人教版B版（2019）高中数学必修第一册：第三章综合测试 （含答案与解析）

第三章综合测试

一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.已知函数/。）=0?+灰+4（a,b不为零）,且"5）=10,则/（-5）等于（）

A.-10

B.-2

C.—6

D.14

2.已知函数）=/（尢+1）的定义域为[―2,0],若左£0，则函数尸（幻=/（%-幻+/（x+Q的定义域为（

A.[k-U-k]

B.[-1,1+幻

C.[k-U+k]

D.[-k-U-k]

3.已知函数/1一£）=/+=，则/（3）等于（）

A.8

B.9

C.11

D.10

x1+2x,x<0,

4.已知函数/(x)=〈，若/(—a)+/(a)W0,则实数。的取值范围是()

x-2x,x20,

A.[-1,1]

B.[-2,01

C.[0,2]

D.[-2,2]

5.若函数/⑴="2+(a-2/?)x+a-l是定义在(一a,0)U(0,2〃一2)上的偶函数，则/巴上一=()

、5,

A.1

B.3

6.某工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外，每生产1件该产品还需要增加投资1万元，已

知年产量为x(xeN')件，当xW2。时，年销售总收入为(33x-万元；当x>20时，年销售总收入为260

万元,记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，要使年利润最大，则该工厂的年产量为

(年利润=年销售总收入-年总投资)()

A.14件

B.15件

C.16件

D.17件

7.设集合4=0,|j,B=,函数/（幻=X+2，XE,若天)eA，且/"[/(厢)]eA,则与的取值范

2(1-X),XGB,

围是()

8.已知二次函数/(力=/一(/_1)X+2nl在[0,1]上有且只有一个零点，则实数加的取值范围为()

A.(-2,0)

B.(-2,0]

C.[-2,0)

D.[-2,0]

9.已知函数/(x)是R上的偶函数，且满足/(5+x)=f(5-x),在[0方上只有/(1)=0,则/(x)在

[-2018,2018]上的零点的个数为()

A.808

B.806

C.805

D.804

二、多选题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，

全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分)

10.下列各组函数表示的是同一个函数的是()

A./(x)=V-2x3与g(x)=x-J-2x

B.y(x)=N与g(x)=J^

C./(x)=x+gg(x)=x+x°

D./(x)=4与g(x)=%°

x

E.f(x)=Vx-Jx+1与g(x)=yjx2+x

U.下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是()

A.f(x)=\x\

B./(%)=-

X

C./(x)=3

D./(x)=x|H

E./3=-五

12.已知函数/(x)=Jl-x+Jx+3,则()

A./(x)的定义域为[-3,1]

B./(x)为定义域上的增函数

C./(X)为非奇非偶函数

D./(x)的最大值为8

E./(x)的最小值为2

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)

13.若/")=/'是R上的单调函数，则实数。的取值范围为.

-x+3ez,x<l,

工十。,一1«0,

14.设/(幻是定义在R上的函数，且/(x+2)=/(x),在区间上，/(x)=12-—其中〃wR,

--x,0Wx〈l,

若=则/(5〃)的值是.

15.已知函数y=/(x)在(YO,0)U(0,+OO)上为奇函数，且在(0,+8)上单调递增，/(-2)=0,则不等式

4(x)〈O的解集为.

16.下列说法:

①若方程f+(a-3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，贝iJa<0；

②函数/(x)=77二1+Ji二7是偶函数，但不是奇函数：

③若函数/(X)的值域是[—2,2],则函数/(x+1)的值域为[-3,1]；

④曲线y=|3-和直线y=a(“eR)的公共点个数是加，则加的值不可能是1.

其中正确的为(填序号)

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知函数/(力=啰"是R上的偶函数.

\+x

(1)求实数旭的值；

(2)判断并用定义法证明函数y=/(x)在(-8,0)上的单调性.

18.(12分)己知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且当xWO时，/。)=*+2丫.现已画出函数/(x)在y

轴左侧的图像，如图所示，请根据图像解答下列问题.

(1)写出函数f(x)(xeR)的增区间；

(2)写出函数/(x)(xeR)的解析式：

(3)^^^g(x)=/(x)-2ox+2(xe[l,2]),求函数g(x)的最小值.

X-4-n

19.(12分)已知函数/(x)=^—K/(1)=2.

x

(1)判断并证明函数/(X)在其定义域上的奇偶性;

(2)证明函数f(x)在(1,+oo)上是增函数；

(3)求函数/*)在区间［2,5］上的最大值和最小值.

20.(12分)近年来，雾霾日益严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今

的热点问题.某空气净化器制造厂决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有

关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x(百台)，其总成本为P(x)(万元)，其中固定成本为

12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入Q(x)(万

元)满足。。)=1-()5『+22吊0、彳忘16),假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规

224(x>16),

律，请完成下列问题:

(1)求利润y=/(x)的函数解析式(利润=销售收入-总成本);

(2)工厂生产多少台产品时，可使利润最多？

21.(12分)若非零函数对任意实数a/均有/(a+b)=/(a)g〃b),且当x<0时，/(x)>1.

