华东师大版初中数学九年级上册第24章解直角三角形素养综合检测课件

九年级

上册华东师大版初中数学第24章素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题4分,共32分)1.(2024山西临汾曲沃期末)计算

的值为

(

)A.

B.

C.

D.

C解析原式=

=

.2.(2023山东威海中考)如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角

为28°,高为7米.用计算器求AB的长,下列按键顺序正确的是

(

)

A.7×sin28=

B.7÷sin28=C.7×tan28=

D.7÷tan28=B解析如图,在Rt△ABC中,∠BAC=28°,BC=7米,∵sin∠BAC

=sin28°=

=

,∴AB=

,因此按键顺序为7÷sin28=.

3.(跨学科·物理)(2023广东深圳中考)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1m耗能(1.025-cosα)J,如图,若某人爬了1000m,该坡角为30°,则他耗能(参考数据:

≈1.732,

≈1.414)(

)

A.58J

B.159JC.1025J

D.1732JB解析由题意可知耗能1000×(1.025-cos30°)=1000×

≈159(J).4.(2024河南省实验中学期末)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,

点D是边BC上一点,连结AD,点P是AD的中点,若AC的垂直平

分线经过点D,DC=8,则BP的长为

(

)

A.8

B.6

C.4

D.2C解析∵点D在AC的垂直平分线上,∴DA=DC=8,∵∠ABC=90°,点P是AD的中点,∴BP=

AD=4.5.(新独家原创)星级酒店门口一般会悬挂旗子,这种习俗来

自在古代酒馆门口悬挂的“酒旗”,古诗云:“千里莺啼绿映

红,水村山郭酒旗风.”寥寥数字为我们勾画出了江南水乡独

有的特色,塑造出了深邃幽美的意境.如图所示的是直立于某

酒店门前水平地面上的“酒旗”,经测量得到如下数据:AM=

12米,AB=15米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则“酒旗”的宽度

CD为(

)D

A.3米

B.(9

+12)米C.4米

D.(9

-12)米解析在Rt△CMB中,∵∠CMB=90°,MB=AM+AB=12+15=27

(米),∠MBC=30°,∴CM=MB·tan30°=27×

=9

(米).在Rt△ADM中,∵∠AMD=90°,∠MAD=45°,∴MD=AM=12米,∴CD=CM-DM=(9

-12)米.6.(2024福建泉州一模)已知“α为锐角时,sinα随着α的增大

而增大”,则sin37°的值更靠近

(

)A.

B.

C.

D.

B解析∵α为锐角时,sinα随着α的增大而增大,∴sin30°<sin37°<sin45°,即

<sin37°<

,∵

<

<

<

<

<

,∴sin37°的值更靠近

.7.(新考法)(2024吉林长春一零八中学期末)已知函数f(x)=

,则f(cos30°)、f(cos45°)、f(cos60°)的大小关系为

(

)A.f(cos30°)<f(cos45°)<f(cos60°)B.f(cos30°)>f(cos45°)>f(cos60°)C.f(cos45°)<f(cos30°)<f(cos60°)D.f(cos45°)<f(cos60°)<f(cos30°)A解析本题将特殊角的三角函数值与二次根式的化简计算

融为一体,设计新颖别致.f(cos30°)=

=

=

=

=

<0,f(cos45°)=

=

=

=0,f(cos60°)=

=

=

=

>0.∵

<0<

,∴f(cos30°)<f(cos45°)<f(cos60°).8.(设参法)(2024河南南阳镇平二模)如图,某处斜坡CB的坡度

(或坡比)为i=1∶2.4,通讯塔AB垂直于水平地面,在C处测得

塔顶A的仰角为45°,在D处测得塔顶A的仰角为53°,斜坡路段

CD长26米,则通讯塔AB的高度约为

参考数据:sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

(

)

BA.

米

B.

米

C.56米

D.66米解析如图,延长AB与水平线交于F,过D作DM⊥CF,M为垂

足,过D作DE⊥AF,E为垂足,∵斜坡CB的坡度为i=1∶2.4,∴

=

=

=

,设DM=5k米,则CM=12k米,在Rt△CDM中,CD=26米,由勾股定理得CM2+DM2=CD2,即(5k)2+(12k)2=262,解

得k=2,∴DM=10米,CM=24米,设DE=12a米,则BE=5a米,∵∠

ACF=45°,∴AF=CF=CM+MF=(24+12a)米,∴AE=AF-EF=24+

12a-10=(14+12a)米,在Rt△ADE中,DE=12a米,AE=(14+12a)

米,tan∠ADE=

=tan53°≈

,∴

=

,解得a=

,∴AE=14+12a=56(米),BE=5a=

(米),∴AB=AE-BE=56-

=

(米),故通讯塔AB的高度约为

米.

二、填空题(每小题4分,共20分)9.(2024湖南衡阳船山实验中学期末)已知锐角α,且cos(α+15°)=

,则α=

.45°解析∵锐角α,且cos(α+15°)=

,∴α+15°=60°,∴α=45°.10.(2024吉林长春双阳期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,

CD是高,∠A=30°,AB=4,则BD=

.

