备考2025届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破3圆锥曲线中的定点定值定线问题命题点1定点问题

突破3圆锥曲线中的定点、定值、定线问题命题点1定点问题例1[2024全国卷乙]已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为53，点A（－（1）求C的方程；（2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.解析（1）因为点A（－2，0）在C上，所以b＝2.因为椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2＝53，所以a2＝9，故椭圆（2）由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k（x＋2），P（x1，y1），Q（x2，y2），由y－3=k（x+2),y29＋x24=1，得（4k2＋9）x2＋（16k2＋24k）x＋16k2＋48k＝0，则Δ＝（16k2＋24k）2－4（4k2＋9）（故x1＋x2＝－16k2+24k4k2+9直线AP：y＝y1x1+2（x＋2），令x＝0，解得yM＝2y1则yM＋yN＝2×y＝2×（＝2×2＝2×2＝2×108＝6.所以MN的中点的纵坐标为yM＋yN2＝3，所以MN的中点为定点（方法技巧求解直线或曲线过定点问题的基本思路1.把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对随意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.2.由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点（0，m）.3.从特别状况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.训练1[2024全国卷乙]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B（32，－1）两点（1）求E的方程；（2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满意MT＝TH.证明：直线HN过定点.解析（1）∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），∴可设椭圆E的方程为x2a2＋y24＝1，又椭圆E过B（∴94a2＋14＝1，得a∴E的方程为x23＋y（2）当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1，由x=1，x23＋y24=1，得结合题意可知M（1，－223），N（1，∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－22易知点T的横坐标xT∈[0，32]，直线AB的方程为y－（－2）＝-1-(-2)32－0×（由y＝－223，y＝23x－2，得xT＝3∵MT＝TH，∴H（5－26，－22lHN：y－223＝42326－4（x－易知直线HN过定点（0，－2）.当直线MN的斜率存在时，如图，设M（x1，y1），N（x2，y2），lMN：y＝kx＋m（k＋m＝－2）.由y＝kx＋m，x23＋y24=1，得（3k2＋4）x2＋6∴x1＋x2＝－6km3k2+4，x1过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1，与直线AB的方程联立，得y＝y1，y＝∴T（3（y1+2）∵MT＝TH，∴H（3y1＋6－x1，y1），lHN：y－y2＝y1－y23y即y＝y1－y23y1+6－x令x＝0，得y＝y2－（y1－y2∵y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋mk（x1＋x2）＋m2＝－12k2+4m23k2+4，y1＋y2＝（kx1＋m）＋（kx2＋m）＝k（x1＋x2）＋2m＝8m3k2+4，x1y2＋x2y1＝x1（kx2＋m）＋x2（kx1＋m）＝2kx∴－（x1y2＋x2y1）＋3y1y2＝24k3k