高中数学必修2期末模拟卷03（解析版）

期末模拟卷3

一.选择题(共8小题)

1.复数Z满足Z(1+Z)=1-则Z的虚部等于()

A.-iB.-1C.0D.1

【分析】推导出z=±±=./a*2、一=由此能求出z的虚部.

l+i(1+i)(1-i)

(解答］解：；复数Z满足Z(1+i)=1-1,

•1-i_(1-i)2_l-2i+i2__；

l+i(l+i)(1-i)i-i2

r.z的虚部为-L

故选：B.

2.在一个随机试验中，彼此互斥的事件4,B,C,。发生的概率分别为0.1,0.1,0.4,0.4,

则下列说法正确的是()

A.A与B+C是互斥事件，也是对立事件

B.B+C与。是互斥事件，也是对立事件

C.A+B与C+O是互斥事件，但不是对立事件

D.A+C与B+D是互斥事件，也是对立事件

【分析】根据题意，结合互斥、对立事件的定义分析选项，可得A3C错误，。正确，即

可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,事件A，B,C,。彼此互斥，则A与B+C是互斥事件，但P(A)+F(B+C)

W1,则4与B+C不是对立事件，A错误；

对于8,事件A,B,C,力彼此互斥，则8+C与。是互斥事件，但尸(8+C)+PCD)

W1,则4与B+C不是对立事件，A错误；

对于C,事件A,B,C,。彼此互斥，则A+B与C+。是互斥事件，但P(A+B)+尸(C+。)

=1,则A与8+C是对立事件，C错误；

对于。，事件A,B,C,。彼此互斥，则A+C与3+0是互斥事件，但P(4+C)+P(B+C)

=1,则A+C与B+Q是对立事件，。正确；

故选：D.

3.已知△ABC中，AB=2,BC=3,AC=V10-则cosB=()

A.21/1^B.2ZI2.C.AD.A

8442

【分析】山已知结合余弦定理即可直接求解.

222

【解答】解：由余弦定理可得，cosB=a±£也-=9+4-10=工

2ac2X2X34

故选：C.

4.如图，非零向量6X=Z，OB=b.且BCJ_04,C为垂足，若羽=入之，则入=()

A.-ALLB.la|小|c,a"bD.曳/

|a|2IaIlbI|b|2a-b

【分析】设逐=*，则乂=^-入Z，由8cL。4,知2・x=0，所以;-人;2=o，由此

—♦—♦

能求出入

Ia|2

【解答】解：设而=x，则

,.•QC+CB=OB.

•*,入a+x=b>

—♦—♦

x=b-入a，

VBC±OA,

•••OA•CB=0-

—♦

:，a・x=0，

♦~、_*2

,,a*b-Aa=0'

—♦—•

・、a・b

・・A=-------7-

Ia|2

故选：A.

5.某班统计一次数学测验的平均分与方差,计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分,

只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为X、S2,新平均分和新方差分别为丁、S|2,

A1

若此同学的得分恰好为彳，则()

A.x=E，s2=s/B.x=.S2<si2

c.x=77，s2>si2D.x<77-S2=si2

【分析】根据平均数和方差的公式计算比较即可.

【解答】解：设这个班有“个同学,数据分别是s，42,…的…，an,

第i个同学没登录，

第一次计算时总分是(〃-1)彳，

方差是52--^-1(aj-x)2+…(a-i-x)?+(aj+i-x)?+…+(an~x)21

第二次计算时，(n-l)x+x=7,

1n

方差S[2=曰⑶-x)2+…区_]-x)2+(arx)2+区+1-x)2+…+(an~x)丐=

n-lc2

n

故?><,2.

故选：C

6.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OABC,且直观图

0A8C的面积为2,则该平面图形的面积为()

【分析】结合S点图八观图，可得答案.

【解答】解：山已知直观图0Abe的面积为2,

.•.原来图形的面积5=2X2&=4&,

故选：B.

7.某实验单次成功的概率为0.8,记事件A为“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，

各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件4的

概率：先由计算机给出0〜9十个整数值的随机数，指定0,1表示单次实验失败，2,3,

4,5,6,7,8,9表示单次实验成功，以3个随机数为组，代表3次实验的结果经随机

模拟产生了20组随机数，如表：

752029714985034

437863694141469

037623804601366

959742761428261

根据以上方法及数据，估计事件A的概率为（）

A.0.384B.0.65C.0.9D.0.904

【分析】由随机模拟实验结合图表计算即可得解.

