线性代数-普卷

线性代数普通用卷

学习方式：时间：无限制

考试科目：《线性代数》（总分）57分

特别提醒：

1、所有答案均须填写在答题卷上，否则无效。

2、每份答卷上均须准确填写专业、身份证号码、

所属学习中心名称、学号、姓名等。

一单选题（共32题，总分值32分）

1.设随机变量其物的记

—4乌=尸｛?之"+5则（）.（1

分）

A,对任意实数出Pl=P»

B.对任意实数出P'<P】；

C.对任意实数5Pi>P»

D.Pl4的大小不能确定.

2.圆x2+y2-2y-l=0关于直线x-2y-3=0对称的圆方程

是()(1分)

A.(x—2p+(y+3)2=

B.(x—2)2+(y+3)2=2

C.(x+2)2+(y-3)2=

D.(x+2)2+(y-3)2=2

y=Zc(x—4)]

3.若直线与直线“关于点

Q1),对称，则直线b恒过定点()(1分)

A.(0,4)

B.(0,2)

C.(-2,4)

D.(4,-2)

fli-n2

设-211x=3,则刀=

16

4.°11、（1分）

3

A.

0

B.

D.

1111

-1111

-1-111=

5.TT1(1分)

A.2

B.4

C.8

D.16

6.设SM*…W为总体k~N(O」)的一个

样本，，了：为样本均值，S.为样本方差，则有

().(1分)

X~N(Q,r)i

A.;

nX~N(Q,Y)

B.;

D(〃-必京尸(1,1

7.直线2x_y+3=0：关于直线y-y+2=对称的

直线方程是（）（1分）

A.工一2y+3=0

cx+2y+1=0

x+2v-l=0

D.一

a

0nau%n出

如果%]。23=3）4。33那么D]=（）

a3\a31%々23

（1分）

A.4

B.-4

C.3

D.-3

9.在等腰三角形AOB中，AO=AB,点0（0,0）,A（l,

3）,点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为（）

（1分）

A.y—l=3(x—3)

B.y-l=-3(x-3)

C.y—3=3(x—1)

D.y-3=-3(x-l)

r011-12)

02220

矩阵的秩为

0-1-111

10.18100f()(1

分）

A.2

B.3

C.4

D.5

11.下述结论中不正确的有（）。（1分）

A.

若向量a与2正交，则对任意实数与66也正交

B若43是同阶矩阵，贝昨谢=|川外

若贝或。.

C.AB=0,ij/4=03=

D若向量a与任意同维向量正交，则a是零向量

fo11-1-r

02220

矩阵的秩为

0-1-111

U100T

12.（1分）

A.2

B.3

C.4

D.5

13.若直线-1=0'与直线

（3aT）x+】-l=0,平行，贝IJ实数a等于（）（1分）

2

A.

1

1

c.§

D.3

14.

设%=(L0,4),%=(3,0,2),£=()时,月不是外,%的线也

(1分)

(o,0,o)

AA.

(O,0,4)

DR.

C(I,2,0)

八(1,0,0)

fcc+y+z=O

如果齐次线性方程组,x+b=z=o有非零解，k应取

2x-j+z=0

（1分）

16.下列〃（〃>2）阶行列式的值不为零的有（）o（1

分）

A.三角形行列式主对角线上的元素全不为零

B.三角形行列式主对角线上有一个元素为零。

C.行列式零元素的个数多于n个。

D.行列式非零元素的个数等于n个。

17.

fio4-n

A.14-3-J

门28]

B.1612）

flO53）

c1-218）

口;）

18.对任意阶方阵A,B总有（）（1分）

A.ATi-JiA'\

B.网=如|；；

CClB）r=ArBr-,

D.（，四）2=/炉.

1211

-1111

-1-211

（1分）

A.2

B.4

C.8

D.12

Ti-n广、

设-211X=-7,则*=

1111L

20.1()(1

分）

fP

3

a

(0、

6

p-21、

(6-42

19-63,

A.、

fl-20、

0-11

、30-1

B.、

C.2

D.10

22.设R工是AX=O的解，如怯是

=b的解，贝!］（）.（1分）

A.〃1一小是，四=。的解；

B.7+〃，为XX=6的解；；

C.刍+〃1是，四=。的解；

D.?1+5是AX=b的解.

23.

向量组%,（s>2）线性相关的充分必要条件是（）。

（1分）

A.%，生中至少有一个零向量

B中至少有两个向量成比例

C.

中至少有一个向量可由其余向量线性表示

D.%，42「1鬼中至少有一部分组线性相关

24.

