（新知衔接）专题04 圆的面积（二）（新知讲练+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练）（学生版）-2024年新六年级数学暑假衔接讲义（北师大版）

专题04圆的面积（二）（新知讲练+高频易错点+七考点讲练+难度分层练）编者的话：同学你好，这份讲义包含：①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！TOC\o"1-3"\h\u考点01：圆环的面积 6考点02：求最大面积 7考点03：圆的面积的应用 8考点04：求关于圆的组合图形的面积 9考点05：方中圆和圆中方的面积 11考点06：扇形的周长和面积 12考点07：用转化法求组合图形的圆的周长和面积 13基础达标练 14能力拔高练 141.学习目标描述：能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。2.学习内容分析：本课是在学生学习了圆的周长、圆的面积计算公式及推导过程的基础上进行教学的。本课从一个喷水头转动可以浇灌多大面积的农田的实例出发，结合学生的生活经验引出圆的面积知识。学习本节课，不但可以加强学生对前面知识的进一步理解，同时让学生学会准确地应用圆的面积计算公式解决一些简单的实际问题。3.学科核心素养分析：通过运用圆的面积公式解决简单实际的问题，感受数学与现实生活的密切联系，体会数学的应用价值，激发学生热爱数学的情感。新课导入1.算一算。2.求出下面各圆的面积。新课讲授【典例精讲01】农场的草坪上安装了许多自动喷水头，喷射的距离为3米。喷水头转动一周形成的是圆喷水头转动一周形成的是圆。要求喷水头转动一周可以浇灌多大的面积，实际是求圆的面积。喷水半径是3米，喷水头转动一周，能灌溉多大面积的农田？已知圆的半径求圆的面积时，可以直接利用圆的面积计算公式进行计算。【典例精讲02】量的圆形羊圈的周长是125.6m，这个羊圈的面积是多少平方米？已知圆的周长求圆的面积，可以先求出圆的半径，然后直接利用圆的面积公式计算。像三角形，形状变了。下面是一种有意思的推导圆面积的方法。像三角形，形状变了。这个三角形与原来的圆有什么关系呢？想一想，填一填。它们的面积一样，面积没变。它们的面积一样，面积没变。这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。归纳总结：知识点01：圆环的面积圆环的面积是指一个大的圆减去一个小的圆的面积，其公式为：S=πR²-πr²=π(R²-r²)，其中R为大圆的半径，r为小圆的半径。知识点02：求最大圆的面积在给定条件（如正方形、长方形等）下求最大圆的面积，关键在于确定圆的半径。例如，在正方形中，最大圆的半径等于正方形边长的一半。一旦确定了半径，就可以使用圆的面积公式S=πr²来计算。知识点03：圆的面积的应用圆的面积公式在实际问题中有广泛的应用，如计算圆形水池的底面积、圆形花坛的面积等。在应用时，需要注意单位的转换和精确计算。知识点04：求关于圆的组合图形的面积当遇到由圆和其他基本图形（如长方形、三角形等）组成的组合图形时，我们通常需要采用“分割法”或“添补法”来计算其面积。首先，将组合图形分割成若干个基本图形；然后，分别计算这些基本图形的面积；最后，将这些面积相加或相减，得到组合图形的面积。知识点05：方中圆和圆中方的面积方中圆：指在正方形中画一个最大的圆。此时，正方形的面积与圆的面积之比为4:π（即正方形面积=4r²，圆的面积=πr²）。圆中方：指在圆中画一个最大的正方形。此时，正方形的对角线等于圆的直径，因此：正方形的面积=对角线²/2=2r²，而圆的面积=πr²，所以圆与正方形的面积之比为π:2。知识点06：扇形的周长和面积扇形周长：扇形周长=扇形半径×2+弧长，其中弧长可以根据圆心角来计算，公式为：弧长=(圆心角/360°)×2πr。扇形面积：扇形面积公式是S=(lR)/2或S=(1/2)θR²，其中R是底圆的半径，l为扇形弧长，θ为圆心角（以弧度为单位）。知识点07：用转化法求组合图形的圆的周长和面积在求解复杂的组合图形的圆的周长和面积时，我们可以尝试使用“转化法”。