高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)重难点专题01数列通项公式的12种常见求法(原卷版+解析)

重难点专题01数列通项公式的12种常见求法备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断或写出数列中的项；观察法求通项公式；等差数列公式法求通项公式；等比数列公式法求通项公式；累加法求通项公式；累乘法求通项公式；递推公式为与的关系式；构造等比数列法求通项公式；构造等差数列法求通项公式；倒数求通项公式；对数法求通项公式；前n项积通项公式课堂知识小结考点巩固提升知识归纳求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,n≥2；))(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；1、等差数列公式推论公式：a2.推论公式：an(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．等考点讲解考点讲解考点1：判断或写出数列中的项例1．（多选题）下列数中，是数列中的一项的是（

）A．90 B．29 C．30 D．23【方法技巧】必为偶数，故排除B与D，再分别令，看方程是否有正整数解即可【变式训练】1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（

）．A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项2．已知数列的通项公式为．则12是该数列的第（

）项．A．2 B．3 C．4 D．53．数列满足，，则等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可.考点2：观察法求通项公式例2．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【方法技巧】通过观察找出规律，写出通项公式。【变式训练】1．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．2．将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______．3．数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式______．考点3：等差数列公式法求通项公式例3．已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【方法技巧】等差数列公式推论公式：a【变式训练】1．在数列中，，则等于___________.2．若数列是公差为1的等差数列，且，则___________，___________.考点4：等比数列公式法求通项公式例4．在数列中，，且，则（

）A． B． C． D．【方法技巧】推论公式：an【变式训练】1．若一个等比数列的公比为3，且首项为2，则该数列的第4项为（

）A．18 B．36 C．54 D．1622．正项数列满足，则=_________.考点5：累加法求通项公式例5．在数列中，，，则（

）．A．659 B．661 C．663 D．665【方法技巧】累加法：如an＋1－an＝f(n)【变式训练】1．已知数列，，且，．求数列的通项公式________；2．已知数列满足，且，求数列的通项公式；考点6：累乘法求通项公式例6．在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.【方法技巧】累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；【变式训练】1．设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________2．数列满足：，，则数列的通项________________.考点7：递推公式为与的关系式。例7．已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【方法技巧】解法：这种类型一般利用【变式训练】1．已知数列满足条件，则数列的通项公式为___________.2．已知数列满足（且），且，则___________．3．在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．求证：数列是等比数列．考点8：构造等比数列法求通项公式例8．已知数列，，求数列【方法技巧】(其中p，q均为常数，且)。【变式训练】1．已知数列中，，，则通项公式____________．2．设数列的前n项和为，，，则___________.考点9：构造等差数列法求通项公式例9．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.【方法技巧】【变式训练】1．已知数列满足，，则_______.【答案】50【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得.【详解】根据题意，令，得因为，所以，又，所以是首项为的常数列，故，即，故，所以.故答案为：50.2.已知数列满足.求数列的通项公式；考点10：倒数求通项公式例10．已知数列满足，且，则数列__________【方法技巧】一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。【变式训练】1．数列中，，，则是这个数列的第几项（

）A．100项 B．101项 C．102项 D．103项2.（2022·湖北·高三三模）已知数列满足，（）.求证数列为等差数列；考点11：对数法求通项公式例11.若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁.考点12：前n项积通项公式例12．已知数列满足，则数列的通项公式为___________．【方法技巧】由已知可得，进而计算即可得出结果.【变式训练】1.（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为数列的前项积，已知，则=（

）A． B． C． D．2.（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（

）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项知识小结知识小结求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,n≥2；))(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；1、等差数列公式推论公式：a2.推论公式：an(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．等巩固提升巩固提升一、单选题1．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2.2．数列3，5，9，17，33，…的通项公式（

）A． B． C． D．3．已知数列，则是这个数列的（

）A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项4．已知数列的前项和为，满足，，则（

）A． B． C． D．5．已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，，，则（

）A． B．C． D．7．记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则对于任意的，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．8．已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（

）A． B． C． D．10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（

）A． B．C． D．三、填空题11．已知无穷数列满足，，，写出的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）12．若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________.13．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．14．已知数列满足，且，则__________.四、解答题15．数列满足.(1)若，求证：为等比数列；(2)求的通项公式．.16．已知数列，其前n项和为．(1)求，．(2)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．重难点专题01数列通项公式的12种常见求法备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断或写出数列中的项；观察法求通项公式；等差数列公式法求通项公式；等比数列公式法求通项公式；累加法求通项公式；累乘法求通项公式；递推公式为与的关系式；构造等比数列法求通项公式；构造等差数列法求通项公式；倒数求通项公式；对数法求通项公式；前n项积通项公式课堂知识小结考点巩固提升知识归纳求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,n≥2；))(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；1、等差数列公式推论公式：a2.推论公式：an(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．等考点讲解考点讲解考点1：判断或写出数列中的项例1．（多选题）下列数中，是数列中的一项的是（