若n阶矩阵A及单位矩阵I满足幺?+4H+2/=。，A+I的逆阵

()(1分)

A+I

A.

A-3I

Do.

D.A~!

出

1a12a14’002、

设4='a21a010

a2224A=

1。31afl34>J0o>

25.32

()(1分)

A.

26.已知点P（XJ）在直线x+2j=3上移动，当

2‘+4’取得最小值时，过点「（”）引圆

242的切线，则此切线段的长度

为（）（1分）

3

P(^)=P(B)=P(C)=

一,P(ABC)=—>

27.若A,B,C两两独立，且25,则

1

A.40

1

B.20.

1

10.

1

4

D.

卜斗

28.卜451

（）（1分）

A.-2

B.4

C.-7

D.9

29.

00、

10A=

02,

（1分）

24

A.

Dkfl31032a33fl34>

30.己知直线mx+ny+l=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y

轴上的截距为，则m,n的值分别为（1分）

A.4和3

B.-4和3

C.-4和-3

D.4和-3

31.

Ax+y+z=O

如果齐次线性方程组＜x+y-z=O有非零解，k应取

x-y+kz=Q

（）（1分）

A.-2

B.4

C.-1

D.3

32.

设X为五阶矩阵，|同=-3,则其伴随矩阵的行列式,[=（）.

（1分）

A._3

B.9

C.-27

D.81

二填空题（共8题，总分值8分）

33.设A,B为互不相容的两个事件，，

P(A)=0.2,|

尸(5)=0.3,则，则p(j[J5)=

0.5___.(1分)

T-11

A=24-1

34.设3阶方阵'一3一3「相似于矩阵

‘1-10、

5=1220

°.则常数x=1_.(1

分)

35.设A,B为两个随机事件，

且P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(A-B)=0.3,则

.(1分)答案：

36.设随机变量X~B(L0.8)，则随机变量x的分布

函数为

__________________________.(1分)答案：

4T................'Z.......*............................»

0x<0

F(x)=<020<x<b

1x>l

■'■“

37.1产出+|尸8|y=x8(3,5)已知点，

点，点尸是直线上动点，当的值最小时，点一的

坐标是«(1

38.x+y'=4在平面直角坐标系xOy中，已知圆上

有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数

C的取值范围是_________________________________

(-13,13)

（1分）答案:

2-12

121=

122

39.

____________________________________.(］分)

答案：5

|j|=|2,

40.若A,B都是3阶方阵，且，8=3瓦则

（1分）答案：54

三问答题（共6题，总分值6分）

41.

求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性

%=(LLQ0)&=(L0,0J),%=(LLL0),a4=(32LD,%=(L0「

(1分)答案：

极大无关组%,外,%；。4=%+%+%，-%

42.

求解下列线性方程组

々+毛—x4—3X5=-2

jq+2x2—x-x=1

<35

4再+6々一2当一4%+3毛=7

2』-2xj+4西-7X4+4X5=1

(1分)答案：

A«

^=C1(-LL130S0)+C2(6-^S033S1)+(-45-S05-230)

43.

'

22

fl

12

12

中/=

阵，其

角矩

为对

使。

阵2,

交矩

求正

,

21

12

1

1「

耳"羽

1

万2

0=

76二

1

五T正

V6

：

)答案

(1分

将其余

，并

关组

大无

个极

的一

量组

列向

求下

44.

示。

性表

组线

无关

极大

用此

向量

-5-

3-1

=(-

.6)

-23

=(4

5)a

(l,33,

,%=

LU)

=(L-

23),七

=(LL

s4

5

：

答案

3a,

a+

a=

-0,,

20,

a,=

,%；

组名

无关

极大

2

l

4

求解下列线性方程组

再一2々+毛+%=-1

2再+与-x一匕=1

<3

%+7巧—5X3—5X4=5

3再一巧=0

（1分）41

X=c©0,TD+（0,0,-L0）

分）答案：

’-110、

求矩阵-430的特征值及特征向量.

46.

分）答案：

特征值2,1,b特征向量对应为%=（。儿I）7■及%=qQ2—l）T;

四计算题（共11题，总分值11分）

47.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1

的直线使/被圆C截得的弦AB,以AB为直径的圆经

过原点，若存在，写出直线/的方程；若不存在，说明

理由.(1分)答案：

解假设存在直线I满足题设条件，设I的方程为y=逑圆C化为，

(x-l)a+(y+2)*=9,圆心C(1,-2),则AB中点N是两直线x-y-hn=O与y+2=-(x-l

的交点即N：'-竽，竽'；，以AB为直径的圆经过原点，，

AN=ON,又CN1AB,CN"

J?