具体来说，就是将复杂的图形转化为简单的、已知的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来计算。例如，可以通过平移、旋转、翻折等方式将组合图形转化为一个或多个圆或其他基本图形。易错知识点01：圆环的面积易错点：在计算圆环面积时，容易将内外圆的半径混淆，或者忘记计算的是差值。正确方法：明确内外圆的半径，使用公式S=π(R²-r²)进行计算，其中R为大圆半径，r为小圆半径。易错知识点02：求最大圆的面积易错点：在给定形状内求最大圆的面积时，容易误判最大圆的半径。正确方法：根据给定形状（如正方形、长方形等）确定最大圆的半径，例如，在正方形中，最大圆的半径等于正方形边长的一半。然后，使用圆的面积公式S=πr²计算面积。易错知识点03：圆的面积的应用易错点：在解决实际问题时，容易忽略单位换算或计算错误。正确方法：注意单位换算，保持单位统一；计算时要细心，避免出现简单的算术错误。易错知识点04：求关于圆的组合图形的面积易错点：在分割或组合图形时，容易漏掉或重复计算某部分面积。正确方法：使用“分割法”或“添补法”时，要仔细分析图形，确保每部分面积都被正确计算且没有重复。易错知识点05：方中圆和圆中方的面积易错点：容易混淆方中圆和圆中方的面积公式，或者忘记比较两者的面积比例。正确方法：明确方中圆和圆中方的定义，记住各自的面积公式。对于方中圆，面积之比为4:π；对于圆中方，面积之比为π:2。易错知识点06：扇形的周长和面积易错点：在计算扇形周长时，容易忘记加上两条半径的长度；在计算扇形面积时，容易忘记除以2或将圆心角误认为是角度值（非弧度值）。正确方法：扇形周长=2r+l（其中l为弧长），弧长=(θ/360)×2πr（其中θ为圆心角，以角度为单位）。扇形面积=(1/2)×θ×r²（其中θ为圆心角，以弧度为单位）。注意单位换算和公式的正确使用。易错知识点07：用转化法求组合图形的圆的周长和面积易错点：在转化过程中，容易忽略某些部分或改变图形的性质。正确方法：在转化过程中，要确保图形的性质不变，同时考虑所有相关部分。通过平移、旋转、翻折等方式将组合图形转化为一个或多个简单的基本图形（如圆、三角形、矩形等），然后利用这些基本图形的性质进行计算。考点01：圆环的面积【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）求下图中阴影部分的面积。【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁大连·期末）一个圆形花坛，小明沿着它的边沿走一圈，一共走了157步。（1）小明的平均步长是0.4米，这个圆形花坛的占地面积是多少平方米？（2）有一条2米宽的石子路围着花坛。如果每平方米按20元的费用计算，铺这条石子路大约要花多少钱？【变式演练02】（23-24六年级上·陕西西安·期末）在世博园博览会上，把一个直径为8米的圆形展区的半径向外延伸2米变成了一个新的圆形展区。新展区的面积比原来增加了多少平方米？【变式演练03】（23-24六年级上·四川成都·期末）本学期，我们学习了探究图形的一些数学思想方法，结累了一定的关于图形的活动经验。如：通过“猜想”、“实验”等探索圆的周长，运用“转化”、“极限”思想探索圆面积计算公式；又如：在综合与实践中运用“简单情况找规律”解决比赛场次等生活中的数学问题。试试用学习的这些策略解决下面问题。笑笑和淘气分别从A、B处出发，分别沿一个大圆和一个小圆走一圈（如图所示）。（1）两人走过的路程差是多少米？（2）这两个圆的面积相差多少平方米？（3）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加的话，这两个圆的周长差会增加吗？为什么？（4）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加的话，这两个圆的面积差会增加吗？为什么？考点02：求最大面积【典例精讲】（19-20六年级下·四川广安·期末）在边长相同的两个正方形里分别画一个最大的圆和一个最大的扇形，圆和扇形的面积比较（

