华东师大版初中数学九年级上册24-4解直角三角形第1课时解直角三角形的定义和方向角问题课件

九年级

上册华东师大版初中数学第24章解直角三角形24.4解直角三角形第1课时解直角三角形的定义和方向角问题知识点1解直角三角形的定义及基本类型基础过关全练1.(2022山西临汾尧都期中)在Rt△ABC中,有下列情况,则直

角三角形可解的是

(

)A.已知BC=6,∠C=90°B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5C.已知∠C=90°,∠A=∠BD.已知∠C=∠B=45°B解析

∵选项C、D缺少边的条件,选项A缺少锐角的条件,∴

不能解直角三角形;选项B中,由∠A的正弦可求出AB的长,再

根据直角三角形的性质可求出∠B,然后由勾股定理或∠A的

正切可求出AC的长.2.(等积法)(2023陕西中考副卷)如图,在6×7的网格中,每个小

正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上,则sinB的值为

(

)

A.

B.

C.

D.

A解析连结AD,则∠ADB=90°,∵AD=

=2

,AB=

=

,∴sinB=

=

=

,故选A.

3.(2023青海西宁中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A

=42°,则BC的长约为

.(结果精确到0.1.参考数据:sin

42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)

8.0解析∵∠ACB=90°,∴sinA=

,∵AB=12,∠A=42°,sin42°≈0.67,∴BC=AB·sinA≈8.0.4.(2024四川眉山洪雅实验中学月考)已知在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件,求出直

角三角形的其他元素.(1)a=

,b=6;(2)a=3

,∠B=45°.解析

(1)∵∠C=90°,a=

,b=6,∴c=4

.∵sinA=

=

,∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.(2)∵∠C=90°,∠B=45°,∴∠A=90°-∠B=45°,∴a=b=3

,∴c=6.知识点2解直角三角形的应用——方向角问题5.(2023广东广州中考)如图,海中有一小岛A,在B点测得小岛

A在北偏东30°方向上,渔船从B点出发由西向东航行10n

mile到达C点,在C点测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为

(

)

DA.

nmile

B.

nmileC.20nmile

D.10

nmile解析连结AC(图略),由题意可知AC⊥CB,∠ABC=90°-30°=

60°.∵BC=10nmile,∴AC=BC·tan60°=10

nmile,∴此时渔船与小岛A的距离为10

nmile.6.(情境题·国防教育)(2023湖南郴州中考)某次军事演习中,一

艘船以40km/h的速度向正东方向航行,在出发地A测得小岛

C在它的北偏东60°方向,2小时后到达B处,测得小岛C在它的

北偏西45°方向,求该船在航行过程中与小岛C的最近距离

(参考数据:

≈1.41,

≈1.73.结果精确到0.1km).

解析由题意得AB=40×2=80(km),∠CAB=30°,∠ABC=45°,

如图,过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴tan∠CAD

=

=

,BD=CD,∴AD=

CD,∵AB=80km,∴

CD+CD=80,∴CD=40

-40≈29.2(km),即该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2km.

7.(2023辽宁朝阳中考)如图,CD是一座东西走向的大桥,一辆

汽车在笔直的公路l上由南向北行驶,在A处测得桥头C在北

偏东30°方向上,继续行驶500米后到达B处,测得桥头D在北

偏东45°方向上.已知大桥CD长300米,求桥头C到公路l的距

离.(结果保留根号)

解析如图,延长DC交直线l于H,设CH=x米,根据题意得,∠DHA=90°,在Rt△AHC中,∠HAC=30°,tan∠HAC=

,∴AH=

x米,∵AB=500米,∴HB=(

x-500)米,在Rt△BHD中,∠HBD=45°,∴HB=HD,∵HD=(x+300)米,∴

x-500=x+300,解得x=400(

+1),故桥头C到公路l的距离为400(

+1)米.

能力提升全练8.(2024河南洛阳嵩县一模,17,★★☆)如图,AD⊥CD,AB=10

,BC=5

,CD=AD=5,则∠B=

°,S四边形ABCD=

.