；.AN甘-耍.・

又ON二闫二画“

由AN二ON,解得m=-4或m=L“

存在直线I,其方程为y=x-4或y=x+l.“

48.如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线

若11交X轴于A,交y轴于B，求线段AB中点M的

轨迹方程.

（1分）

答案：解设点M的坐标为（x,y）,

,,,M是线段AB的中点，

A点的坐标为（2x,0）B点的坐标为（0,2y）.

-2（2x-2）-4（2y-4）=0,

即x+2y-5=0.

­••线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.

49.设随机向量（《口的概率密度为

,6x

/（X.J）=to.

求关于X,丫的边缘概率密度.（I分）

答案：解先求fx(x),

19当X<0或X21时，

A-(X)=「/(XQ2=「0办，=0

..........................2分

A(X)=匚Hx,y)办'=1J'6号4

29当0女VI时,

..........................2分

于是得X的边缘概率密度为

2

fl2x(l-x),0<x<l:

A0,其它

..........................1分

类似地

19当y<o或瘦2时，

fi3)=U%y油=U0dbe=。|

2分

于是得y的边缘概率密度为

£<>')=<

[0,其它

50.

设随机变量X~N(3⑯熟3时肺变量丫=1;当X>3时脚变

Y=0o求E(Y)?

(1分)答案：先求出来y的概率，3是X的期望.根

据正态分布的性质.P(XW3)=P(X>3)=0.5.所以Y

取1和0的概率都是0.5,E(Y)=0*0.5+1*0.5=0.5

51.设二维随机向量（X」'）的联合概率密度为

e《+F）,

9其它

⑴求边缘概率密度；（2）判断X,Y是否相互独立，并说

明理由.（1分）答案：

解：(1)边缘概率密度：当X。时,

A-(X)=t/(Xy)dy=]Je~(x+y\

却

|e~x,x>0

A(x)=l廿………a

Io,其它

当y>0时，

40)=1~=/(%N)改=/cY+*d

」一ODJ0

P

和I

\e-y,y>0

7r(>')=I甘4

[0A,具匕

.............4分e

由于〃“卜启⑴/山，)，所以

x,y相互独立。，

fl234、

0123

A=.Q012

52.设I

001，，求.（1分）答案:

解：

'1234100。

01230100

（'㈤=00120010

、00010001

..................2分+'

.....2分

’10-1-21-2

012301

001200

、000100

fl0-1-21-2

,010-101

^^,001200

；000100

01-21

001-：

0001

1000

10、

-21

1-2

01?

53.已知直线1]:ax+2y+6=0和直线

：x+(a-1)y+a2-l=0,

(1)试判断k与b是否平行;

(2)11^2时，求a的值.(I分)答案:

解(1)当a=l时，11:x-*-2y-^6=0,

l；：x=O,h不平行于I：;

当a=0时，h：y=-3,

l：：x-y-l=O,h不平行于1:;

当a卢1且a*0时，两直线可化为

；a_1

=

l.//lsof21^.解得a=-l,

!-3*-(a+l)

综上可知，a=-i时，IRI：,否则L与I：不平行.

(2)方法二当a=l时,I：x+2y+6=0Qjj2s二。，

li与I：不垂直，故a=l不成立.

当a乎1时，li：y=-Jx-3,

L：y=7^-x-(a+D,

1-a

由:-目•

，、2J1-a3

方法—由AA+BiBkO,得a+2(ar)=0na=三.

fl01、

A=020

54.设'1101），矩阵X满足方程

.4X-X=^-E，求矩阵x.（1分）答案:

解：,4X-X=A2-E,贝।

(4—E)X=(4—+E)3

.......................3分e

由于

fl-101\<0

A—E=!02-10=0

!101-1JII

,|/一同=一1,则d—E可逆。

.......................3分2

(J-E)-1(A-E)X=(A-E)-\A

.......................2分。

则

(201、

X=A+E=030

1102,

.......................2分二

55.设二维随机向量(X,Y)的联合分布为

125

00.10.20.27

20.080.150.2

求⑴X与Y的边缘分布列；（2）判断X,Y是否独立?（3）P

{X=Y}.（1分）

答案：解：（1）X与Y的边缘分布列分别为

X01

Pi.0.570.43

Y-101

尸」0.180.350.47

.........................5分

(2)由于尸{x=o1=i}w

p{x=-i}P{，=i}=L

8

所以X和Y不独立............................3分

(3)P{X=Y}=P{X=2,Y=2}=0.15

56.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了随机向

量（X,Y）的联合分布及边缘分布的部分数值.（1）

将其余数值填入表中空白处；（2）求概率P{X=Y}.

