高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章 直线和圆的方程》章节练习（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章直线和圆

的方程》章节练习

-、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）直线2经过两条直线3x+4y—5=0和3x—4y—13=0的交点，且与直线工+

2y+l=0垂直，贝〃的方程是（）

A.2x+y—7=0B.2x—y—7=0

C.2x+y+7=0D.2x—y+7=0

2.（5分）到直线2x+y+l=0的距离为f的点的集合是（）

A.直线2x+y—2=0B.直线2x+y=0

C.直线2x+y=。和2x+y-2=0D.直线2x+y=0和2x+y+2=0

3.（5分）直线百%+y—1=0的倾斜角是（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

4.（5分）过P（2,—2）的直线L与圆（x—l）2+y2=i相切，则直线2的方程为（）

A.3x+4y+2=0或y=-2B.4x4-3y-2=0或y=—2

C.3x+4y+2=0或％=2D.4x4-3y-2=0或x=2

5.（5分）若方程%2+y2一冗+y+m=0表示圆，则实数TH的取值范围是（）

A.m<-B.m>-C.m<0D.m<-

222

6.（5分）直线％+V2y-1=0的斜率是（）

A.V2B.-V2C.—D.

22

7.（5分）已知直线m过点A（2,-3）,且在两个坐标轴上的截距相等，则直线加的方程

是（）

A.3x+2y=0B.x+y+l=0

C.x+y+1=0或3x+2y=0D.x+y—1=0或3x-2y=0

8.（5分）直线x+2y+3=0在y轴上的截距为（）

A.-B.3C.-3D.--

22

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若4、B为平面上相异的两点，则所有满

足：篇=入（入>0,且入力1）的点P的轨迹是圆“，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯

圆.在平面直角坐标系xOy中，4（一2,0）,B（4,0）,若入=%则下列关于动点P的结论

正确的是（）

A.点P的轨迹方程为/+y2+gx=o

B./APB面积的最大值为6

C.在x轴上必存在异于4、B的两定点M、N,使得第=：

D.若点Q（-3,l）,贝I]21PAi+|PQ|的最小值为5a

10.（5分）已知双曲线C：x2-^=1,则（）

A.双曲线C的离心率等于焦距的长

B.双曲线y2一亍=1与双曲线C有相同的渐近线

C.双曲线C的一条准线被圆/+y2=1截得的弦长为绡

D.直线丫=1«+”包匕6/?）与双曲线（：的公共点个数只可能为0,1,2

11.（5分）已知圆C：（x-I）2+（y-2）2=25,直线，：（2m+l）x+（m+l）y-

7m-4=0.下列命题正确的有（）

A.直线1与圆C可能相切

B.y轴被圆C截得的弦长为4声

C.直线，被圆C截得的最短弦长为26

D.直线I被圆C截得弦长最短时，直线[的方程为2x-y-5=0

12.（5分）设有一组圆0：0-1）2+0-/02=卜4（k67*）.下列四个命题正确的是（）

A.存在匕使圆与x轴相切

B.存在一条直线与所有的圆均相交

C.存在一条直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

13.（5分）过点的直线，与圆/+y2+4x=0相交于4,B两点，当|AB|取得最值时，

直线1的方程是（）

A.x-y+2=0B.x-y=0C.x-y-2=0D.x+y=0

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）圆/+丫2+工=0与圆/+}/2-2丫=0的公共弦所在的直线方程为

15.（5分）已知点4（0,2）关于直线，的对称点为B（4,0）,点C（6,3）关于直线2的对称点为

D（m,ri）,则m+n=.

16.（5分）已知点P（l,3）,点Q（-1,2）,点M为直线x-y+l=0上一动点,则|PM|+

|QM|的最小值为.

17.（5分）设直线，：3x+4y+4=0,圆C：（x-2）2+y2=r2（r>0）,若圆C上存

在两点P，Q,直线I上存在一点使得NPMQ=90。，则r的取值范围是.

