专题3.4 函数的应用（一）-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题3.4函数的应用（一）一、单选题1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天定价元元元元住房率要使收入每天达到最高，则每间应定价为（

）A．20元 B．18元C．16元 D．14元【答案】C【解析】本题首先可以求出在图表的四种情况下的每天的收入的数值，然后通过比较，即可得出结果.【详解】当定价为元时，每天的收入为（元）；当定价为元时，每天的收入为（元）；当定价为元时，每天的收入为（元）；当定价为元时，每天的收入为（元）；故当定价为元时，每天的收入最高，收入为元，故选：C.【点睛】本题考查根据表格中的数据求每天的收入的最大值，能否根据题意得出每天的收入的计算方式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力，是简单题.2．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【详解】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：．【点睛】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识．属于基础题．3．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：购票人数1~5051~100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（

）A．20 B．30 C．35 D．40【答案】B【解析】根据990不能被13整除，得到两个部门的人数之和为，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组，即可求解.【详解】由题意，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为，（1）若，则，可得，……(1)由共需支付门票为1290元，可知,………(2)联立方程组，可得（舍去）；（2）若，则，可得，……(3)由共需支付门票为1290元，可知，可得，…(4)联立方程组可得，所以两个部门的人数之差为.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4．函数与图象交点的横坐标所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作函数与的图象，数形结合求解.【详解】作函数与的图象，如图，由图且当时，，当时，，所以交点的横坐标在1与2之间.故选：A.5．已知函数的定义域为，且其图象关于点对称，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数的对称性可知，结合倒序相加法即可选出正确答案.【详解】因为图象关于点对称，则，令，，两式相加得，所以.故选:.【点睛】关键点睛:本题的关键是由函数的中心对称性得，再结合倒序相加法求值.二、多选题6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（

）A．函数的最大值为1；B．函数的最小值为0C．函数的图象与直线有无数个交点D．函数是增函数【答案】BC【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，对于A：函数，故A错误；对于B：函数的最小值为0，故B正确；对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；对于D：函数不是上的增函数，故D错误；故选：BC7．已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（

）A．常值函数为回旋函数的充要条件是；B．若为回旋函数，则；C．函数不是回旋函数；D．若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点.【答案】ACD【解析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令，则必有，令，则，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得，再根据零点存在性定理，推得零点的个数.【详解】A.若，则，则，解得：，故A正确；B.若指数函数为回旋函数，则，即，则，故B不正确；C.若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；D.若是的回旋函数，则，对任意的实数都成立，即有，则与异号，由零点存在性定理得，在区间上必有一个零点，可令，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.8．已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于对称B．函数在上单调递增C．D．若方程在内恰有2个不同的实根，则【答案】ACD【分析】由题设递推关系及奇函数可得的周期为8、关于对称、在上递增，在上递减，结合周期性、奇偶性、对称轴及各选项的描述判断正误即可.【详解】由题设，，则是的对称轴，A正确；∴，故的周期为8，且，C正确；又在上单调递增，易知：在上递增，上递减；∴根据周期性知：在上递减，B错误；由周期性、对称性知：若在内恰有2个不同的实根，则，D正确.故选：ACD.9．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（

）A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点【答案】ABD【解析】根据的图像在上连续不断，，，，结合零点存在定理，判断出在区间和上零点存在的情况，得到答案．【详解】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选：．10．某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（

）A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元【答案】BCD【分析】根据题意设出商品A的单价为元，用含有的式子表示商品A销售总收入，列出不等式求解即可.【详解】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，根据题意有，解得，故BCD符合题意.故选:BCD三、填空题11．函数的单调递增区间是_________.【答案】,【分析】画出函数图像观察即可.【详解】易得图像为故单调递增区间为与故答案为：,【点睛】本题主要考查了函数图像的运用与函数的单调性问题,属于基础题型.12．已测得的两组值为，，现有两个拟合模型，甲：，乙：.若又测得的一组对应值为，则选用________作为拟合模型较好．【答案】甲【分析】将分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：时，，对于乙：时，，因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)【分析】由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解．【详解】由题意函数是上的增函数，设，，由，解得，所以，所以故答案为：注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．【点睛】思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一．14．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x]•{x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝____．【答案】2011【分析】化简函数f(x)=[x]x-[x]2，对不等式f(x)≥g(x)分类讨论，求出解集而得.【详解】f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2，g(x)=x-1，f(x)≥g(x)⇒[x]x-[x]2>x-1，即([x]-1)x≥[x]2-1，当x∈[0，1)时，[x]=0，上式可化为x≤1，∴x∈[0，1)；当x∈[1，2)时，[x]=1，上式可化为0≥0，∴x∈[1，2)；当x∈[2，2009]时，[x]-1>0，上式可化为x≥[x]+1，而x<[x]+1，∴x∈∅；当x∈[-2019，0)时，[x]<0，上式可化为x≤[x]+1恒成立，∴x∈[-2009，0）；∴f(x)≥g(x)在-2009≤x≤2009时的解集为[-2009，2)，故d＝2011.故答案为：2011【点睛】解决问题的关键是读懂取整函数[x]的意义及符号{x}=x-[x]的意义.15．将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为_________元.【答案】【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元，则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值．【详解】设售价为元，总利润为元，则，当时，最大，最大的利润元；即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元．故答案为:.四、解答题16．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．图（1）

