空间向量的数量积运算 同步练习-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算-【新教材】人教A版(2019)

高中数学选择性必修第一册同步练习(含解析)

一、单选题

1.已知向量为=(1,2,2)石=(-2,1,1)，则向量了在向量方上的投影数量为()

A.1B.-C.-D.在

323

2,在四棱锥S—2BCD中，底面ABC。是直角梯形，且NZ8C=90。，SA1平面ABCD,

SA=AB=BC=2AD=1,则SC与平面ABC。所成角的余弦值为()

A.渔B.-C.如D.更

3232

3,长方体&44344-B1B28384的底面为边长为1的正方形，高为2,则集合={x|x=

瓦瓦•硒,ie{1,2,3,4},jE{1,2,3,4}}中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

4.设x,yGR,向量1=Q,l,1),3=(lj,l),c=(2,—4,2)且Ni石,石〃高则|五+4|=

()

A.2V2B.3C.V10D.4

5.三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2,/.BAD=90°,ABAC=60°,则荏•丽等

于()

A.2B.-2C.-2V3D.2V3

6.在棱长为a的正方体ABCD-41B1GA中，向量西与向量前所成的角为()

A.60°B,150°C.90°

7.如图，在平行六面体48一A】Bi6%中，AB=1,AD

1,AAr=1,/.BAD=90°,^BAA1=^DAAr=60°,

线段AC1的长为()

A.5

B.3

C.V5

D.V3

8.若Z=(2,3,—1)，b=(2,0,3)，c=(0,2,2)，则iG+U)的值为()

A.(4,6,-5)B.5C.7D.36

二、多选题

9.已知点尸是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果荏=(2,-1,—4)，AD=

(4,2,0),9=(一1,2,-1)下列结论正确的有()

A.B.

C.都是平面ABC。的一个法向量D.AP//BD

10.设优另为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有()

A.片=|五『=|

C.(a'b)2=a2-I)2D.(五—fe)2=a2—2a-b+b

三、填空题

11.已知空间向量〃=(l,n,2),b=(-2,1,2),若2五-石与石垂直,则|方|=

12.空间向量方=(2,3,—2),b=如果w11，贝川同=

13.已知胃=(-2,l,l),b=(-1,1,-1)-则不在石上的投影为

14.已知向量方=(1,1,1),b=(-1,0,2),且上方+3与2N一方互相垂直，则k=

15.已知向量8=(5,3,1),3=(—2/,—|),若方与石的夹角为钝角，则实数I的取值范

围为•

16.已知空间向量之=(2，—1,1)/=(1,1,2)，则之+b=；向量热与力的夹角

为.

五、解答题

17.已知向量3=(1,-3,2),b=(-2,1,1).

(1)求|2五+孙

(2)求力在另方向上的投影.

18.已知空间中三点4(2,0,-2),5(1,-1,-2),C(3,0,-4),设有=屈,b=AC

(1)若|可=3,Sx//BC,求向量己

(2)已知向量k五+3与3互相垂直，求左的值;

(3)求的面积.

19.如图所示,三棱柱ABC—A/iCi中，M,N分别是上的点，且BM=2A1M,

GN=2B】N.设希=a,AC=b，AA^=c.

(1)试用区石,不表示向量标;

(2)若NB4C=90°,Z.BAA1=^CAA1=60°,AB=AC=AAr=1,求AW的长.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了向量投影公式，属于基础题.

利用向量3在向量五上的投影数量=萼即可求解.

【解答】

解：向量方在向量五上的投影数量=萼==2,

\a\Vl2+22+223

•响量另在向量五上的投影数量为|.

故选B.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了求线与面的夹角问题，考查向量的加法运算和数量积，属于中档题.

而是平面ABC。的法向量，用而，BA,在表示在，然后直接求解而•衣以及刀和衣的

模长，然后代入向量夹角计算公式解出衣和衣的夹角即可得解.

【解答】

解：由题意知衣是平面ABCD的法向量，设在，衣的夹角为9，

•.•在=屈+就+公，...衣・衣=裙须+^1+衣)=本・赤+本屈+衣2=1，

又|前1=1，|在|=J(CB+BA+AS)2=V3-

灰衣_V3

・••cos(p=

函|函一3

・•.SC与平面ABC。所成角的余弦值噂

故选A.