18.（5分）过点P（3,4）且与直线2x-y+l=0平行的直线方程为.

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知线段AB两个端点的坐标为4（2,4）,8（3,2）,点P（x,y）是线段AB上一

个动点.

(1)求号的最大值和最小值.

(2)求匕W的取值范围.

20.(12分)已知圆心在原点的圆被直线y=x+l截得的弦长为

(1)求圆的方程；

(2)设动直线、=卜。-1)(/£力0)与圆。交于4B两点，问在久轴正半轴上是否存在定

点N,使得AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说

明理由.

21.(12分)圆心为C的圆经过点4(0,2)和点点(2,0),且圆心C在直线。:2x—y-4=0

上.

(回)求圆C的方程；

(13)求直线12：3X+4y-8=0被圆C截得的弦的长度.

22.(12分)如图，遮m)和B(n,-bn)两点分别在射线OS、OT上移动,且

OA.OB=。为坐标原点，动点P满足4=&+a.

(I)求)《•71的值；

(II)求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？

(III)若直线/过点E(2,0)交(H)中曲线C于M、N两点，且&=3尿，求［的方程.

23.(12分)已知圆M：x2+y2-2x-2y-2=0,直线L过点P(2,3)且与圆M交于4,

B两点，且|AB|=2g,求直线L的方程.

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】

该题考查直线方程的求解，涉及直线的交点和直线的垂直问题，属基础题.

先解方程组求出交点，然后利用垂直得到斜率，然后求出方程即可.

解：联立方程｛产解得x=3,y=-l,

故所求直线1过点(3,-1),

由直线x+2y+1=0的斜率为—也

可知I的斜率为2,

由点斜式方程可得：y+l=2(x—3),即2x-y-7=0,

故选B.

2.【答案】D:

【解析】设点(x,y)满足条件，则=整理得2x+y=0和2x+y+2=0,故

选D.

3.【答案】C;

【解析】

此题主要考查直线的倾斜角的求法，是基本知识的应用.首先求出直线的斜率，然后求

解直线的倾斜角即可.

解：设直线的倾斜角为a.

因为直线gx+y-1=。的斜率为一百，

所以tana=-V^,a=120°,

故选C.

4.【答案】D;

【解析】解：圆1)2+f=1的圆心为(i,o),半径为1,

当直线，的斜率不存在时，直线，的方程为x=2,圆心(1,0)到，的距离为1,满足题意;

当直线2的斜率存在时，设直线I的方程为、=k(x-2)-2,即kx-y-2k-2=0,

因为直线，与圆(x-I)2+y2=1相切，

所以端浮=1,解得k=_；,

Vk2+14

此时直线，的方程为4x+3y-2=0,

综上，直线，的方程为4*+3丫­2=0或％=2.

故选：D.

分直线1的斜率不存在和存在两种情况分类讨论，从而可得直线1的方程.

此题主要考查圆的切线方程，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】A;

【解析】解：方程/+y2-X+y+m=0即（X-+（y+§2=g一此方程表

示圆时，应有1-巾>0,

解得m<5

故选：A.

方程/+/一％+y+7n=0即（万一+⑶+今2=[一小，此方程表示圆时，应有

|-m>0,由此求得实数m的取值范围.

这道题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题.

6.【答案】D;

【解析】

由直线一般式的斜率计算公式即可得出.

该题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

解：直线x+V2y—1=0的斜率上=一专=一手

故选：D.

7.【答案】C:

【解析】解：①当直线经过原点时，直线方程为y=—|x,即3x+2y=0；

②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a,贝b=2-3=-1,因此所

求的直线方程为x+y+1=0.

综上所述，直线ni的方程是3x+2y=0或x+y+1=0.

故选：C.

分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可.

该题考查了截距式、分类讨论等基础知识，属于基础题.

8.【答案】D;

【解析】

此题主要考查直线方程的截距的概念，属于基础题.