—102Pi

—11/8

11/8

pj1/61

（1分）答案：解：（1）利用独立性及联合分布与边缘

分布的关系得：

-102Pi.

-11/241/81/121/4

11/83/81/43/4

Pj1/61/21/31

..............................................8分

(2)P{X=Y}=

尸{*=-13y=-i}*卜

(2)24

57.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M.N两点，

且OMJ_ON(0为坐标原点)，求m；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

(1分)

答案：

解(1)(乂-1)"+(丫-2)"二5-01,.."

(2)设M(x“y)N(xs,y2),“

贝UXnN—2y：,Xs=4-2y=〃

则XiXj=16-8(y：+ys)+4y：y*

V0M10N,x^+y^O^

16-8(y：+ys)+5丫沙30①/

由匕"了”

卜、尸-2x-4y+m=0

得5y:-16y-m-j-8=0^

.•.y,+y广?，yw号,代入①得，吟一

(3)以MN为直径的圆的方程为，

(x-xs)(x-xs)+(y-y：)(y-y2)二0»

即x2+ya-(Xi+xjx-(yj+y«)y=0^

所求圆的方程为x2+ys-y=0.d

一单选题（共32题，总分值32分）

1.答案：A

解析过程：

2.答案：B

解析过程：

3.答案：B

解析过程：

4.答案：A

解析过程：

5.答案：C

解析过程：

6.答案：D

解析过程:

7.答案：A

解析过程：

8.答案：D

解析过程：

9.答案：D

解析过程：

10.答案：C

解析过程：

11.答案：C

解析过程：

12.答案：B

解析过程：

13.答案:C

解析过程：

14.答案：C

解析过程：

15.答案:B

解析过程：

16.答案：A

解析过程：

17.答案：A

解析过程：

18.答案：B

解析过程：

19.答案：D

解析过程：

20.答案：C

解析过程：

21.答案：A

解析过程:

22.答案:A

解析过程：

23.答案：C

解析过程：

24.答案:C

解析过程：

25.答案：A

解析过程：

26.答案：A

解析过程：

27.答案:B

解析过程：

28.答案：A

解析过程：

29.答案：B

解析过程：

30.答案：C

解析过程：

31.答案：D

解析过程：

32.答案：D

解析过程：

二填空题（共8题，总分值8分）

33.答案：0.5

解析过程：

34.答案：1

解析过程：

2,

35.答案：4“

解析过程：

fo'i<d

F(x)=«0.20<x<h

\1■x>l■

36.答案:

解析过程:

(2,2)

37.答案:

解析过程:

(-13,13)

38.答案:

解析过程：

39.答案：5

解析过程：

40.答案：54

解析过程:

三问答题(共6题，总分值6分)

41.答案：

极大无关组四,©,%；。4=%+%+%，%=%+%—03

解析过程：

42.答案：

X=q(-LLL0,0)+c2(6,—jA031)+(-4,不50,-2,0)

解析过程：

1

rl-O

f存

2万

12

。

=羽

76

二

二

应V6

黑

43.答

解析过程:

44.答案：

极大无关组％,%；%=2%-%，&4=%+3%,

解析过程：

X=q(O,OTl)+(O,OTO)

45.答案：

解析过程：

46.答案：

特征值2,1,1;特征向量对应为%=。0,1)7及%=qQ2T)7;

解析过程：

四计算题(共11题，总分值11分)

47.答案:

解假设存在直线I满足题设条件，设I的方程为y=E圆C化为e

(x-l),+(y+2)*=9,圆心C(1,-2),则AB中点N是两直线式毋妒0与y+2=-(x-l

的交点即以AB为直径的圆经过原点，，

122J

：.AN=ON,又CN1AB,CN.=£F!，"

AN二产手

又ON二后天再“

由AN=ON,解得m=-4或m=l.，

，存在直线I,其方程为y=x-4或y=x+l.*>

解析过程：

48.答案：解设点M的坐标为(x,y),

,.1M是线段AB的中点，

，A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0,2y).

-2(2x-2)-4(2y-4)=0,

即x+2y-5=0.

线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.

解析过程：

49.答案：解先求fx(x),

当x<0或贬1时，

Zr(x)=/也/(x,»沁二jp04，=0

.................................................2分