3.【答案】C

【解析】解：♦.•长方体41424344-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形，高为2,

,.建立如图的空间直角坐标系，

则4式1』,0),A2(0,l,0),43(0,0,0),A4QO,0)，

2),B2(0,l,2),/(O,。，2),BO。，2),

则兀瓦=(-1,0，2),

与W瓦=(0,0,2)相等的向量为五瓦=瓦瓦=五瓦，

此时瓦瓦•4/1=2x2=4,

与五瓦=(0,—1,2)相等的向量为瓦瓦，止匕时不瓦­

ArB4=2x2=4，

与五瓦=(0,1，2)相等的向量为用瓦此时瓦瓦.

=2x2=4,

与瓦瓦=(1,0，2)相等的向量为田瓦，此时4瓦•瓦瓦=—1+4=3，

与瓦瓦=(—1,0,2)相等的向量为灰瓦，此时瓦瓦・瓦瓦=1+4=5，

体对角线向量为不瓦=(-1,-1,2)，此时瓦瓦•瓦瓦=1+4=5，

=(1,-1,2),A^2,A2B4=—1+4=3,

&Bi=(1J,2),ArB2-X3BI=-1+4=3

A4B2=(-1,1-2),4闻出良=1+4=5,

综上集合="|%=不瓦•硒,ie{l,2,3,4},j6{1,2,3,4}={3,4,5),集合中

元素的个数为3个，

故选：C.

建立空间坐标系，结合向量数量积的定义进行计算即可.

本题主要考查集合元素的计算，建立空间坐标系，求出空间向量数量积是解决本题的关

键.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查空间向量垂直和平行的坐标运算，以及空间向量的模的计算，属于较易题.

根据空间向量垂直和平行的坐标运算解得X,y,可得五=(1,1,1),b=(1,-2,1)，解得1+

b=(2,—1,2),再由模长公式求解.

【解答】

解：a=(x,1,1),/?=(l,y,l),c=(2,-4,2);

fx+y+1=0

因为五_L瓦石〃3则工=工，

(2--4

解得

所以］=(1,1,1),b=(1,—2,1)，

则五+B=(2,—1,2)，

所以|五+3|=3.

故选艮

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的加减运算及数量积运算，属于基础题.

将丽化为血-万，再利用数量积公式即可求解.

【解答】

解：由已知得丽♦前=2x2x|=2,而•同=0,

因为而=而一前，

所以荏-CD=AB-(AD-ZC)

=AB-AD-AB-AC=-2.

故选B.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查向量夹角的相关知识，向量夹角除可用数量积计算之外，也可借助向量所

在直线所成的角求解，属于基础题.

建立空间直角坐标系，表示西，而，再用数量及求解即可.

【解答】

解:根据题意，以D为原点，DA，DC，西为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则Z(a,O,0),B{a,a,0),0),Ar(a,0,a),

故瓦仁=(0,—a,a),^AC=(—a,a,0),

则cos<~BAl，AC>=部阪==—5

又向量夹角取值范围[0°,180°],

所以两，前的夹角为120。.

故选D

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的基本定理及应用和空间向量的数量积及运算律.

利用空间向量的基本定理和数量积计算得结论.

【解答】

解：在平行六面体4BCD中，AB=1,AD=1,AAr=1,4BAD=90°,

Z.BAA1=Z.DAA1=60°,

,**AC^=AB+BC+CC］，

>2>>>^

i2

ACr={AB+BC+CQ)

----->2----->2------>2----->----->----->------>------>----->

=AB+BC+CQ+2-BC+2-CQ+2CQ-BC

i1

=l+l+l+0+2xlxlx-+2xlxlx-=5,

22

|ZQI=Vs.

故选c.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.

根据向量加减及数量积计算，先算加法，后算数量积即可.

【解答】

解：b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5)，

a.(b+c)=2x2+2x3+(―1)x5=5.

故选艮

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查空间向量平行(共线)和垂直的坐标表示、平面的法向量，属于基础题.

利用空间向量的数量积的坐标运算判定4BC,再由空间向量共线定理判定D.

【解答】

解：因为点J^=2x(—l)+(—l)x2+(-4)x(-l)=O，

所以血血，故A正确，

同理点#=4x(-l)+2x2+0x(-l)=0，可得彳瓦彳方，故2正确，

由选项A,2可知，都是平面ABC。的一个法向量，故C正确，

因为前AD(2.3.1),所以而力4而，故。错误.

故答案为4BC.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的模以及数量积的运算，属于中档题.

由空间向量模的定义以及数量积的运算可直接得到答案.

【解答】

解：设向量落3的夹角为。，

对于Aa2=\a\2,正确；

对于8,萼=喀亚，显然萼=目不成立，故错误；

a\a\aa

对于C(a-K)2=a2-b>2cos20j故错误；

对于。，(a—b)2=a2-2a-b+fo2»正确，

故选AD.

