2024年高中数学专题6-9计数原理全章综合测试卷提高篇教师版新人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理全章综合测试卷（提高篇）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024春·江苏南通·高二阶段练习）若Am−12=6CmA．7 B．6 C．5 D．4【解题思路】依据组合数、排列数公式得到方程，解得即可.【解答过程】解：因为Am−12=6Cm解得m=4或m=−1（舍去）；故选：D.2．（5分）（2024秋·吉林四平·高二阶段练习）给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域运用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（

）A．120种 B．720种 C．840种 D．960种【解题思路】依次给区域A,B,D,C,E涂色，求出每一步的种数，由乘法分步原理即得解.【解答过程】解：A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C有4种颜色可选，E有4种颜色可选，故共有5×4×3×4×4＝960种不同的涂色方法．故选：D．3．（5分）（2024秋·浙江宁波·高二期中）x−2y2x−y5的绽开式中的A．−200 B．−120 C．120 D．200【解题思路】由题意首先确定(2x−y)5绽开式的通项公式，再接受分类探讨法即可确定x【解答过程】(2x−y)5绽开式的通项公式为T当r=3时，T4=25−3C53当r=2时，T3=25−2C52据此可得：x3y3故选：A.4．（5分）（2024·高二课时练习）某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要支配会英语的导游，1个旅游团要支配会日语的导游，则不同的支配方法种数有（

）A．12 B．13 C．14 D．15【解题思路】分析可知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，依据甲是否被支配到须要会英语的旅游团可分为两类，先确定甲所支配的旅行团，再确定其他团的人员，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【解答过程】由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，依据甲是否被支配到须要会英语的旅游团可分为两类：第一类，甲被支配到须要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲支配到2个须要会英语的旅游团，有2种支配方法，所以有2×2=4种支配方法；其次步，从会日语的另外2人中选出1人支配到须要会日语的旅游团，共2种选法.故此时共有4×2=8种支配方法；其次类，甲没有被支配到须要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，将会英语的另外2人支配到须要会英语的旅游团，有2种支配方法；其次步，从会日语的3人（包括甲）中选出1人支配到须要会日语的旅游团，有3种选法.故此时共有2×3=6种选法．综上，不同的支配方法种数为8+6=14．故选：C．5．（5分）（2024·贵州贵阳·模拟预料）2024年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名老师组成志愿者小组，支配到中学三个年级教学楼楼门口协作医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少支配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的支配方法种数为（

）A．240 B．150 C．690 D．180【解题思路】利用分类计数原理及排列组合的意义，对高三志愿者人数进行分类探讨即可.【解答过程】第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有C6其次种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有C6第三种：当高三的志愿者有4人时，其他两个年级分别有1人，则有C6所以不同的支配方法有：120+90+30=240种，故选：A.6．（5分）（2024·高二课时练习）已知(1−2x)2021=aA．绽开式中全部项的二项式系数的和为2B．绽开式中全部奇次项系数的和为3C．绽开式中全部偶次项系数的和为3D．a【解题思路】依据给定条件，利用二项式定理及性质，结合赋值法逐项分析、计算推断作答.【解答过程】对于A，二项式(1−2x)2021绽开式中全部项的二项式系数的和为2对于B，令f(x)=(1−2x)2021，则a0所以绽开式中全部奇次项系数的和为f(1)−f(−1)2对于C，由选项B知，绽开式中全部偶次项系数的和为f(1)+f(−1)2对于D，由选项B知，a0=f(0)=1，故选：B.7．（5分）（2024·全国·高三专题练习）现支配甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2024年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以支配，以下说法正确的是（

）A．每人都支配一项工作的不同方法数为54B．每人都支配一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为AC．假如司机工作担忧排，其余三项工作至少支配一人，则这5名同学全部被支配的不同方法数为(D．每人都支配一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同支配方案的种数是C【解题思路】对于选项A，每人有4种支配法，故有45种；对于选项B，5名同学中有两人工作相同，先选人再支配；对于选项C，先分组再支配；对于选项D【解答过程】解：①每人都支配一项工作的不同方法数为45，即选项A②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C52A③假如司机工作担忧排，其余三项工作至少支配一人，则这5名同学全部被支配的不同方法数为：（C53C21④分两种状况：第一种，支配一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有C31,从余下四人中支配三个岗位故有C31C从余下三人中支配三个岗位A33，故有甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同支配方案的种数是C3即选项D正确，故选：D．8．（5分）（2024·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的探讨成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数动身，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，⋯，则下列选项不正确的是（

