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；(2)取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.【方法技巧】求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即；如果是钝角，则，即.【变式训练】（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．(1)证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，，所以，又，所以，则，，所以，所以，，，，所以，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以；设平面的法向量为，则，令，则，，所以；所以设二面角为，由图可知二面角为钝二面角，所以，所以故二面角的正弦值为；知识小结知识小结距离问题考的不多，要求掌握。重点掌握⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则⑵求直线和平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.如图：求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即；如果是钝角，则，即.巩固提升巩固提升一、单选题1．正方体中棱长为a，若，N是的中点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，分别求出个点的坐标，然后根据模值的坐标计算公式求出.【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的直角坐标系，，，设，，，即，，则于是，故选：A2．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，，，设异面直线与所成角为，则.故选：B3．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°．故选：B4．已知在直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，取，可得．又，所以与平面所成角的正弦值为，故选：A.5．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量和直线的方向向量的关系，利用点到直线的距离公式求距离．【详解】解：点，直线过点，且一个方向向量为，，所以直线的一个单位方向向量，点到直线的距离为．故选：．6．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可.【详解】则点到平面的距离为故选：D7．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可【详解】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离故选：A8．如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，所以，，，设平面的法向量为，则，∴，令，可得，又，设直线与平面所成的角为，则，又，∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大.故选：C.二、多选题9．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（

）A．B．与共线的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是【答案】AD【分析】A选项，数量积为0，则两向量垂直；B选项，判断出不是单位向量，且与不共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0，证明出，从而得到结论.【详解】，故，A正确；不是单位向量，且与不共线，B错误；，C错误；设，则，，所以，又，所以平面的一个法向量是，D正确.故选：AD10．关于正方体，下列说法正确的是（

）A．直线平面B．若平面与平面的交线为l，则l与所成角为C．棱与平面所成角的正切值为D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为【答案】ABD【分析】对于A：利用空间向量可得∥，即直线平面；对于B：结合图形可得交线为l即直线，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形．【详解】如图1，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则设平面的一个法向量，则有令，则，即∵，则，即∴∥，则直线平面，A正确；结合图形可知为平面与平面的交点，则交线为l即为直线∴，则∴l与所成角为，B正确；∵，则∴棱与平面所成角的正切值为，C不正确；如图2，取棱的中点，连接∵分别为的中点，则∥且又∵∥且，则∥且∴为平行四边形，则∥∵分别为的中点，则∥且∴为平行四边形，则∥∴∥同理可证：∥∴经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形∵，则其周长为，D正确；故选：ABD．三、填空题11．正方体的棱长为，则平面与平面的距离为_______.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的距离公式，即可求解.【详解】由题意，建立如