高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(原卷版+解析)

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线的方向向量；平面的法向量；线线平行；线面平行；面面平行；线线垂直；线面垂直；面面垂直。课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一．直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.

⑵．平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．③求出平面内两个不共线向量的坐标．④根据法向量定义建立方程组.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.二、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.三、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若考点讲解⑶面面垂直。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.考点讲解考点1：直线的方向向量例1．（多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（

）A．（2，1，3） B．（4，1，6）C． D．【方法技巧】利用是空间直线l上的两点，以及向量的坐标运算法则，即可求出空间直线l的方向向量..【变式训练】【变式】．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（

）A． B． C． D．考点2：平面的法向量例2．（多选）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（

）A．与是共线向量B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）C．与夹角的余弦值是D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）【方法技巧】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.【变式训练】【变式1】．已知平面，写出平面的一个法向量______．【变式2】．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面的一个法向量；(2)求平面的一个法向量．考点3：线线平行例3：若直线，的方向向量分别为，，则，的位置关系是（

）A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合【方法技巧】1.建立合适的空间直角坐标系2.求出需要直线的方向向量。看方向向量是否共线【变式训练】（多选）已知，，若，则与的值可以是（

）.A．2， B．， C．， D．，2考点4：线面平行例4：如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面.【方法技巧】建立合适的空间空间直角坐标系。求出平面的法向量和直线的方向向量。求出方向向量与法向量的关系即可【变式训练】【变式】如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：平面．考点5：面面平行例5：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD.【方法技巧】首先建立空间直角坐标系，利用坐标法证明直线和平面平行或者两个平面的法向量共线最后根据面面平行判定定理得证.【变式训练】【变式】：如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.考点6：线线垂直例6．如图，空间四边形中，.求证：.【方法技巧】建立合适的空间的空间直角坐标系。求的两条直线的方向向量，利用向量的运算即可。【变式训练】【变式1】设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,．求证：；考点7：线面垂直例7.如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．【方法技巧】①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若【变式训练】【变式】：若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．考点8：面面垂直例8．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.【方法技巧】若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.【变式】如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．(1)求证：平面ABD．(2)求证：平面平面ABD．知识小结知识小结⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.

（4）线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.（5）线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若（6）面面垂直。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.巩固提升巩固提升一、单选题1．“点在直线上，但不在平面内”，用数学符号表示正确的是（

）A．且A∉aB．且C．且A∉a D．且2．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．23．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（

）A．4 B．3 C．2 D．14．在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(

)A． B． C． D．5．如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（

）A．平面B．平面C．D．6．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（）A．l∥α或l⊂α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交二、多选题7．下列命题是真命题的有（

）A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则8．已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（

）．A． B．C． D．三、填空题9．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.10．若点，，，则平面ABC的一个法向量______．11．在三棱锥中，，，，，则直线SC与BC的位置关系是______.12．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）四、解答题13．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．14．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD的中点．求证：．15．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．16．如图，正方体中，、分别为、的中点．(1)用向量法证明平面平面；(2)用向量法证明平面．1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线的方向向量；平面的法向量；线线平行；线面平行；面面平行；线线垂直；线面垂直；面面垂直。课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一．直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.

⑵．平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．③求出平面内两个不共线向量的坐标．④根据法向量定义建立方程组.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.二、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.三、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若考点讲解⑶面面垂直。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.考点讲解考点1：直线的方向向量例1．（多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（

）A．（2，1，3） B．（4，1，6）C． D．【答案】AC【详解】设点,，那么，即为空间直线l的一个方向向量，也是空间直线l的一个方向向量.故选：AC【方法技巧】利用是空间直线l上的两点，以及向量的坐标运算法则，即可求出空间直线l的方向向量..【变式训练】【变式】．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直线的方向向量的定义直接求解.【详解】因为，在直线l上，所以直线l的一个方向向量为.故选：C.考点2：平面的法向量例2．（多选）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（

）A．与是共线向量B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）C．与夹角的余弦值是D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）【答案】BC【分析】A选项直接写出与，按照共线向量即可判断；B选项直接计算法向量即可.C选项通过夹角公式计算即可；D选项由单位向量的求法进行判断；【详解】对A，，，因为，显然与不共线，A错误；对B，设平面的法向量，则，令，得，B正确.对C，，，C正确；对D，方向相同的单位向量，即，D错误；故选：BC【方法技巧】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.【变式训练】【变式1】．已知平面，写出平面的一个法向量______．【答案】（答案不唯一）【详解】设法向量为，则有，令得：，所以故答案为：【变式2】．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面的一个法向量；(2)求平面的一个法向量．【答案】(1)(答案不唯一)(2)(答案不唯一)【分析】（1）由x轴垂直于平面，可得平面的一个法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解.(1)因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．(2)因为正方体的棱长为3，，所以M，B，的坐标分别为，，，因此，，设是平面的法向量，则，，所以，取，则，．于是是平面的一个法向量．考点3：线线平行例3：若直线，的方向向量分别为，，则，的位置关系是（

）A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合【答案】D【详解】因为，，所以，即，所以或与重合.故选：D.【方法技巧】1.建立合适的空间直角坐标系2.求出需要直线的方向向量。看方向向量是否共线【变式训练】（多选）已知，，若，则与的值可以是（