30解析∵AD⊥CD,∴∠D=90°.∵CD=AD=5,∴AC=5

,∴AC2+BC2=50+150=200=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=

90°.在Rt△ABC中,∵cosB=

=

=

,∴∠B=30°.S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=

×5

×5

+

×5×5=

.9.(情境题·科学研究)(2024湖南衡阳南岳二模,24,★★☆)北

斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统,其由

空间段、地面段和用户段三部分组成,可在全球范围内全天

候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位,导航,授时

服务.如图,小敏一家自驾到风景区C游玩,到达A地后,导航显

示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东60°

方向行驶一段距离到达风景区C,小敏发现风景区C在A地的

北偏东15°方向上.(1)求∠C的度数;(2)求A、C两地的距离(如果运算结果有根号,请保留根号).

解析

(1)由题意得∠BAC=45°+15°=60°,∠ABC=45°+30°=75°,∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°.(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D,∴∠BDA=∠BDC=90°,∵∠BAD=60°,∴∠ABD=30°,∴AD=

AB=2千米,在Rt△ABD中,cos∠ABD=

=

=

,∴BD=2

千米,∵∠C=45°,∴CD=BD=2

千米,∴AC=AD+CD=(2+2

)千米,即A、C两地的距离为(2+2

)千米.

10.(情境题·国防教育)(2023江苏无锡新吴二模,25,★★★)中

国人民解放军海军无锡舰是我国海军055型驱逐舰.2022年8

月,无锡舰奔赴某海域开展为期数天的海上多科目实战化训

练.如图,无锡舰从海上A处沿正北方向航行,当到达B处时,位

于A处正东方向的观测船M测得无锡舰此时位于北偏西45°

方向,当无锡舰继续航行40海里到达C处时,由位于M处正东

方向120海里的观测船N测得无锡舰此时位于北偏西60°方

向.(1)求A、B之间的距离:(2)接到上级任务指令,无锡舰需在C处进行机动转弯,且∠ACD=105°,求此时观测船N到其正北方向上点D的距离.

解析

(1)设AB=x海里,由题意得∠A=90°,∠ABM=45°,∴∠

AMB=45°=∠ABM,∴AM=AB=x海里,在Rt△ACN中,∠ANC=9

0°-60°=30°,AC=AB+BC=(x+40)海里,AN=AM+MN=(x+120)海里,tan∠ANC=

,∴

=

,解得x=40

,经检验,x=40

是方程的解,∴AB=40

海里,即A、B之间的距离为40

海里.(2)在Rt△ACN中,∠ANC=30°,AC=AB+40=(40

+40)海里,∴CN=2AC=(80+80

)海里,如图,过点D作DE⊥CN于E,∵∠ACN=90°-30°=60°,∠ACD=105°,∴∠DCE=105°-60°=45°,∴∠CDE=45°=∠DCE,∴CE=DE,在Rt△DNE中,∠DNE=6°,

tan∠DNE=

,∴

=

,∴DE=80

海里,∵sin∠DNE=

,∴DN=

=160海里,故观测船N到其正北方向上点D的距离为160海里.

素养探究全练11.(运算能力)(2023四川广安中考)为了美化环境,提高民众

的生活质量,市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形

人工湖泊ABDE,并沿湖泊修建了人行步道.如图,点C在点A的

正东方向170米处,点E在点A的正北方向,点B、D都在点C的

正北方向,BD长100米,点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E

的北偏东58°方向.(1)求步道DE的长度;(2)点D处有一个小商店,某人从点A出发沿人行步道去商店

购物,可以经点B到达点D,也可以经点E到达点D,请通过计算说明他走哪条路较近.(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,

≈1.73)

解析

(1)如图,过D作DF⊥AE,垂足为F,由题意可知四边形

ACDF是矩形,∴DF=AC=170米,在Rt△EFD中,∠DEF=58°,

∴DE=

≈

=200(米),∴步道DE的长度约为200米.

(2)某人从点A出发,经点B到达点D的路程较近.理由如下:在Rt△EFD中,∠DEF=58°,DF=170米,∴EF=

≈

=106.25(米),在Rt△ABC中,∠BAC=90°-30°=60°,AC=170米,∴BC=AC·tan60°=170

(米),AB=

=

=

=340(米),∵BD=100米,∴CD=BC