）A．90 B．29 C．30 D．23【答案】AC【详解】因为必为偶数，故排除B与D令，即，解得或（舍去）所以是的第9项，故A正确令，即，解得或（舍去）所以是的第项，故C正确故选：AC【方法技巧】必为偶数，故排除B与D，再分别令，看方程是否有正整数解即可【变式训练】1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（

）．A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项【答案】D【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为，由解得：，所以是这个数列的第15项.故选：D2．已知数列的通项公式为．则12是该数列的第（

）项．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用通项公式直接求解.【详解】令，解得：（舍去）.故选：B3．数列满足，，则等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可.【详解】因为，，所以，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为3，所以，所以.故选：A.考点2：观察法求通项公式例2．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【分析】（1）（2）（3）（4）观察给定的4项，结合数据特征写出一个通项作答.解：（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，依次可写为，所以给定4项都满足的一个通项公式为.【方法技巧】通过观察找出规律，写出通项公式。【变式训练】1．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．【答案】【分析】先写出,…的一个通项公式为，从而可求2，0，2，0，…的一个通项公式.【详解】解：,…的一个通项公式为，故2，0，2，0，…的一个通项公式为.故答案为:.2．将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______．【答案】67【分析】找到每行最后一个数的规律，写出通项公式，确定位于第行，再确定其所在的列数，从而求出答案.【详解】每行最后一个数的排列为1,5,11,19,29，第行最后一个数的通项公式为，其中，，所以位于第行，且，所以位于第行，第22列，所以.故答案为：673．数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式______．【答案】【分析】根据规律猜想求解即可.【详解】解：因为数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…，所以，其通项公式可以为：.故答案为：考点3：等差数列公式法求通项公式例3．已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设数列的首项为，公差为，列方程组求出即得解.【详解】解：设数列的首项为，公差为，由题得，所以.所以数列的通项为.故选：A【方法技巧】等差数列公式推论公式：a【变式训练】1．在数列中，，则等于___________.【答案】2012【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是1，公差是1的等差数列，即可得到通项公式并解答.【详解】由，得,又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故答案为：2012.2．若数列是公差为1的等差数列，且，则___________，___________.【答案】

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【分析】根据等差数列的定义求出，进而求出和.【详解】因为数列是公差为1的等差数列，且，所以，故.故答案为：；.考点4：等比数列公式法求通项公式例4．在数列中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知确定数列是等比数列，由等比数列的通项公式得结论．【详解】∵，∴，．是公比为的等比数列，∴．故选：B．【方法技巧】推论公式：an【变式训练】1．若一个等比数列的公比为3，且首项为2，则该数列的第4项为（

）A．18 B．36 C．54 D．162【答案】C【分析】由已知利用等比数列的通项公式即可求解【详解】若等比数列的首项为，公比为，则它的通项，由已知可得：，，则该数列的第4项．故选：C．2．正项数列满足，则=_________.【答案】【分析】先对变形得到，设，求出，得到为等比数列，求出答案.【详解】因为，所以，即，设，则，解得：或，因为为正项数列，所以，故，所以为等比数列，首项为2，公比为2，所以故答案为：考点5：累加法求通项公式例5．在数列中，，，则（