(1)求证：f(x)>0；

(2)求证:7(x)为减函数；

当，()时，解不等式/任+一痢口——用.

(3)4q

22.（12分）已知函数/（x）对任意的实数〃都有/（机+〃）=/（利）+/（〃）-1,且当x＞0时，有/（幻＞1.

（1）求〃0）;

（2）求证：/（0）在R上为增函数；

（3）若/（1）=2,且关于x的不等式/（ax—2）+/卜一/）＜3对任意的xe[l,+oo）恒成立，求实数。的取值

范围.

第三章综合测试

答案解析

~*、

1.【答案】B

【解析】Q/(5)=125«+5Z?+4=10,125«+5^=6

f(—5)=—125a—5人+4=—(125«+5b)+4=—6+4=—2.故选B.

2.【答案】A

Q/(x+l)的定义域为[-2,0],

—

.1.X+1G[1,1]

4解得《

-1WX+AW1,[-女-1WXW-Z+1

即IWxW—(O4V1)

3.【答案】C

2>

【解析】CQ/f%--l=x+-!?=f%--|+2

IX)xIX)

=X2+2,:./(3)=32+2=11.44

4.【答案】D

【解析】当〃>0时，/(-a)+f(a)=2a2-4a^0.解得0VaW2；当a=()时，/(-a)+/(a)=O,符合条

件；

当a<0时，/(-a)+f(a)=2a2+4a^Q,解得—2WaVO.综上，aw[—2,2],故选D.

5.【答案】B

【解析】:•偶函数的定义域关于原点对称，

一。+2。-2=0,解得。=2.

由/(-x)=/(x)可得a-2b=0,；.b=1.

/(X)=2X2+1,

/+/、

■■f=/⑴=3,故选B.

6.【答案】C

【解析】由题意得,

-x2+32X-100,0<启20,XeN+,

160-x,x>20,xeN,

当0VxW20时，y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16时，=156；而当x>20时，160-x<140,

所以尤=16时，所得年利润最大，故选C.

7.【答案】C

【解析】QOW与vg,

/(xo)=xo+-G2,1)'

”[〃％)]=2x[l-〃%)]=2xl_Qo+；)]=2x(g_与)，

Q/[/(x())]eA,;.0W2x(g一Xo)〈g,

--4^°^2'

又QOW与V；,.^.；V与vg.故选C.

8.【答案】D

△=(w-l)2-8m=0,

【解析】当方程』—(m—l)x+2机=0在［0,1］上有两个相等的实数根时，有■m-\此时无解.

2

当方程(初―l)x+2加=0有两个不相等是实数根时，分下列三种情况讨论.

①有且只有一根在［0,1］上时，有/(O)g/(O)〈O，即2巩加+2)V0,解得—2〈机＜0；

②当/(0)=0时，m=0,方程化为％2+》=0,解得％=0,Xj=-1,满足题意；

③当/⑴=0时，，"=-2,方程可化为W+3x—4=0,解得%=1,X2=-4,满足题意综上所述，实数加

的取值范围为［-2,0］.故选D.

9.【答案】B

【解析】由题意可得“X+5)=/(5—x)=f(x-5),

/(x+1())=/(%).

Q当xe［0,5］时，y=/(x)仅有x=l一个零点，且/(x)是偶函数，

/(%)在［-5,0］上仅有x=-1一个零点，

.•./(X)在［0,10］上有两个零点，即x=l与x=9.

Q2018=201x10+8,/(2011)=/(1)=0,

二所求零点的个数为201x2x2+2=806,故选B.

10.【答案】BD

【解析】对于A,/(x)=，一21与g(x)=xg\/与7的对应关系不同，故/(x)与g(x)表示的不是同一个函数；

对于B,/(幻=国与g(x)=>/?的定义域和对应关系均相同，故/(x)与g(x)表示事同一个函数；

对于C,/(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|xw0},故与g(x)表示的不是同一个函数；

对于D,/口)=；与8&)=』的对应关系x和定义域均相同，故"X)与g(x)表示的是同一个函数；

对于E,=的定义域是{x|x>0},g(x)=+x的定义域是{x|x>0或rV-1},故/(%)与

g(x)表示的不是同一个函数.故选BD.

11.【答案】CE

【解析】对于A,/(x)=|x|是定义域R上的偶函数,.不满足题意;对于B,7(x)=,在定义域(-oo,0)U(0,+^o)

上是奇函数,且在每一个区间上是减函数,不能说函数在定义域上是减函数.不满足题意;对于C,/(x)=-x3

在定义域R上是奇函数，且是减函数，满足题意；对于D,/1(x)=x|x|=1'-'在定义域R上是奇函数，

[-x2,x<0,

且是增函数.不满足题意；对于E,f(x)=TG在定义域R上是奇函数，且是减函数，.•.满足题意.故选CE.