利用直线方程的截距的概念，令％=0,则y=-|,即可求解；

解：因为直线x+2y+3=0,

令x=0.则y=-|,

所以在y轴上的截距为-|.

故选D.

9.【答案】ACD;

【解析】解：对于选项4,设P(x,y),因为P满足|P偿B|=23所以J铲(♦4着)z+yJz=32

化简得好+8x+y2=0,故4正确；

对于选项B,由选项力可知，点P的轨迹方程为/+y2+8x=o,

即(x+4)2+y2=16,所以点P的轨迹是以(—4,0)为圆心，4为半径的圆，

又|AB|=6,且点4B在直径上，

故当点P到圆的直径距离最大的时候，4PAB的面积最大值，

因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即4PAB的高的最大值为4,

所以ZPAB面积的最大值为：x6x4=12,故B错误；

对于选项C,假设在x轴上存在异于A,B的两定点M,N,使得需=也

设N(n,0),

故器?即J(K-A)2+y2=2j(x-m)2+y2,

化简可得/+V=空％+若贮=o.

8m—2n

------=8o

又点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0,可得1卅3，

4m—n八

----=0

3

解得伍=-12或｛n—4(舍去)，

故存在异于48的两定点M(—6,0),N(—12,0),使得需=点故C正确；

对于选项。，因为陪=：，所以21PAl=|PB|,所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|,

又点P在圆好+8x+y2=0上，

如图所示，

所以当P,Q,B三点共线时21PAi+|PQ|取最小值,此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|=

7(4-(-3)]2+(0-l)2=5V2,故D正确.

故选：ACD.

设出点P的坐标，根据黑=；即可求出点P的轨迹方程，即可判断选项4是否正确；

1阳2

根据点4(-2,0),8(4,0)的位置关系和圆的性质，即可求出4APB面积的最大值，进而

判断选项B是否正确；

设N(n,0),根据寥=：可求出点P的轨迹方程，再与产+y?+8x=。方程

进行对比，根据系数关系，列出方程组，即可求出n值，进而判断选项C是否正确;

由题意可知21PAi=PB,所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|,当P,Q,B三点共线时，

2|PA|+|PQ|取最小值，最小值为|BQ|,由此即可判断选项。是否正确.

此题主要考查了轨迹方程，圆的方程以及与圆有关的最值问题，属于中档题.

10.【答案】CD;

【解析】

此题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲

线的位置关系，属于中档题.

根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选

项逐一分析，由此确定正确选项.

解：由双曲线C方程可知，a=1,b-2,c=V5,

所以离心率e=£=cH2c,故A不正确；

a

双曲线C的渐近线方程为y=±^%=±2x,

而双曲线y2一9=1的焦点在y轴上，渐近线方程为y=±|x,

二者渐近线方程不同，所以B错误；

圆/+y2=1的圆心(0,0)到双曲线C的准线y=±9=±9的距离为9，

所以准线被圆/+y2=1截得的弦长为2XJJ(g)2=2j1=誓，

故C正确；

由直线与双曲线的位置关系可知直线y=kx+b与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,

2,故。正确.

故选：CD.

11.【答案】BD;

【解析】解：将直线心(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0整理为(x+y-4)+

m(2x+y—7)=0,

令｛2x+y-7=0,解得｛y=l,

故无论m为何值，直线/恒过定点。(3,1),

•••圆C：(x-1)2+(y—2/=25,

•••圆C(l,2),半径r=5,

•••|CD|=J(1-3尸+(2-1尸<5,

•••定点。在圆内，直线I与圆相交，故4错误，

:圆C：(x-I)2+(y-2)2=25,

.♦•令x=0,则(y-2)2=24,解得y=2±2乃，

故y轴被圆C截得的弦长为4A后，故B正确，

圆心C(l,2),r=5,CD=遍，

当截得的弦长最短时，Z1CD,/CCD=-|-

则直线I的斜率为2,

最短弦长为2152-(遮尸=4V5,故C错误，

故此时直线，的方程为y-1=2(x-3),即2x—y—5=0,故0正确.