【解答】解：由随机模拟实验可得：

“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中最多成

功1次”共141,601两组随机数，

则“在实验条件相同的情况卜，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少

成功2次”共20-2=18组随机数，

即事件A的概率为28=0.9,

20

故选：C.

8.已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，且平面ABC,AB=2,AC=1,Z

ACB=9Qa,若该棱锥的体积为工返，则此球的表面积为（）

3

A.16nB.20TCC.8TTD.5n

【分析】直接利用锥体的体积，锥体和球的关系及勾股定理的应用求出球的半径，进一

步求出球的表面积.

【解答】解：由乙4酸=90。，雨，平面A8C,得尸8就是三棱锥外接球的直径，

如图所示：

即PA=4,

则PB=VPA2+AB2=275,

故三棱锥外接球的半径为遥.

所以三棱锥外接球的表面积S=4n/?2=20n,

故选:B.

多选题（共4小题）

9.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的

产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）

A.应采用分层随机抽样抽取

B.应采用抽签法抽取

C.三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆

D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

【分析】直接利用分层抽样的应用和比值的应用确定选项A正确，选项8错误，选项C3

错误.

【解答】解：某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检

验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，

所以该检验采用分层抽样的方法，故选项A正确，选项B错误.

对于选项C：1500+6000+2000=9500,所以抽样为57X丝虫=9，57X史幽=36，

95009500

£000__故选项C正确.

9500立

对于选项。：对于分层抽样的每一辆轿车被抽到的可能性相等，故选项O正确.

故选：ACD.

10.下列叙述中，正确的是（）

A.若［al=。,则a=OB.若|司=0,贝Ua〃b

C.若a〃b，b〃c，则a〃cD.若@=1＞，b=c，则a=c

【分析】由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断

【解答】解：对于A：零向量记作1,其长度是0,因此之=芍，故4错误；

对于8：长度为0的向量是零向量，并与任意向量平行，故8正确；

时于C：当%="时，Z与W不一定共线，故C错误：

对于Q：向量相等具有传递性，故O正确.

故选：BD.

11.雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多

变量数据的图形方法.为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分

为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指

直观想象

A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值

B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值

C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平

D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值

【分析】根据雷达图中所给的信息，逐项分析即可.

【解答】解：依题意，乙的逻辑推理能力3分，而甲的逻辑推理能力4分，故A正确；

甲的数学建模能力指标值为3分，乙的直观想象能力指标值为5分，故B错误；

乙的六维能力指标值有4项优于甲的六维能力指标值，故C正确；

甲的数学运算能力指标值为4分，而甲的直观想象能力指标值为5分，故。错误；

故选：AC.

12.如图，棱长为2的正方体ABCO-AiBiCiG中，P在线段8。（含端点）上运动，则下

列判断正确的是（）

Q_________C

/*'^****^/

W3j

A.A\PVB\D

B.三棱锥。-APC的体积不变，为刍

C.4P〃平面4c5

D.4P与。C所成角的范围是（0,工）

3

【分析】对于A,推导出8iD_L8G，B\DVA\C\,从而与。，平面进而AiPJ_

&D,；对于8,推导出BCi〃平面AC£»i,从而P到AC。的距离是定值，以。i为原点，

为x轴，0cl为y轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥

-APC的体积为•！；对于C,由ADi〃BCi，CD\//A\B,得平面ADC〃平面,

从而4P〃平面AC£>i；对于Q,当P与B重合时，4P与£>C所成角为0,当P与C

重合时，4P与。C所成角为二.

【解答】解：棱长为2的正方体AB8-4向中，P在线段8。（含端点）上运动，

对于A,B\C1.BC\,CDIBCi，BiCCCD=C,8|C、C£>u平面CDBi，

，8。_1平面C£）8i,^.^8|。u平面C。81,：.B\DLBC\,

同理，B}D±AiCi，VAICIABCI=CI，AJCBBQu平面4GB,二以。，平面4c4,

YAiPu平面4C8,.,.4P_L3i£>,故A正确;