）．A．659 B．661 C．663 D．665【答案】D【分析】由累加法和等差数列的前项和可求出，代入化简即可求出.【详解】因为，所以，，…，，所以，故．故选：D.【方法技巧】累加法：如an＋1－an＝f(n)【变式训练】1．已知数列，，且，．求数列的通项公式________；【答案】.【分析】由得，利用累加法求即可.【详解】因为，所以，当时，，，……，，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式.故答案为：.2．已知数列满足，且，求数列的通项公式；【答案】【分析】由已知条件可得，再由递推及可得，最后再检验即可得到答案.【详解】因为，所以，，…，所以累加可得．又，所以，所以．经检验，，也符合上式，所以．考点6：累乘法求通项公式例6．在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.【答案】【分析】由，得，再利用累乘法即可得出答案.【详解】解：由，得，则，，，，累乘得，所以.故答案为：.【方法技巧】累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；【变式训练】1．设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________【答案】【分析】由已知条件化简可得，再由递推累乘法可得，最后检验是否符合即可.【详解】依题意，，所以，又因为，所以，所以，，所以，经检验，也符合上式.所以.综上所述，.故答案为：.2．数列满足：，，则数列的通项________________.【答案】【分析】根据，，得到，然后利用累加法求解.【详解】解：因为，，所以，当时，，所以，，，当时，，适合上式，所以数列的通项，故答案为：考点7：递推公式为与的关系式。例7．已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【答案】是等差数列，首项和公差分别是和2.【分析】利用得出通项，最后不忘检验是否适合通项即可.【详解】解:①当时,②当时,由得又，满足，所以此数列的通项公式为.因为，所以此数列是首项为,公差为2的等差数列.【方法技巧】解法：这种类型一般利用【变式训练】1．已知数列满足条件，则数列的通项公式为___________.【答案】【分析】由即可求解.【详解】当时，，因为，所以，当时，两式相减得：，化简得：，不符合.所以故答案为：2．已知数列满足（且），且，则___________．【答案】【分析】利用项与前项和的关系可得，然后根据等比数列的定义即得.【详解】当时，，即，当时，，，∴，∴，即又，∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴.故答案为：.3．在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．求证：数列是等比数列．【答案】证明见解析【分析】利用得到bn＝bn－1，再利用等比数列的定义即可证明数列是等比数列.【详解】因为点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，所以Tn＝－bn＋1①.所以Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)②.①②两式相减，得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)．所以bn＝bn－1，所以bn＝bn－1.由①，令n＝1，得b1＝－b1＋1，所以b1＝.所以数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．考点8：构造等比数列法求通项公式例8．已知数列，，求数列【分析】（1）由题设，根据等比数列的定义写出的通项公式，解：(1)由题设，而，所以是首项、公比都为2的等比数列，则，所以，【方法技巧】(其中p，q均为常数，且)。【变式训练】1．已知数列中，，，则通项公式____________．【答案】【分析】根据题意可得数列是等比数列，从而可求出数列的通项，即可得出答案.【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：.2．设数列的前n项和为，，，则___________.【答案】【分析】化简，判断出为等比数列，从而计算出.【详解】由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：考点9：构造等差数列法求通项公式例9．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.【答案】．【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．【详解】∵，所以，即，∴是等差数列，而，所以，所以．故答案为：．【方法技巧】【变式训练】1．已知数列满足，，则_______.【答案】50【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得.【详解】根据题意，令，得因为，所以，又，所以是首项为的常数列，故，即，故，所以.故答案为：50.2.已知数列满足.求数列的通项公式；解：由，可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即；考点10：倒数求通项公式例10．已知数列满足，且，则数列__________【答案】【分析】由两边取倒数，即可得到数列是等差数列，从而求出的通项公式，即可得解；【详解】解：由两边取倒数可得，即所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，所以；故答案为：【方法技巧】一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。【变式训练】1．数列中，，，则是这个数列的第几项（

）A．100项 B．101项 C．102项 D．103项【答案】A【解析】由条件可得，则，进而可求出数列的通项公式，令，求出值即可.【详解】解：由，得，则，，令，得.故选：A.2.（2022·湖北·高三三模）已知数列满足，（）.求证数列为等差数列；【解析】(1)由已知可得，即，即，是等差数列.考点11：对数法求通项公式例11.若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁.解析：∵=3且（n是正整数）∴两边取对数的lgan+1=2lgan∴lgan+1/lgan=2∴数列｛lgan｝是以lg3为首项，以2为公比的等比数列∴lgan=lg3×2n-1考点12：前n项积通项公式例12．已知数列满足，则数列的通项公式为___________．【答案】【详解】当时，；当时，由，可得，两式相除得故答案为：【方法技巧】由已知可得，进而计算即可得出结果.【变式训练】1.（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为数列的前项积，已知，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据与的等式，求得的通项公式即得解.【详解】则，代入，化简得：，则.故选:C.2.（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（

）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.知识小结知识小结求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,n≥2；))(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；1、等差数列公式推论公式：a2.推论公式：an(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．等巩固提升巩固提升一、单选题1．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【分析】利用成等比数列列方程，化简求得的值.【详解】，由于是等比数列，所以，即.故选：B2．数列3，5，9，17，33，…的通项公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由规律即可写出通项公式.【详解】由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满足．故选：B.3．已知数列，则是这个数列的（

）A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项【答案】B【分析】根据题意可得数列的通项，再令，解之即可得解.【详解】解：由数列，可得，令，解得，所以是这个数列的第1012项.故选：B.4．已知数列的前项和为，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可.【详解】∵a1=1，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选：A.5．已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可求，要使为递增数列只需满足即可求解.【详解】当时，，故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即故选：B6．已知数列的前项和为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据作差可得，再由，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再根据等比数列求和公式计算可得.【详解】解：因为，，当时，当时，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故选：A7．记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则对于任意的，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量共线的坐标表示得到，再根据计算可得.【详解】解：因为，且，所以，当时，又，所以，当时，所以，即，所以，，又，故A、B错误；又，所以，即，故C错误，D正确；故选：D8．已知数列的前项和为，