故选：BD.

先求出直线1的定点，通过两点之间的距离公式，可判断该定点在圆内，即可求解4选

项，令4=0,则(y—2)2=24,解得y=2±2乃，即可求解B选择，结合椭圆最短弦

的性质，即可求解CD选项.

此题主要考查直线与圆的位置关系，考查最短弦问题，属于中档题.

12.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，考查推理能力和计算能力，属

于一般题.

当k=l时4正确；对于B、存在直线x=l；由于所有直线与圆都相交，故C错误；将

(0,0)代入即可判断。错误.

解：对于2：存在k,使圆与x轴相切0/£=12(1€/7*)有正整数解=卜=1,故4正确;

对于B：因为圆心(l,k)恒在直线x=1上，故B正确；

对于C：当k取无穷大的正数时，半径/也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不

正确；

对于。：将(0,0)代入得1+1=妙，即1=12(卜2一1),因为右边是两个相邻整数相乘

为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故。正确.

故选ABD.

13.【答案】AD;

【解析】

此题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

分|AB|取得最小值和最大值两种情况，求出直线，的斜率，从而求得直线，的方程.

解：圆/+V+4x=0即圆(％+2/+y2=%是以C(-2,0)为圆心，r=2为半径的

圆，

%=*=1，

过点的直线/与圆/+y2+4x=0相交于4B两点，点在圆内,

当|AB|取得最小值时，AB1PC,做PC./CAB=-1，

=直线I的方程是y-1=一。+1)，即％+y=0，

当|AB|取得最大值时，直线I经过圆心C,fcAB=kPC=1,

・,・直线/的方程是y—1=%+1,即％-y+2=0,

故选AD.

14.【答案】x+2y=0;

【解析】解：圆％2+y2+%=o与圆％2+y2-2y=0的公共弦所在的直线方程即为两

圆方程相减可得：即为x4-2y=0.

故答案为：%+2y=0.

两圆公共弦即为方程相减.

该题考查公共弦方程，为基础题.

15.【答案】小

【解析】

该题考查直线关于点、直线对称的方程，根据题意，得到折痕为4B的对称轴；也是

C,。的对称轴，求出A,B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C,。的斜率令

其等于对称轴斜率的负倒数，求出C,。的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，

求出皿，n的值，得到答案.

解：根据题意，得到折痕为4(0,2),8(4,0)的对称轴:

也是C(6,3),D(zn,n)的对称轴,

AB的斜率为/CAB=-%其中点为(2,1),

所以图纸的折痕所在的直线方程为y-1=2(%-2)

所以hD=^=4，①

CD的中点为(等,等)，

所以等一1=2(等一2)②

由①②解得m=n=

所以zn+n=y.

故答案为：y.

16.【答案】3;

【解析】利用对称思想方法求距离最值问题，考查转化思想和计算能力，属于中档

题.由已知可判断P,Q在已知直线的两侧，求出P关于直线的对称点P'的坐标，根据

对称性转化为|P'M|+|QM|的最小值的问题，利用两点之间的路程已知线段为最短得

到问题的答案.

解：设P(L3)关于直线的对称点的坐标为P'(a,b),

根据PP'与已知直线垂直，并且线段PP'的中点做已知直线上，.・・{1+.%：一，:

--—+1=0

22

Q=2,b=2,二P'(2,2),

由于P'与Q的纵坐标相同，・•.|PM|+|QM|=\PfM\+|QM|的最小值为|P'Q|=24-1=

3,故答案为3.

17.【答案】［企,+oo);

【解析】

此题主要考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题.

由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC时，使得过M作圆的两条切线，切线

夹角大于等于90。即可.