）。A．圆面积大 B．扇形面积大 C．一样大【变式演练01】（18-19六年级上·全国·课时练习）用10m长的铁丝分别围成圆、正方形，其中面积比较大的是（

）。A．正方形 B．圆 C．无法比较【变式演练02】（2023·四川成都·小升初真题）在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是()平方厘米。【变式演练03】（18-19六年级上·全国·课时练习）从一块长5分米，宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，剩下的木板是多少平方分米？考点03：圆的面积的应用【典例精讲】（21-22六年级下·江苏扬州·期末）学校里有一块圆形草坪，AB为底面直径，一只气球在草坪的上方点O处。测得OA长5米，OB长3米。这块草坪的占地面积可能是（

）平方米。A． B．10 C．16 D．24【变式演练01】（2023·广西柳州·小升初真题）乐乐经常在门旁边等妈妈下班回家。为了避免开门时撞到乐乐，妈妈想在门的下面与地面划过的扇形轨迹放一张地毯，让乐乐每次都站在地毯的外面。已知门的宽度是1米，打开的最大角度是90°（如图），地毯的面积是()平方米。【变式演练02】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）某钟表的分针长10厘米。（1）从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？（2）从1时到2时，分针扫过的面积是多少平方厘米？【变式演练03】（22-23六年级上·河北邢台·期中）如图所示，长方形ABCD中有一长方形的池塘BEFG，F点有一棵树，其余都是草地，其中EF＝3米，EC＝5米。有一只羊拴在E点，求当绳长为4米时，羊能够吃到草的范围是多少平方米？考点04：求关于圆的组合图形的面积【典例精讲】（23-24六年级上·福建厦门·期末）如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分的面积是()。【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）求阴影部分的面积。【变式演练02】（23-24六年级上·四川成都·期末）如图所示，求阴影部分的面积与周长。【变式演练03】（22-23六年级上·河北邢台·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm）（1）

（2）考点05：方中圆和圆中方的面积【典例精讲】（22-23六年级上·河北沧州·期末）如图，小圆面积是正方形的（

），大圆面积是正方形的（

）。A．；2倍 B．； C．2倍；2倍 D．不能确定【变式演练01】（22-23六年级上·河北邢台·期末）在一个边长是6厘米的正方形内画一个最大的圆，所画圆的半径是厘米，周长是厘米，面积是平方厘米。【变式演练02】（23-24六年级上·河南驻马店·期末）有一个可以折叠的圆形餐桌，它的直径是2米，折叠后正好是一个正方形（如图），折叠后的面积减少了多少？【变式演练03】（23-24六年级上·湖北孝感·期末）在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积是多少平方厘米？考点06：扇形的周长和面积【典例精讲】（23-24六年级上·福建漳州·期末）下图半圆中，O是圆心，BC是圆的直径，A在圆上。如果图中每个小方格边长1cm，则A点在O点的()偏()()°方向上。阴影部分周长是()厘米，面积是()平方厘米。【变式演练01】（2023六年级上·辽宁·专题练习）数学活动课上，小筠借助作图软件将如图所示的扇形分割成若干等份，再拼成一个近似的平行四边形ABCD，她发现：当扇形等分的份数越多，拼出的图形就越接近平行四边形，进而可以通过计算平行四边形的面积得到扇形面积。根据以上探索发现，完成下列问题：(1)设原扇形的半径为r，弧长为，则平行四边形ABCD的底边AB长为()，高为()，面积为()；（用含r和的式子表示）(2)已知某扇形的半径为4，弧长为3，则该扇形的面积为()；(3)已知某扇形的弧长为5，面积为15，则该扇形的周长为()。【变式演练02】（23-24六年级上·陕西铜川·期末）算下面图形阴影部分的周长与面积。【变式演练03】（22-23六年级上·山西阳泉·期末）下面说法正确的是（

）。A．在同一个圆里，圆心角越大，扇形面积就越大。 B．任何圆的半径都相等。C．画圆时，圆规两脚间的距离就是直径。考点07：用转化法求组合图形的圆的周长和面积【典例精讲】（23-24六年级上·福建漳州·期末）如图，比较两个正方形中的阴影部分，周长、面积的大小关系为（