）.A．2， B．， C．， D．，2【详解】由，可设，即，得，解得，或2，故A，C都符合选项.故选：AC考点4：线面平行例4：如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面.【答案】证明见解析.判断为平面的一个法向量，由，且平面，利用线面平行的判定定理即可证出.【详解】如图，以为坐标原点，线段的长为单位长度，以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.根据题意，，，，故有，，所以为平面的一个法向量.又因为，且，即，且平面，故有平面..【方法技巧】建立合适的空间空间直角坐标系。求出平面的法向量和直线的方向向量。求出方向向量与法向量的关系即可【变式训练】【变式】如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：平面．证明：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，设平面的法向量为，则，故可令，，所以平面.考点5：面面平行例5：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N，E，F(1，3，4).∴，.∴.∴MN∥EF，AM∥BF.∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.又MN∩AM=M，∴平面AMN∥平面EFBD.【点睛】本题考查面面平行的判定，关键是通过建立空间直角坐标系来证明线面平行，属于基础题.【方法技巧】首先建立空间直角坐标系，利用坐标法证明直线和平面平行或者两个平面的法向量共线最后根据面面平行判定定理得证.【变式训练】【变式】：如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.【详解】由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,,,,,设平面的一个法向量为，则即，令，解得所以设平面的一个法向量为，则即，令，解得所以所以∴平面∥平面.考点6：线线垂直例6．如图，空间四边形中，.求证：.【答案】证明见解析【详解】试题分析：利用三个不共面的向量作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵，∴.∵，∴.∴（1）同理:由得（2）由（1）－（2）得∴，∴，∴，∴.【方法技巧】建立合适的空间的空间直角坐标系。求的两条直线的方向向量，利用向量的运算即可。【变式训练】【变式1】设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为，所以，则，解得.故选：B.【变式2】如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,．求证：；证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得（Ⅰ） 考点7：线面垂直例7.如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，由于，所以平面.【方法技巧】①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若【变式训练】【变式】：若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．【详解】因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，所以与共线，，所以直线l与平面的位置关系为垂直，故答案为：垂直或考点8：面面垂直例8．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.【答案】证明见解析.【分析】首先取的中点，的中点，连接，得到，根据平面平面，得到平面，根据，得到，再以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，，根据，即可证明平面平面.【详解】取的中点，的中点，连接，则，又平面平面，平面平面，所以平面，又，所以，以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，，则，，，，，所以，，，设是平面的法向量，是平面的法向量，则由，，得令，则，即，同理，，令，可得，即.因为，所以平面平面.【点睛】本题主要考查利用向量法证明面面垂直，同时考查学生的计算能力，属于简单题.【方法技巧】若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.【变式】如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．(1)求证：平面ABD．(2)求证：平面平面ABD．证明：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，所以，，，所以，，所以，，所以，．又，所以平面ABD．(2)由（1）可得，，，，所以，，所以，．所以，．因为平面，平面所以平面同理可证：平面又，所以平面平面ABD．知识小结知识小结⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.

（4）线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.（5）线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若（6）面面垂直。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.巩固提升巩固提升一、单选题1．“点在直线上，但不在平面内”，用数学符号表示正确的是（

）A．且A∉aB．且C．且A∉a D．且【答案】A【分析】根据点线关系和点面关系判定即可.【详解】点在直线上，则，因为点不在平面内，所以.故选：A.2．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由题意得到，列出方程，求出实数的值.【详解】由题意得：，所以，解得：故选：C3．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；【详解】解：因为，，所以，因为平面的一个法向量为，所以，则，解得，故选：C.4．在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解．【详解】如图，∵、、均垂直于平面ABC，故选项D中可以作为平面ABC的法向量．故选：D．5．如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（

）A．平面B．平面C．D．【答案】A【分析】对A：由平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断；对B：若平面，则，这与和不垂直相矛盾，从而即可判断；对C、D：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由与不是共线向量，且，从而即可判断.【详解】解：对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确；对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直，所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误；对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，因为与不是共线向量，且，所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误.故选：A.6．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（）A．l∥α或l⊂α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交【答案】A【分析】直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，计算数量积，即可判断出结论．【详解】直线的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，，，或，故选：A二、多选题7．下列命题是真命题的有（

）A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；对于C，，故，可得l在α内或，C错误；对于D，，易知，故，故，D正确.故选：ABD.8．已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的定义判断．【详解】两直线的方向向量平行，而两直线不重合，则它们平行，A错；两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，B正确；两个平面的法向量平行，则这两个不重合的平面平行，C错．两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直，D正确．故选：BD．三、填空题9．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.【答案】【分析】根据可求出结果.【详解】因为平面，所以，则，解得.故答案为：10．若点，，，则平面ABC的一个法向量______．【答案】【分析】根据题意求得向量，结合法向量的求法，即可求解.【详解】由题意，点点，，，可得向量，设平面的法向量为，可得，取，可得，所以平面的一个法向量为.故答案为：.11．在三棱锥中，，，，，则直线SC与BC的位置关系是______.【答案】垂直【分析】以A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴､z轴建立空间直角坐标系，利用向量法判断.【详解】以A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴､z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由，，，得，，，，.因为，所以.故答案为：垂直12．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【分析】根据直线方向向量的定义和异面直线的定义即可的得到答案.【详解】若，不平行，则，相交或异面，若，异面，则，不平行.所以“，不平行”是“，异面”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.四、解答题13．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．【答案】证明见解析.【分析