1解析在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,且CD⊥AB,∴

∠BCD=∠A=30°,∵AB=4,∴BC=

AB=

×4=2,∴BD=

BC=

×2=1.11.(2023四川绵阳中考)如图,厂房屋顶人字架(等腰三角形)

的跨度BC=10m,∠B=30°,则中柱AD(D为底边中点)的长为

m.

解析∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,在Rt△ABD中,∠B=30°,BD=

BC=5m,tanB=

,∴AD=BD·tanB=5×

=

(m),即中柱AD的长为

m.12.(跨学科·地理)(情境题·中华优秀传统文化)(2024河南新乡

原阳期末)西周时期,丞相周公旦设计过一种通过测量正午日

影长度来确定节气的天文仪器,称为圭表(如图1),它包括一

根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆

放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”),当正午太阳照射在表

上时,日影便会投影在圭面上.图2是一个根据某市地理位置

设计的圭表平面示意图,表AC垂直于圭BC.已知该市冬至正

午太阳高度角(即∠ABC)为α,夏至正午太阳高度角(即∠

ADC)为β,若表AC的长为m,则圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为

.

图1

图2

-解析在Rt△ACD中,AC=m,∠ADC=β,∴CD=

=

,在Rt△ACB中,∠ABC=α,∴BC=

=

,∴BD=BC-CD=

-

.13.(方程思想)(2022江苏扬州中考)在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若b2=ac,则sinA的值为

.

解析在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2,∵b2=ac,∴c2=a2+ac,

等式两边同时除以ac得

=

+1,令

=x,则有

=x+1,∴x2+x-1=0,解得x1=

,x2=

(舍去),当x=

时,x≠0,∴x=

是原分式方程的解,∴sinA=

=

.三、解答题(共48分)14.(2024河南郑州荥阳西一中学期中)(6分)计算:(1)tan45°-sin30°cos60°-cos245°;(2)3tan30°-tan245°+2sin60°.解析

(1)原式=1-

×

-

=1-

-

=

.(2)原式=3×

-12+2×

=

-1+

=2

-1.15.(2024福建泉州鲤城现代中学期中)(6分)如图,已知∠AOB

=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=

2,求OM的长.

解析如图,过P作PQ⊥MN于Q,∵PM=PN,∴MQ=NQ=

MN=1,在Rt△OPQ中,OP=12,∠AOB=60°,∴∠OPQ=30°,∴OQ=

6,∴OM=OQ-QM=6-1=5.

16.(新考向·新定义试题)(设参法)(2023山西省实验中学月考)

(6分)如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的

比叫做角α的余切,记作cotα,即cotα=

=

,根据上述定义,解答下列问题:(1)cot30°=

;(2)已知tanA=

,其中∠A为锐角,试求cotA的值.解析

(1)∵Rt△ABC中,α=30°,∴BC=

AB,∴AC=

=

=

AB,∴cot30°=

=

.(2)∵tanA=

=

,∴设BC=3x,AC=4x,∴cotA=

=

=

.17.(2024四川泸州纳溪二模)(8分)如图,湖中有一亭,湖边一柳

树,一沉静,一飘逸,碧波荡漾,相映成趣,某活动小组赏湖之余,

为了测量亭与柳树间的距离,在柳树A处测得亭子B位于北偏

东60°方向,他们又向南走50米到达D点,此时测得亭子B位于

北偏东45°方向,求亭子与柳树之间的距离.(参考数据:

≈1.41,

≈1.73,结果精确到1米)

解析如图,过点B作BC⊥DA,交DA的延长线于点C,由题意

得AD=50米,设AC=x米,∴CD=AC+AD=(x+50)米,在Rt△ABC

中,∠CAB=60°,∴BC=AC·tan60°=

x(米),在Rt△BCD中,∠CDB=45°,∴BC=CD=(x+50)米,∴

x=x+50,解得x=25+25

,

∴AC=(25+25

)米,在Rt△ABC中,AB=

=

=50+50

≈137(米),∴亭子与柳树之间的距离约为137米.

18.(跨学科·物理)(情境题·中华优秀传统文化)(2024河南鹤壁

淇滨二模)(10分)中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最

早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记

载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣.”如图1所示,

其工作方法主要利用了光的反射原理.(1)在图2中,AB呈水平状态,若入射角∠BOC=30°,∠OAD=15°(入射角等于反射角,OC,AD为法线),则∠BAD=

度;(2)在(1)的条件下,若AB=10

米,求点A到OB的距离.

图1

图2解析

(1)∵AD⊥AB,∴∠BAD=90°.(2)如图,过点A作AE⊥OB于点E,∵入射角∠BOC=30°,入射

角等于反射角,∴∠AOC=∠BOC=30°,∴∠AOB=60°,∵AD⊥

AB,∠OAD=15°,∴∠OAB=75°,∴∠B=180°-∠AOB-∠OAB=

45°,∵AE⊥OB,∴△AEB为等腰直角三角形,在Rt△ABE中,

AB=10

米,∴AE=AB·sinB=10

×

=10

(米),∴点A到OB的距离为10

米.

19.(新考向·阅读理解试题)(2022湖南张家界中考)(12分)阅读

下列材料:在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b