）。A．面积不相等，周长相等 B．周长不相等，面积相等C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等【变式演练01】（22-23六年级上·山西忻州·期末）求图中阴影部分的面积之和。（单位：cm）【变式演练02】（23-24六年级上·吉林·期末）求阴影部分的面积。【变式演练03】（14-15五年级上·全国·课后作业）观察下面两个图形中的阴影部分，周长和面积的大小关系是（

）。

A．周长相等，面积不相等 B．周长不相等，面积相等C．周长和面积都相等 D．周长和面积都不相等基础达标练1．（2024六下·瑞安月考）下图是一辆玩具坦克车，他的履带包围着4个半径为1cm的轮子，通过履带可以带动四个轮子向前前进。这条履带的长度是（）厘米。A．18.28 B．15.14 C．12.28 D．9.142．（2024六下·如城小学期中）下图中，阴影部分的面积是长方形面积的，是圆面积的，那么长方形的面积是圆面积的()。A．倍 B． C． D．倍3．（2024六上·三门期末）如下图，三张正方形纸片边长都是36cm，分别按下面方式剪出不同规格的圆片，比较这三幅图，下列说法不正确的是（）。A．甲、乙、丙三种圆片的周长比是6：3：2B．乙圆的面积比甲圆面积少C．丙圆的面积是乙圆面积的D．剪完圆后，每张正方形纸剩下的废料一样多4．（2024六上·慈溪期末）如果一个正方形和一个圆的周长相等，则圆的面积大。（）5．（2024六上·确山期末）用4个圆心角是90°的扇形，一定可以拼成一个圆。（）6．（2023六上·丰城月考）大圆的直径是6厘米，小圆的半径是2厘米，那么它们的面积比是9：1。（）7．（2024六上·平湖期末）如图，半圆的直径AB长12厘米，AC=CD=DB。阴影部分的周长是厘米，面积是平方厘米。8．（2024六上·平湖期末）如图，大圆与小圆的半径比是3：2，则大圆与小圆的周长比是，大圆与小圆的面积比是。9．（2024六上·平湖期末）如图，等腰直角三角形的一条直角边和半圆的直径重合，求阴影部分的面积。10．（2024六上·仙居期末）按要求计算。（1）计算下图周长。（2）求出下图阴影部分面积。11．（2024六上·萧山月考）已知△ABO是正三角形，点O是圆心。正三角形和圆的面积比是1：3，△ABO的面积是6平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?12．（2024六上·连南期末）李勇家的扫地机器人，它的底面是个圆形，直径是40厘米，将这个扫地机器人平放在地面上，它的占地面积是多少平方厘米？（2024六上·龙岗期末）如图，已知小圆半径是5米，大圆半径是7米，阴影部分的面积是多少平方米？

14．（2024六上·黄岩期末）某度假村有甲、乙两个圆形公共温泉池，直径分别是40米、20米，目前甲池内有200人，乙池内有100人。哪一个池子更拥挤呢?为什么?15．（2023六上·杭州期末）如右图，阴影部分面积与小圆的面积比是2：5，阴影部分与大圆的面积比是1：6。如果大圆的面积比小圆多109.9平方厘米。小圆的半径是（）厘米。A．25 B．2.5 C．5 D．1016．（2023六上·长兴月考）小乐用电脑软件制作一个动画，在一个长方形里放一个最大的圆，设置圆从左边平移到右边(如下图)，那么这个长方形里面有多大的面积始终不能被圆片遮盖到？下列算式错误的是（）。A．6×6-3.14×3×3 B．12×6-3.14×3×3×2C．12×6-6×6-3.14×3×3 D．12×6÷2-3.14×3×3能力拔高练17．（2024六上·黄岩期末）下图中，三张正方形纸片边长都是36cm，分别按下面方式剪出不同规格的圆片。下列说法正确的是（）。A．圆①、圆②、圆③的周长比是3：2：1B．圆①的面积是圆②的4倍C．圆③的面积是圆②的D．三张纸片中第一张的空白部分面积