对于B,VP在线段BC\（含端点）上运动，BC\//AD\,BCiC平面ACD\,A£>iu平面

ACDi，

...8。〃平面71。。1，，/>到人（701的距离是定值,

以G为原点，54为x轴，5Ci为y轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系,

D\（0,0,0）,A（2,0,2）,C（0,2,2）,B（2,2,2）,

D]A=（2,O,2）,D[C=（°，2，2）,D]B=（2，2,2）,

设平面O1AC的法向量7=（x，y，z）,

m*D,A=2x+2z=0_

财_____，取x=l,得n=（I，1，-1）,

m-D1C=2y+2z=0

ID<B*in|n

.♦.P到平面DiAC的距离d=--L^一L=3=£j"，

|m|V33

二三棱锥Di-APC的体积为：

-XSXd

VD]-APC「%-ACDi「3AACDt

vXVx722+22x^22+22xsin60°X挛=暂，故8错误；

对于C,'：AD\//BC\,CD\//A\B,AD\QCD\^D\,BC\QA\B^B,

平面AOiC〃平面BCi4,：4Pu平面BCi4，〃平面ACU,故C正确;

对于。，在线段BG（含端点）上运动，

...当尸与8重合时，AiP与。C所成角为0,

当P与G重合时，4P与。C所成角为三，故O错误.

3

故选：AC.

三.填空题（共4小题）

【解答】解:将数据从小到大排序：4.6,4.8,5.1,5.3,5.3,5.6,5.6,5.6,5.8,6.4,

6.6,7.1.

第二分位数为：5.6+5.6=56,

2

第一分位数为：5.1+5.3=5.2,

2

第三分位数为：5.8+6.4=6」,

2

故答案为：5.2,5.6,6.1.

14.己知i是虚数单位，则殳!迎=l+4i.

1-i

【分析】把分子分母同时乘以分母的共扼复数，化简得答案.

5+3i-(5+3i)(1+i)_5+5i+3i-3

【解答】解:=l+4i-

1-i(l-i)(l+i)2-

故答案为：l+4i.

15.己知等边△ABC,。为BC中点，若点M是△ABC所在平面上一点，且满足正卷标卷I正K,

则加国=0.

【分析】选择标，m为平面向量的一组基底，由平面向量线性运算及平面向量基本定理

即可得解.

【解答】解：由己知有I族1=1菽I

因为标-CM=AB-（AM-AC）

=标・（工而△正-Q）

32

=AB-（^AB-*^AC--AC）

662

=AB・-AB」AC）

63

』2包.菽

6^3

12—*2

=2（AB-AB）

6

=0,

故答案为：0.

16.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到

的（如图）.则该几何体共有14个面:如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的

表面积是7500+2500«

【分析】由题意知截去的八个四面体，再加上6个正方形，该几何体共有14个面；由此

计算该几何体的表面积.

【解答】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上

6个小正方形，

所以该几何体共有14个面；

如果被截止方体的棱长是50c%,那么石凳的表面积是

S衣面相=8X_|x25&X25V^Xsin60°+6X25料X25&=（7500+2500依）Cem2）.

故答案为：14,7500+2500加.

四.解答题（共6小题）

17.设a=（2,0）,b=（1>^3）•

（1）若（W-入4）±b«求实数入的值；

（2）若（x.v€R）,且前=2«,7与E的夹角为三，求x，y的值.

6

【分析】（I）由题可知，a-^b=（2-入，-于是推出（a1入b），b=（2-入，

-后”（1，V3）=0,结合平面向量数量积的坐标运算解之即可；

（2）n=（2x+y,J5，），由前=2«,可得，+xv+）2=3①，由7与E的夹角为匹，可

6

得x+2y=3②，联合①②解方程组即可.

【解答】解：（1）Va=（2,0）,b=（1.“），

a-入6=（2-入，-J§A），

「（a-入b）b，

（a-入b"b=（2-入,-）•（1»=2-入-3入=0,

解得x=

2

（2）ir=xa+yb=x（2,0）+y（1,A/3^=（2x+y,V^y）,

22

•••|ri=2V3«•••（2x+y）+（73y）=12,即/+xy+y2=3①，

与E的夹角为三,

6

.♦.cos—力=?空+的=件,即x+2y=3②，

6Iml-lbl2MX2273

由①②解得x=l，y=l或x=-l,y=2.

18.甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90,乙射中的概

率为0.95,丙射中的概率为0.95.求：

（1）三人中恰有一人没有射中的概率；

（2）三人中至少有两人没有射中的概率.（精确到0.001）

【分析】(1)利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中恰有一

人没有射中的概率；

(2)利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中至少有两人没有

射中的概率.

【解答】解：(1)甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，

甲射中的概率为0.90,乙射中的概率为0.95,丙射中的概率为0.95.

.•.三人中恰有一人没有射中的概率为：

P=0.9X0.95X0.05+0.9X0.05X0.95+0.1X0.95X0.95=0.17575^0.176.

(2)三人中至少有两人没有射中的概率为：

P=0.9X0.05X0.05+0.1X0.95X0.05+0.1X0.05X0.95+0.1X0.05X0.05=0.012.