12.【答案】ACE

【解析】由题设可得函数的定义域为[-3,1],/2(%)=4+2xV-x2-2x+3=4+2x^4-(x+1)2,而

044-记+F启，即4可2(5毛，(5人工)>0,.・.2可(元)乏20,，/(幻的最大值为2立，最小值为2,

故选ACE.

13.【答案】g,+8)

【解析】(？/(幻=一1+34在%£(-81)上是单调递减的，且/(X)在R上是单调函数，，/(X)在R上一定

单调递减，

。〉0,解得〃2工

—1+3a,2

aG—,4-00I.

I_2J

14.【答案】-

5

【解析】Qf(x+2)=f(x)f

3

ci=—，

5

32

"(5a)=/(3)=/(1)=/(-1)=-1+-=---

15.【答案】(-2,0)U(0,2)

【解析】Q/(x)为奇函数，.•.F(-x)=-f(x),.•.f(2)=-/(-2)=0.

Q/(x)为奇函数且在(0,+oo)上单调递增，.•./(x)在(-oo,0)上单调递增.由数形结合解对灯'(©VO可得

-2<x<0或0<%<2,即不等式？(x)VO的解集为(―2,0)U(0,2).

16.【答案】答案①④

【解析】①方程f+(a-3)x+a=0有一正一根，则有'△"①一"--4”>0,解得。<。，故①正确；

X|X2=a<0,

②定义域为{1,-1},此时又域=0,

・・•/(X)既是奇函数也是偶函数，故②不正确：

③函数/(X)的值域与函数/(X+1)的值域相同，故③不正确；

曲线y=|3-和直线y=〃(aeR)的公共点的个数可能为o,2,3,4,故加的值不可能是1,故④正确.

故填①④.

四、

17.【答案】(1)因为函数/(幻="?是R上的偶函数，所以/(-x)=〃x),即如二"1=竺匚。对任意

1+厂1+(―X)1+X

实数无恒成立，解得加二0.

(2)由(1)得/(幻:一1^,此函数在(-8,0)上为增函数.

1+X

证明：任取X】,X2£(F，°)，且,V々，则」(七)一/(々)=丁'―7■二=八八，

1+Xj1+4(1+引(1+引=(：(：1+引R(：1+引

因为和々W(Y°，°)，且王<工2，

所以(1+q)(1+4)>0,电+西〈0,x2-x)>0,

所以/㈤一〃巧)V0,即"西)</(々).

所以函数/(x)=—二在(-00,0)上为增函数.

1+X

18.【答案】(1)根据偶函数的性质及已知条件，将题中f(x)的图像补充完整(图略)，由函数图像知，/(%)

的增区间为[一1,0]和。,+8).

(2)当x>0时，-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x1-2x,又函数/(x)是定义在R上的偶函数，所以

2

/(X)=/(-X)=X-2X,所以函数/(X)的解析式为/(X)="‘‘’

x~+2x,xW0.

(3)由(2)知，g(x)=x2-(2a+2)x+2(xe[L2]).因为函数y=』-(2a+2)x+2,xeR的图像的对称

轴为直线x=_(2a+2)=q+[,所以

2

①当”+1W1,即aWO时,函数g(x)的最小值为g⑴=l-2a；

②当。+122,即心1时,函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a；

③当1<。+1<2,即0<a<l时，函数g(x)的最小值为g3+l)=—q2—2a+l.

19.【答案】(1)f(x)在其定义域上为奇函数.

证明如下：

Q/(x)=x+@(xw0),/(l)=l+a=2,

X

x

Qf(-x)=-x--=-f(x)，且函数/(x)的定义域关于原点对称，

X

.•・/(x)在定义域上称为奇函数.

(2)证明：任取4户2EQ，”)，且百〈工2，

(1A/1A一丫(1A

X-X=X+-X

/(2)/(I)2一一百+―=(x2-XJ+—-----=(^21)1-------

IX2)IX\)々玉l卬引

Q%2一玉>0,为修>1,-----〈I,1-------->0

~xxx2XxX2

-即/(々)>/(不)，

.•./(X)在(L+oo)为增函数.

(3)由(2)可知/(X)在(l,+oo)上单调递增，

.•./(X)在⑵5］上的最小值和最大值分别/(x)min=/(2)=2+^=|,

/Wmax=/(5)=5+^=y.

20.【答案】(1)由题意得P(x)=12+10x,

-0.5x2+22x-12-10x,0^x^l6,

则/(x)=Q(x)-P(x)=<

224-12-10x,x>16,

£,、—0.512+12x—12,0WxW16,

H即n/⑺=<,

212-10x,x>16.

(2)当了>16时,函数/(x)在定义域内递减，所以/(x)V/(16)=212-160=52；

当0WxW16时:/(x)=-O.5x2+12x-12=-0.5(x-12)2+60,所以当x=12时，/(x)有最大值，最大值为