图（2）（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】(1)，;(2)当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．【分析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解．【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，由题意可设，，其中，是不为零的常数．所以根据图象可得，，，，所以，．（2）①由（1）得，，所以总利润为万元．②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，则，．令，则，且，则，．当时，，此时，．当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知且设，绿地面积为.(1)写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域．(2)当为何值时，绿地面积最大？【答案】（1）y＝－2x2＋（a＋2）x，0<x≤2；（2）当时，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.【详解】（1）SΔAEH＝SΔCFG＝x2，SΔBEF＝SΔDGH＝(a－x)(2－x)．∴y＝SABCD－2SΔAEH－2SΔBEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x．由，得∴y＝－2x2＋(a＋2)x，其定义域为．（2）当，即a<6时，则x＝时，y取最大值．当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4．综上所述：当a<6时，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4．18．已知甲、乙两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留1小时后再以50km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t（从甲地出发时开始）的函数，求此函数表达式．【答案】【分析】分为，，三段求函数解析式．【详解】某人开汽车以60km/h的速度从甲地到达乙地需要的时间为h，某人开汽车以50km/h的速度返回甲地需要的时间为h，当时，，当时，，当时，，综上所述：．【点睛】本题考查分段函数的解析式．关键在于正确的分段．19．根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件产品的销售价格P（单位：元）与时间t（单位：天）的关系如图，日销量Q（单位：件）与时间t之间的关系如下表所示.t/天5152030Q/件35252010（1）根据图示写出该产品每件的销售价格P与时间t的函数解析式.（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中，根据表中提供的数据描出实数对的对应点，并确定日销量Q与时间t的一个函数解析式.（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额=每件产品的销售价格×日销量）【答案】（1）；（2）图像见解析，；（3）第5天【分析】（1）由图像为一次函数模型，是常函数模型，写出分段函数的形式即可.（2）由题中数据描点即可作出图像，再由图像判断函数模型，设出解析式，代入数据即可求解.（3）由（1）（2）的函数表达式列出利用分段函数的性质即可求解.【详解】解：（1）根据题图知每件产品的销售价格P与时间t的函数解析式为（2）描出实数对的对应点如图所示.从图中可以发现，点（5，35），（15，25），（20，20），（30，10）可能在同一条直线上，设它们所在直线l的解析式为（为常数）.将点（5，35），（30，10）代入方程，得，解得所以.经检验，点（15，25），（20，20）也满足上式.因此日销量Q与时间t的一个函数解析式为（3）设日销售金额为y（单位：元），则即当时，，此时；当时，.所以在这30天内，第5天的日销售金额最大.【点睛】本题考查了一次函数模型、分段函数模型以及分段函数的性质，属于基础题.20．如图，已知底角为45°的等腰梯形，底边长为，腰长为，当一条垂直于底边（垂足为）的直线从左到右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分的面积与的函数解析式．【答案】【分析】可以通过分类讨论明确图形的特征，再根据图形形状求出函数的解析式.【详解】解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．∵ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝cm，∴BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又∵BC＝7cm，∴AD＝GH＝3cm，①当点F在BG上时，,即时，；②当点F在GH上时，即时，．③当点F在HC上时，即时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD−S三角形CEF，∴函数解析式为.【点睛】本题考查求分段函数的解析式，找到分段点，在各段找出已学过得的规则图形，化未知为已知，结合图形，比较直观．用到转化，化归与数形结合的思想．21．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计算；当月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过的部分按每千瓦时0.5元计算．（1）设月用电x千瓦时时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）若某家庭一月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？（3）若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表：月份1月2月3月合计交费金额（元）766345.6184.6则这个家庭第一季度共用电多少千瓦时？【答案】（1）；（2）67元；（3）第一季度共用电330千瓦时.【解析】（1）根据“阶梯电价”方法计算电价，可得分段函数；（2）由代入，可得结论；（3）分别计算3个月用电，可得结论．【详解】解：（1）由题意得，当时，；当时，．所以关于的函数关系式为．（2）已知，结合（1）得，即应交电费67元．（3）1月用电：因为，所以，由得；2月用电：因为，所以，由得；3月用电：因为，所以，由得．所以（千瓦时），即第一季度共用电330千瓦时【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数，确定函数解析式是关键．22．已知函数在区间上的最小值为．（1）求函数的解析式．（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）函数的对称轴，讨论对称轴所在的区间即可求解．（2）根据已知定义在的函数为偶函数，再对其单调性进行研究可知，即，实数的取值范围即可求解．【详解】（1）因为，所以当时，，此时．当时，函数在区间上单调递减，所以．综上可知．（2）因为当时，，所以当时，．易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或．综上所述，实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论是哪种类型，解决的关键是明确对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．23．已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立.(1)证明：；(2)设，，若图象上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）