11.【答案】乎

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的数量积，属于基础题.

由若21一石与另垂直，所以(21_1)•另=2日•另一12=0,得?i=|,再求模即可.

【解答】

解：,•・若2方与石垂直，

•••(2a-K)-K=2a-b-b2=0-

・•・空间向量五=(l,n,2),b=(-2,1,2)-

一--2

a-b=-2+n+4=n+2,b=4+1+4=

2(zi+2)—9=0,得7i——,

•••a=(1.|,2),

・,・同=Jl+5+4=第，

故答案为延.

2

12.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的垂直的判断，向量的数量积的坐标运算，向量的模，属基础题.

根据14=0先求出机的值，再代入即可计算131.

【解答】

解：•向量N=(2,3,-2),b=(2,—m,—1),_@.a1b>

•••a•K=0>

•••2x2—3m+2=0,解得m=2,

•**b=(2,—2,—1)，

\b\=02+(-2)2+(-1)2=3.

故答案为3.

13.【答案】2

3

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的数量积运算及向量的投影，属于基础题.

求出五不，|五|,\b\,计算夹角的余弦，代入投影公式即可.

【解答】

解：方•另=2,|a|=V5,\b\=V3，cos<a,b>=

•，•五在另上的投影是|a|cos<a,b>=V5x3胃=誓.

故答案为这.

3

14.【答案】|

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算及向量垂直的条件，属于基础题.

根据题意先求得+%与江-涕勺坐标，进而可得3(k-l)+2k=0,从而即可求得结

果.

【解答】

解：ka+b=Ck-l,k,k+2\2a-b=(3,2,0)，

ka+b与2之—b互相垂直，

(ka+K)-(2a-h)=0即3(k—1)+2k=0,

解得k=|.

故答案为，

….6、,652、

15.【答案】(-3C,--)U—)

5515

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的数量积以及夹角，属中档题.

根据方与石的夹角为钝角，得五万＜0，当为与石的夹角为180。，则存在4＜0,使N

0)＞从而求解.

【解答】

解：由已知得方•b=5x(-2)+3t+lx(--)=3t——,

因为五与另的夹角为钝角，所以五不V0，

即3t—胃＜0,所以tV

若五与另的夹角为180。，则存在AV0,使五=49(4V0),

即(5,3,1)=2(—2/,—|),

(5=-2A,

所以|3=仇

I1=-'

所以t=-g,

故f的取值范围是

5515

16.【答案】3V2

60°

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的模以及利用空间向量数量积求夹角，属于基础题.

根据空间向量模的计算公式以及空间向量数量积求夹角即可求解.

【解答】

解:由之==(1,1,2)，则2+7=(3,0,3)，

TT_______________

所以a+匕=V32+02+32=3V2,

,一ab2xl+(-l)xl+lx21

cos〈风坊=丽=帚百再币=5'

又向量夹角的取值范围为[0,7T],

所以向量：与。的夹角为60。.

故答案为：3立;60°.

17.【答案】解：(1)由已知2五+1=(2,—6,4)+(—2,1，1)=(0,-5,5),

故|2N+片=Z+(_5)2+52=5V2;

(2)因为了-1=|^|x幽

in下•了一2—3+2-3质

所以心在加上的投影为a|g°=

vz4+1+1―春一》-

【解析】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，向量的模以及向量的投影,属中档题.

(1)由已知23+3=(2,—6,4)+(—2,1，1)=(0,-5,5),求模；

(2)因为R•了x|T”求/得到有在石上的投影.

18.【答案】解：⑴较(2,1,-2)，由于W/7前,故可设5=(2n,n,-2n),

故|/1=V4n2+n2+4n2=3向=3,

解得n=±1，

故工为(2,1,-2)或(-2,-1,2)；

2了=XB=(-1,-1,()),石=A?=(1.().-2),

kH+b=(1—k,-k,-2),

由于kW+B与石垂直，(k方+方)不=0，

则1—k+4=0,k=5；

⑶依题意ASV2,A?娓,DC3,

故由余弦定理得cosA=表|亲=—盍，▲C(0,7r),

所以sin/=V1—cos2i4=犯生，

io

故三角形面积为l.|A3||AC|sin4=ix5/2xv/5x啦=-.

22102

【解析】本题考查空间向量的平行，垂直及坐标运算，空间向量的数量积和夹角，三角

形的面积公式等.

(1)推