）A．在第9条斜线上，各数之和为55B．在第nn≥5C．在第n条斜线上，共有2n+1−−1D．在第11条斜线上，最大的数是C【解题思路】依据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为an+an+1=【解答过程】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，⋯，其规律是an所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A错误；第1条斜线上的数：C0第2条斜线上的数：C1第3条斜线上的数：C2第4条斜线上的数：C3第5条斜线上的数：C4第6条斜线的数：C5……，依此规律，第n条斜线上的数为：Cn−1在第11条斜线上的数为C100,由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有n+12n为偶数时，第n条斜线上共有共有n2所以第n条斜线上共2n+1−−1由上述每条斜线的变更规律可知：在第n(n⩾5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确.故选：A.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2024春·广东江门·高二期中）已知1−2x7=aA．各项二项式系数和为128 B．式子a1C．式子a1+a【解题思路】由二项式系数的性质可推断A；用赋值法令x=1，x=−1，x=0可推断BCD【解答过程】对于A：二项式1−2x7的各项二项式系数和为2对于BCD：令x=1，则1−27即a0令x=−1，则1+27即a0令x=0，则a0所以a1由a0解得a1+a故选：ACD.10．（5分）（2024春·江苏连云港·高二期中）下列结论正确的是（

）A．k=0nB．多项式1+2x−xC．若(2x−1)10D．38【解题思路】利用二项式定理及二项式绽开式各项系数和，依次推断各项正误.【解答过程】解：因为k=0n多项式1+2x−x6的绽开式通项为：C6当r=3时，有C63⋅2x当r=4时，有C64⋅当r=5时，有C65⋅2x当r=6时，有C66⋅故绽开式中x3的系数为−20+60=40(2x−1)10=a因为38=5−28，其绽开式的通项公式为：Tr+1故选：ABD.11．（5分）（2024·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时动身，直到到达N，A．甲从M到达N处的走法种数为120B．甲从M必需经过A3到达NC．甲，两人能在A3D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164【解题思路】依据题意分析出甲从M到达N处，须要走6格，其中向上3格，向右3格，从而可得到从M到达N处的走法种数为C6若甲从M必需经过A3到达N处，可分两步，甲从M到达A3，从A3若甲，乙两人能在A3处相遇，先计算甲经过A3的走法种数，再计算乙经过A3依据题意可得出只能在A1，A2，A3【解答过程】对于A，须要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从M到达N处的走法种数为C63=20对于B，甲从M到达A3，须要走3格，其中向上1格，向右2格，有C31=3种走法，从A3到达N，须要走3格，其中向上2格，向右1格，有C31=3种走法，所以甲从M必需经过对于C，甲经过A3的走法种数为C31×C31=9，乙经过A3对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在A1，A2，A3，A4处相遇，若甲，乙两人在A1处相遇，甲经过A1处，必需向上走3格，乙经过A1处，必需向左走3格，两人在A1处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在A2或A3处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在A4故选：BD.12．（5分）（2024春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化学问；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续支配六节课，则下列说法正确的是（