解：圆C：。一2)2+y2=「2,圆心为：(2,0),半径为r,

•在圆C上存在两点P,Q,在直线/上存在一点M,使得NPMQ=90。，

••・在直线，上存在一点M,使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90。，

••・只需MC，/时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90。即可

•••C到直线2：3x+4y+4=0的距离2,则r>2Xsin45。=①

故答案为[VI,+8).

18.【答案】2x-y-2=0;

【解析】解：设与直线2x-y+1=0平行的直线的方程为2x-y+c=0,

由点P(3,4)在直线2x—y+c=0上，可得c=-2,

故直线的方程为2x-y-2=0.

故答案为：2x—y—2=0.

设与直线2x-y+1=0平行的直线的方程为2x-y+c=0,由点P(3,4)在直线2x-

y+c=0上，求出c,再确定直线的方程.

此题主要考查的知识要点：直线的方程的求法，平行直线系的应用，主要考查学生的

运算能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)如图所示,

其中力(2,4),8(3,2),则白岩可看作是直线OP的斜率,

由图知，k°B<fcop《koA，而=3,koA=2,

所以G)=2,仁)=-

max

因为所以施韦=^+1-2211

(2)2|,2],x____=1___c

513.

XX

所以裁的取值范围是卜2，,.;

【解析】此题主要考查直线斜率几何意义的应用,

(1)依题意，？=W可看作是直线OP的斜率，由图知，/COB从而求得最

XX—0

值.

(2)由⑴知“肉21所以a=1-备,从而求得结果.

20.【答案】解：（1）圆心（0,0）到直线y=x+l的距离为11=*

由圆的性质可得/=d?+（竽M

二圆的方程为：x2+y2=4.

（2）设N（30）,A（.，yi）,B（不，、2）.

22

由2=工，得（k2+[）x2,2kx+k-4=0.

（y=k（x-1）

.,2k2k2-4

.•与+上=诉'

若直线AN与直线BN关于x轴对称，贝味AN-k.，2工+—=。•仁义+幺3=

Xi-tX2-tXi-tX2-t

0

=>2X1%2-（t+l）（%i+%2）+2t=0=>2]_4）_+2t=0,

1z1zk2+lfc2+l

nt=4.

・••在x轴正半轴上存在定点N(4,0),使得AN与直线BN关于x轴对称.；

【解析】

⑴圆心(0,0)到直线y=%+1的距离为d=专

由圆的性质可得i=d2+有/=4,即可；

(2)设N(t,0),4(4%)，s(x2,y2).

由—F，得(必+1)%2-2/x+k2-4=0.Xj+X2=%1刀2=刍三,

(y=k(x-1)1zi+fc21/k2+i

若直线AN与直线BN关于x轴对称，则/CAN=-4BN=气+勺=0=乎+

Xj-C42-tX1-t

"父=0即可求得t.

x2-t

该题考查了圆的方程，圆的弦长的计算，定点问题，属于中档题.

21.【答案】解：(团)设圆。的方程为久2+y2+Dx+Ey+F=0.

4+2E+尸=0

4+2D+F=0

(2x(令(号)一4=。’

，D=-8

解得：E=-8,故所求圆C的方程为/+y2-8x-8y+12=0.

F=12

(团)圆心到工2的距离为d==4,

所以弦长的一半为V20-16=2,于是直线，2被圆c截得的弦的长度为4.;

【解析】

此题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相交时弦长公式的计算，考查学生的运

算能力.

（国）利用待定系数法即可求圆C的方程；

（团）根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可.

22.【答案】解：（I）由已知得

OA.OB=（m,V3m）.（n,—V5n）（1分）

=—2mn=--

2

m.n=-（4分）

4

（II）设P点坐标为（x,y）（x>0）,由6^=八+&

得（x，y）=（m,V3m）+（n,—V3n）=（m+n,V3（m—n））（5分）

j7^葭［死）消去m，n可得x2-^>=4mn,又因mn=：（8分）

，P点的轨迹方程为小一?=l（x>0）

它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2,焦距为4的双曲线M-

9=