2023-2024学年江苏省扬州市高一下学期6月期末数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省扬州市高一下学期6月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足z−i=1+i，则zi=(

)A.

2+i B.2−i C.−i D.i2.方程2x+lnx−5=0的解所在区间为(

)A.4,5 B.3,4 C.2,3 D.1,23.数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的45百分位数为(

)A.73 B.76 C.77 D.784.已知平面向量a=1,0,b=−1,2，则aA.15,−25 B.−155.如图，为了测量河对岸A,B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5∘，从C点测得∠ACD=45∘,∠BCE=75∘，从E点测得∠BEC=60∘.若测得DC=3,CE=2A.26 B.23 C.6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是棱A.EF//GD1 B.D1E⊥FG

C.FG⊥平面BB17.如图，在▵ABC中，D,E是BC上的两个三等分点，AB=12,AC=9,∠BAC=60∘，则AD⋅AE的值为(

)A.50 B.80 C.86 D.1108.已知cosαcosα+π3=sinαA.33 B.3 C.2−二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在▵ABC中，角A､B､C所对的边为a､b､c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有(

)A.a=4,b=5,c=6 B.A=30∘,B=45∘,c=510.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C，则下列叙述中正确的有(

)A.A与B互斥 B.A与C相互独立 C.B与C对立 D.P11.如图，正方形ABCD的中心为O，边长为4，将其沿对角线AC折成直二面角D′−AC−B，设M为AD′的中点，N为BC的中点，则下列结论正确的有(

)

A.三棱锥D′−ABC的外接球表面积为32π

B.直线MN与平面ABC所成角的正切值为12

C.点C到平面OMN

的

距离为263

D.三角形MON三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一个正四棱台的体积为152cm3，上､下底面边长分别为4cm､6cm，则棱台的高为

cm．13.若复数z满足z−2i=1，则z的最小值是

．14.已知▵ABC的面积为S满足条件3AB⋅AC=2S，则∠A=

.；若∠B=2∠C，延长CB至点D，使得BD=AC，则tan四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知a=0,1,(1)若A,B,C三点共线，求λ

的

值；(2)若AB⊥BC，求λ的值．16.(本小题12分)某保险公司为了给年龄在20∼70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段20,30,年龄20,3030,4040,5050,6060,70保费(单位：元)x2x3x5x7x(1)若采用分层抽样的方法，从年龄段在30,40和40,50内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在30,40内的概率．(2)由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？17.(本小题12分)已知函数fx(1)当x∈0,π2(2)求函数fx在区间0,2π上的所有零点之和．18.(本小题12分)如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，∠A(1)求证：MN//平面BCC(2)求证：A1M⊥平面(3)求二面角B−AA119.(本小题12分)如图所示，已知▵ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，在▵ABD中，AD=6,BD=3，DE=2(1)若∠ADB=135∘，求(2)①求AB②求CE2的最大值．答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果．【详解】由z−i=1+i可得z=1+2i，所以zi故选：B2.【答案】C

【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可．【详解】令f(x)=2x+lnx−5，f(x)在对于A，因为f(4)=8+ln4−5=3+ln所以f(x)的零点不在4,5内，所以A错误，对于B，因为f(4)>0，f(3)=6+ln所以f(x)的零点不在3,4内，所以B错误，对于C，因为f(3)>0，f(2)=4+ln所以f(x)的零点在2,3内，所以方程2x+lnx−5=0的解所在区间为2,3，所以对于D，因为f(2)<0，f(1)=2+ln所以f(x)的零点不在1,2内，所以D错误，故选：C3.【答案】B

【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可．【详解】因为10×45%=4.5，所以这10个数的45百分位数为第5个数76．故选：B4.【答案】A

【解析】【分析】利用投影向量定义，由数量积的坐标表示代入计算可得结果．【详解】由a=1,0,b=根据投影向量的定义可得a在b上的投影向量为a⋅故选：A5.【答案】D

【解析】【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解．【详解】在▵ACD中，∠ADC=67.5∘，则∠DAC=180∘−67.在▵BCE中，∠BCE=75∘，∠BEC=60则∠EBC=180∵CE∴BC=CE•在▵ABC中，AC=3,BC=2则AB∴AB=3．故选：D．6.【答案】C

【解析】【详解】对于A，连接EF,D因为E,F分别是棱AA1,AB由正方体性质可得A1B//D1C所以EF//GD1错误，即对于B，取DD1的中点M，连接易知AM//D1E，FG/​/AC，所以∠MAC即为异面直线D1E与FG不妨设正方体的棱长为2，则AM=MC=5，显然AM2+AC2≠MC2，可知对于C，连接AC,BD,B由正方体性质可得BB1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，又BB1∩BD=B，BB1,BD⊂平面又因为F,G分别是棱AB,BC的中点，所以FG/​/AC可得FG⊥平面BB1D对于D，如下图所示：易知D1∈平面D1EF，且D1∈D1C因此可得平面D1EF与平面GHC1有公共点因此平面D1EF//平面GHC故选：C7.【答案】B

【解析】【分析】根据题意利用平向量基本定理将AD,AE用【详解】因为在▵ABC中，D,E是BC上的两个三等分点，AB=12,AC=9,∠BAC=60所以AD=AE=所以AD===32+30+18=80．故选：B8.【答案】D