）A．某学生从中选3门学习，共有20种选法B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最终，共有504种选法D．“书”必需排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法【解题思路】对于A，从6个中选3个，则有C63种；对于B，利用插空法求解；对于C，分两类求解，一是若“数”排在第一节，二是若“数”不排在第一节，也不排在最终一节；对于D，分三类，利用捆绑法，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，②若“书”排在其次节，且“射”和“御”相邻，【解答过程】解：对于A，某学生从中选3门学习，共有C6故选项A正确；对于B，“礼”和“射”不相邻，则有A4故选项B错误；对于C，①若“数”排在第一节，则排法有A5②若“数”不排在第一节，也不排在最终一节，则排法有C4所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最终，共有120+384＝504种选法，故选项C正确；对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有4⋅A②若“书”排在其次节，且“射”和“御”相邻，则有3A③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有3A所以“书”必需排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48+36+36＝120种选法，故选项D错误；故选：AC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2024秋·上海浦东新·高三阶段练习）(x−1【解题思路】依据二项式系数和得n=6，进而求出二项式绽开式的通式公式，令3−32r=0【解答过程】因为(x所以2n=64，得所以题中二项式为(x−1令3−32r=0，得：r=2故答案为：15.14．（5分）（2024春·福建泉州·高二期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有48种．【解题思路】利用分步计数原理，一个个依据依次去考虑涂色.【解答过程】依据分步计数原理，第一步：涂区域1，有4种方法；其次步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；所以不同的涂色种数有4×3×(1×2+2×1)=48种．故答案为：48.15．（5分）（2024·高二课时练习）某篮球队有12名队员，其中有6名队员打前锋，有4名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为3名前锋，2名后卫，则不同的出场阵容共有636种．【解题思路】分三种状况探讨：①甲、乙都不出场；②甲、乙只有一人出场；③甲、乙都出场.分别计算出每种状况下出场的阵容种数，利用分类加法计数原理即可得出结果.【解答过程】分以下三种状况探讨：①甲、乙都不出场，则应从6名打前锋的队员中选择3人，从4名打后卫的队员中选择2人，此时，出场阵容种数为C6②甲、乙只有一人出场，若出场的这名队员打前锋，则应从6名打前锋的队员中选择2人，从4名打后卫的队员中选择2人；若出场的这名队员打后卫，则应从6名打前锋的队员中选择3人，从4名打后卫的队员中选择1人.此时，出场阵容种数为C2③甲、乙都出场，若这两名队员都打前锋，则应从6名打前锋的队员中选择1人，从4名打后卫的队员中选择2人；若这两名队员都打后卫，则应从6名打前锋的队员中选择3人，从4名打后卫的队员中不用选择；若这两名队员一人打前锋、一人打后卫，则应从6名打前锋的队员中选择2人，从4名打后卫的队员中选择1人，此时，出场阵容种数为C6综上所述，由分类加法计数原理可知，共有120+340+176=636种不同的出场阵容.故答案为：636.16．（5分）（2024春·全国·高二专题练习）课本中，在形如a+bn=Cn0an+Cn1an−1b+…Cnran−rb【解题思路】依据1+x+x22015【解答过程】∵1+x+x2其中x2015D20150⋅C2015∵1+x+而二项式x3−12015因为2015不是3的倍数，所以x3−12015D20150⋅C2015故答案为0.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2024春·山东菏泽·高二统考期中）（1）计算：4A（2）已知1C5m【解题思路】（1）依据排列数的计算公式即可得解；（2）依据组合数的计算公式即可得解.【解答过程】（1）4=7×6×5×4×3（2）由1C5即m!(5−m)!5!可得1−(6−m)6=解得m=2或m=21，因为0≤m≤5，可得m=2，所以C618．（10分）（2024·全国·高二专题练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．【解题思路】（1）依据分步乘法原理计算全部的四位数，进而可得这24个数的数字之和，（2）确定24个数中，每个数位上2，3，5，7出现的次数，进而可求这些数的和,【解答过程】（1）共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为24×2+3+5+7（2）这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．所以全部数之和为2+3+5+719．（12分）（2024·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？【解题思路】（1）分种3、4、5种颜色的花，应用分步计数及组合排列数求种植方法数；（2）分{3,1,1,1,1}、{2,2,1,1,1}两种分组，结合不平均分组、全排列求不同的放法.【解答过程】（1）当种5种颜色的花，作全排列，则有A5当种4种颜色的花，5种颜色选4种，{(A,E),(C,E),(B,C)}中选一组种同颜色的花，余下3种颜色作全排列，则有C5当种3种颜色的花，5种颜色选3种，D位置任选一种，余下2种颜色在{(A,E),(B,C)}分别种相同颜色，则有C5所以共有540种不同种植方法.（2）将7个盆栽有{3,1,1,1,1}、{2,2,1,1,1}两种分组方式，以{3,1,1,1,1}分组，则C7以{2,2,1,1,1}分组，则C7所以共有16800种不同的放法.20．（12分）（2024春·山东菏泽·高二阶段练习）6名同学(简记为A、B、C、D、E、F)到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.(1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆支配1名，乙场馆支配2名，丙场馆支配3名，则不同的支配方法种数？(3)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、B两人约定去同一个场馆，C、D不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的支配方法种数？【解题思路】（1）先让每位同学拿一个口罩，余下10个用隔板法求解作答.（2）利用分步计数乘法原理从6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三个场馆列式计算作答.（3）按给定条件将6人分成3组，再分到三个场馆列式计算作答.【解答过程】(1)16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法C9(2)求不同的支配方法分三步：6人中选一人去甲场