2023-2024学年江西省宜春市高二下学期6月期末联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省宜春市高二下学期6月期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∃x>0，x2−2x−7>0”的否定是(

)A.∃x≤0，x2−2x−7≤0 B.∃x>0，x2−2x−7≤0

C.∀x>0，x22.已知集合A=x∈Rx<a,B=x∈Ntx=6,t∈N，若A∩B=B，则实数A.6,+∞ B.6,+∞ C.3,+∞ D.3,+∞3.函数fx=ln4−xA.1,π2∪π2,4 B.1,π4.若函数fx=t⋅4x+2t−1A.0,12 B.0,12 C.5.已知a=40.3,b=loA.b>c>a B.a>c>b C.a>b>c D.c>a>b6.若x，y∈R，则“2x−2y>1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在等比数列an中，a1,a5是函数f(x)=x2−10x+tA.−4 B.−5 C.4 D.58.设定义域为R的偶函数y=fx的导函数为y=f′x，若f′x+x+12也为偶函数，且fA.−∞,−1∪3,+∞ B.−∞,−3∪1,+∞

C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列各组函数不是同一函数的是(

)A.f(x)=(x)2,g(x)=x

B.f(x)=x10.设函数fx在R上可导，其导函数为f′x，且函数gx=xf′x的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.fx有三个极值点 B.f0为函数的极大值

C.f−1为fx的极小值11.对于正整数n，φn是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数φn以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ9=6(1,2,4,5,7,8与9互质)A.若n为质数，则φn=n−1 B.数列φn单调递增

C.数列nφ2n的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知fx是奇函数，当x>0时，fx=2023x−2024，则f13.已知数列an满足：a1=m，当n为奇数时，an+1=3an+1；当n为偶数时，14.设集合A=r1,r2,⋯,rn⊆2,3,⋯,37，四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知数列an各项均为正数，且a(1)求an(2)数列bn满足b1=1，bn+1=a16.(本小题12分)已知函数fx(1)当a=2时，求函数fx在1,e(2)讨论函数fx的单调性．17.(本小题12分)为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．(Ⅰ)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．(Ⅱ)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a(1+x)x元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．18.(本小题12分)已知fx=ex−ax−1(1)当a=1时，求函数y=fx(2)若关于x的方程fx+1=0有两个不等实根，求(3)当a>0时，若满足fx1=fx19.(本小题12分)设有穷数列an的项数为m(m≥2)，若正整数k(2≤k≤m)满足：∀n<k,an>ak，则称(1)若an=(−1)n(2n−3)(1≤n≤5)(2)已知有穷等比数列an的公比为2，前n项和为Sn.若数列Sn+(3)若an≥an−1−1(2≤n≤m)，数列an的“min点”的个数为参考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.C

6.B

7.C

8.A

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.1

13.−1914.16

15.解：(1)数列{an}各项均为正数，且a1=1，an+12−2an+1=an2+2an，

可得an+12−an2=2(an+1+an)，即为(an+1+an)(16.解：(1)当a=2时，f(x)=2x+lnx，x∈[1,e]，则f′(x)=−2x2+1x=x−2x2，

令f′(x)=0得，x=2，所以当x∈[1,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

当x∈(2,e]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x=2时，f(x)取得极小值，也是最小值f(2)=1+ln2，

又因为f(1)=2，f(e)=1+2e<2，所以f(x)的最大值为2，

综上所述，函数f(x)在[1,e]的最小值为1+ln2，最大值2;

(2)因为f(x)=ax+lnx(x>0)，所以f′(x)=−ax2+1x=x−ax2，

当a≤0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，故此时f(x)在(0,+∞)上为增函数;

当a>0时，令f′(x)=0，得x=a，当0<x<a17.解：(Ⅰ)设甲工程队的总造价为y元，

则y=3(300×2x+400×24x)+14400=1800(x+16x)+14400(3⩽x⩽6)1800(x+16x)+14400≥1800×2×x⋅16x+14400=28800．(Ⅱ)由题意可得，1800(x+16x)+14400>整理得：a<x2+8x+16x+1对∀x∈[3,6]恒成立，

令g(x)=x2+8x+16x+1，g(x)=x2+8x+16x+1=(x+1)2+6(x+1)+9x+1=(x+1)+9x+1+6≥6+2

18.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−x−1，定义域为R，

则f′(x)=ex−1，

令f′(x)=0，得x=0，

当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以y=f(x)在x=0处取到极小值0，无极大值；

(2)方程f(x)+1=ex−ax=0，

显然当x=0时，方程不成立，则a=exx，x≠0，

若方程有两个不等实根，即y=a与g(x)=exx有2个交点，

则g′(x)=(x−1)exx2，

当x<0或0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在区间(−∞,0)和(0,1)上单调递减，

并且x∈(−∞,0)时，g(x)<0，当x∈(0,1)时，g(x)>0，

当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)严格增，x>0时，当x=1时，g(x)取得最小值，g(1)=e，

作出函数y=g(x)的图象，如下图所示：

y=a与g(x)=exx有2个交点，

则a>e，

即a的取值范围为(e,+∞)；

(3)证明：f′(x)=ex−a，

令f′(x)=0，可得x=lna，

函数y=f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，

由题意x1<x2，则x1∈(−∞,lna)，x2∈(lna,+∞)，

要证x1+x2<2lna，只需证x1<2lna−x2，

而x1<2lna−x2<lna，且函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，

故只需证f(x1)>f(2lna−x2)，

又f(x1)=f(x219.解：(1)因为a1=1，a2=1，a3=−3，a4=5，a5=−7，

所以数列{an}的“min点”为3，5．

(2)依题意，Sn=a1(1−2n)1−2=a1(2n−1)，

因为数列{Sn+1Sn}存在“min点”，所以存在n(n≥2)，使得Sn+1Sn<a1+1a1，

所以a1(2n−1)+1a1(2n−1)<a1+1a1，即a1(2n−2