矩阵分析 课件 3.2 Jordan标准形

3.1Jordan标准形1、Jordan标准形的定义定义3.7形如的方阵叫作阶Jordan块。特别的，一阶方阵叫作一阶Jordan块。定义3.8由若干个Jordan块组成的分块对角矩阵其中为阶Jordan块，时，这个矩阵叫作n阶Jordan标准形，记为

J或当定理3.8如果任意若不计

J中的Jordan块的排列顺序，则

J由A唯一确定。Jordan标准形

J相似，则Jordan标准形

J的对角元素就是

A的特征值。对角矩阵也是一个Jordan矩阵，它的每个Jordan块是一阶的。Jordan矩阵特征值恰是对角线元素，对角线上方的次对角线的的元素可能为1或0。在Jordan标准形

J中，不同Jordan块的对角元素Jordan块本身就是一个Jordan矩阵。可能相同也可能不同。因为相似矩阵有相同的特征值，因此，若矩阵

A与一个都与一个Jordan标准形

J相似，（ⅰ）特征向量法2、Jordan标准形的计算Step1求特征值及其代数重数，Step2对每个特征值，确定其对应的Jordan块。是

A的单特征值，则只对应一个一阶Jordan块如果是

A的重特征值，计算的几何重数则共对应个以的Jordan块，这些Jordan块的阶数Step3A的所有特征值对应的所有Jordan块构成的Jordan矩阵设

A的互不相同的特征值为

代数重数指特征值的重数如果之和等于即为

A的Jordan标准形。

几何重数指特征值对应线性无关的特征向量的个数几何重数小于等于代数重数。为对角元素例3.4如果求下列矩阵的Jordan标准形：（1）解

可求得

A特征值为特征值只有一个线性无关的特征向量故

A的Jordan标准形为（2）A的特征值为由可知以为特征值的Jordan块有阶数之和为3。注：当矩阵

A的某一特征值重数较高时，对应的Jordan块的解个，这两个Jordan块中，一个一阶块，一个二阶块，故阶数可能无法确定。例3.4如果求下列矩阵的Jordan标准形：（ⅱ）初等变换法Step1

求出的全部初等因子为Step2对每个初等因子，确定其对应的Jordan块

Step3

A的所有初等因子对应的所有Jordan块构成的Jordan矩阵注：上述Step1中，可能有相同的。且当任意一个

n阶复矩阵

A可以对角化的充分必要条件为的初等因子全是一次的。即为

A的Jordan标准形。时，例3.5求下列矩阵的Jordan标准形：（1）解初等因子为则

A的Jordan标准形为（2）因此的初等因子为所以

A的Jordan标准形解例3.5求下列矩阵的Jordan标准形：（ⅲ）行列式因子法求

A的Jordan标准形。Step1

求的

n个行列式因子Step2

根据定理3.4推论，求的不变因子；Step3

求

A的全部初等因子和Jordan标准形。行列式因子法是利用行列式因子与初等因子的关系例3.6求下列矩阵的Jordan标准形：解选取计算得的一个三阶子式由于，所以从而于是

A的不变因子为即

A的初等因子为故A的Jordan标准形为（1）例3.6求下列矩阵的Jordan标准形：（2）解不变因子为初等因子为故A的Jordan标准形为A的行列式因子为3、相似变换矩阵

A与Jordan标准形

J相似，即存在一个可逆矩阵

P，那么如何求矩阵

P呢？通过求解线性方程组就可以求出

P.Step1

将

P按列分块写成，则有Step2

由于J的对角线元素为

A的特征值，对角线上方平行线可化为如下方程组的形式：即其中或1Step3

依次求解这些方程即可求得使得上元素为0或1，因此例3.7求的Jordan标准形

J，并求出可逆矩阵

P，解可求得

A的Jordan标准形为令，由可得即分别求解三个方程可得，可选取所以，使得例3.8求的Jordan标准形

J，并求出可逆矩阵

P，使得解可求得

A的Jordan标准形为令，由可得即即为特征值的两个线性无关的特征向量，的通解为若令，方程无解。若令，方程依然无解。由于方程组设再代入由可知时方程有解。不妨取，即可求得的解为可取，故所用的相似变换矩阵为注：从例3.7和例3.8可知，相似变换

P不是唯一的。Jordan标准形的幂设其中则计算的关键是计算定理3.9阶Jordan块的

k次幂，其中多项式特别的，当为2阶Jordan块时，设多项式，则当为3阶Jordan块时，由定理3.9，例3.9已知