【解析】【分析】先对cosαcosα+π3【详解】因为cosα所以cosα所以cosα所以cos(2α+π3所以2α=π所以tan====故选：D9.【答案】ABD

【解析】【分析】对于A，B，D，根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解．【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，3sin45∘=2因sinB=63>对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确．故选：ABD．10.【答案】BD

【解析】【分析】AC选项，列举出事件A，B和事件C中的基本事件，得到A∩B≠⌀，B∩C≠⌀，判断出AC错误；B选项，利用PAC=PAPC【详解】A选项，事件A中的基本事件有1,1,2,1事件B中的基本事件有1,2,1,4,2,4,故A∩B≠⌀，事件A和事件B不互斥，A错误；B选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A中的基本事件数为12，故PA事件C中的基本事件有1,2,5,2,5,4,故PC事件AC中的基本事件有1,2,共9种情况，故PAC由于PAC=PAPC，故AC选项，由AB选项知，B∩C≠⌀，事件B与事件C不互斥，故不对立，C错误；D选项，事件A+B中的基本事件有1,1,2,1,2,2,3,4,4,4,5,4,故PA+B=24故选：BD11.【答案】ACD

【解析】【分析】对于A，找到球心即可；对于B，可利用几何法快速解决；对于C，可利用等体积法；对于D，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体．【详解】对于A，由于OA=OC=OB=OD′，所以O为三棱锥D′−ABC的球心，表面积为4π(22)对于B，过M作MH⊥AC于H，则MH⊥平面ABC，所以∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角；易知MH=2，NH=10，所以对于C，由VM−ONC=VC−MON，所以13×2×2=13ℎ⋅S▵OMN，又MN=M对于D，过O作OT⊥MN于T，则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高的圆锥的体积的两倍，所以V=2×13π×故选：ACD．思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有：(1)利用球的定义找球心，并求球的体积；(2)运用几何法求线面角的大小；(3)利用等体积法求三棱锥的高；(4)掌握常见的几何体的体积公式．12.【答案】6

【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算即可．【详解】设棱台高为ℎ，由棱台的体积公式知V=13ℎ故答案为：613.【答案】1

【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得．【详解】如图，设复数z对应的点为Z，则由z−2i=1可知点Z到点A(0,2)的距离为1即点Z的轨迹为以点A(0,2)为圆心，以1为半径的圆，而z则表示动点Z到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为Z1(0,1)，故z的最小值是故答案为：1．14.【答案】π3【解析】【分析】化简2S=3AB⋅AC即可求得∠A，结合∠A的度数以及∠B=2∠C即可求得∠B=4π9【详解】由题得2×12bc因为0<A<π，所以A=π由∠A=π3,∠B=2∠C设AB=x，由正弦定理可知AC所以AC=如图所示：过A作AE⊥BC，交BC的于E点，AE=BE=所以DE在Rt▵ADE中可算得tan∠ADC=故答案为：π3，15.【答案】解：(1)因为AB=BC=λ又因为A,B,C三点共线，所以AB//则−2×λ+2解得λ=1(2)由AB⊥BC，可得AB⋅BC解得λ=−12

【解析】(1)利用向量共线的坐标表示计算可得λ=1(2)根据向量垂直的坐标表示可求得λ=−1216.【答案】解：(1)由0.007+0.016+a+0.025+0.02×10=1得a=0.032设“抽取2人中恰好有1人年龄段在30,40内”为事件M．由题设可知，年龄在30,40和40,50内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在30,40内的有2人，年龄在40,50内的有4人．记年龄在30,40内2位参保人员为a,b，年龄在40,50的4位参保人员为A,B,C,D，则从6人中任取2人，样本空间Ω={a,b,a,A,a,B,a,C,a,D(2)保险公司每年收取的保费为：100000.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×5x+0.2×7x所以要使公司不亏本，则10000×4x≥2000000，即4x≥200，解得x≥50，所以年龄段50,60需要缴纳的保费至少为250元．

【解析】(1)先由概率和为1求出a的值，再利用分层随机抽样的概念确定在30,40和在40,50内的抽取人数，结合古典概型知识即可求得答案．(2)求出保险公司每年收取的保费为10000×4x，所以要使公司不亏本，则10000×4x≥2000000，解不等式即可求得答案．17.【答案】解：(1)易知f==因为x∈0,π2由正弦函数单调性可得sin2x+则fx的值域为(2)因为x∈0,2π，所以2x+由fx=0所以2x+π4=所以函数fx在区间0,2π上的所有零点之和为0+

【解析】(1)利用三角恒等变换整理可得fx(2)求出函数fx在区间0,2π18.【答案】解：(1)如图(1)，连接BC由三棱柱ABC−A1B1C1可知侧面又因为M为AB中点，所以MN//BC又MN⊄平面BB1C1C,BC1(2)如图(2)，连接MC,A由菱形ABB1A1可知A1因M是AB中点，则A1M⊥AB，且A1M=因为A1C=2，则有A1又MC∩AB=M,MC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC，故A1M⊥平面(3)由(2)可知A1M⊥平面ABC，因为A1M⊂平面A1如图(3)，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过H作HK⊥AA1，垂足为K，连接因为CH⊂平面ABC,平面A1AB∩平面ABC=AB，所以CH⊥平面因为AA1⊂平面A1AB,HK⊂因为HK⊥AA1,HK∩CH=