19.如图，在三棱锥V-ABC中，平面%平面ABC,△以B为等边三角形，ACLBC且

AC=BC=&,O,M分别为AB,%的中点.

(1)求证：〃平面MOC；

(2)求证：平面MOC_L平面侬B.

【分析】(1)利用三角形的中位线得出OMINB,利用线面平行的判定定理证明〃平

面MOC；

(2)证明：0cL平面38,即可证明平面MOCL平面%8.

【解答】证明：(1)'.'O,M分别为AB,01的中点，〃丫8,

VMOC,OMu平面MOC,

：.VB//^MOC.

(2)\'AC=BC,。为A8的中点，

OCLAB,

'：平面的8_L平面ABC,OCu平面ABC,

，OCJ_平面VAB,

YOCu平面MOC,

二平面MOC_L平面VAB.

20.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

QsinA-sinC_sinA~~sinB.

ba+c

②2ccosC=acos8+反osA；

③△ABC的面积为工cCasinA+bsinB-csinC).

2

已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.

(1)求C；

(2)若。为4B中点，且c=2,CD=«,求a,b.

【分析】若选①，(1)由已知利用正弦定理可得“2+廿-°2="，利用余弦定理可得cosC

=1,结合C的范围即可求解C的值.(2)由题意利用三角形的中线定理可得：b2+a2

2

=8,又由余弦定理可得4=/+/-如,联立方程可求a,b的值.

若选②，(1)由正弦定理化简已知等式可得：2sinCc°C=sinC,结合sinCWO,可求cosC

=工，结合范围ce(0,TT),可求C的值.(2)解法同上；

2

若选③，(1)由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可得cosC=工，结合C的范围，

2

可求C的值.(2)解法同上；

【解答】解：若选①，

⑴..sinA-sinCsinA-sinB,

ba+c

由正弦定理可得：y二冬=旦二旦，整理可得：/+序-?=ab,

ba+c

2-221

/.cosC=———=—,

2ab2

vce(0,n),

・r_K

3

(2)VC=—,。为AB中点，且c=2,CD=M，

3

：.AD=BD=],

工由三角形的中线定理可得:廿+J=2(4D2+CD2),即/+〃2=2(1+3)=8,①

又'・•由余弦定理-2abcosC,可得:4=a2+/>2-ab,②

・•・由①②可得灿=4,进而解得。=。=2.

若选②

(1)*.*2ccosC=acosB+bcosA,

二.由正弦定理可得：2sinCcoC=sirb4cos8+sin5cosA=sin(A+B)=sinC,

VsinC^O,

・，・可得cosC=—t

2

vce(0,IT),

♦「一冗

3

(2)解法同上；

若选③

(I)；/XABC的面积为上c(asin4+bsin8-csinC)=LzbsinC,

22

22

二由正弦定理可得：—rCa+h~-c)=^ahc,即：2ahcosC=ah,可得cosC=上,

222

VCG(0,n),

（2）解法同上;

21.“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史.明代万历

十一年（1583年）的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原

中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护.某超市在旅

游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元销售的方案是当天进货，当

天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理.根据该超市以往的销售情况，

得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x个(x6N,0WxW240),

销售利润为y元.

(i)求y关于x的函数关系式；

(ii)结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650

元的概率.

【分析】(1)先利用各组频率之和为1，求出a的值，再利用每组区间的中点值乘以该组

的频率依次相加，即可估算出平均数；

(2)(i)分情况讨论，得到y关于x的分段函数的函数关系式即可；(百)利润y2650,

当且仅当日需求量工日140,240J.由频率分布直方图求出工日140,240］的频率，以频率

估计概率的思想，能估计当天利润y不小于650元的概率.

【解答】解:(1)由题意可知：(0.00l25+a+0.0075+0.00625+a+0.0025)X40=l,

解得4=0.00375；

所以平均数x=(20X0.00125+60X0.00375+100X0.0075+140X0.()0625+180X

0.00375+220X0.0025)X40

=0.05X20+0.15X60+0.3X100+0.25X140+0.15X180+0.1X220=124；

(2)(0当在［150,240］时，y=150X(20-15)=750,

当150)Bi,y=(20-15)x-(150-x)(15-10)=10x-750,

(750,150<x<240,

故,(xeN)；

lOx-750,0<x<15C

(ii)由(i)可知，利润)2650,当且仅当日需求量入印40,240］.

由频率分布直方图可知，日需求量xRI40,