专题2.1 等式性质与不等式性质-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题2.1等式性质与不等式性质一、单选题1．已知.下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】B【解析】给a,b赋值，判定选项，得答案.【详解】因为，所以令A选项，错误；B选项，正确；C选项，错误；D选项，错误.故选：B【点睛】本题考查不等式的基本性质，可以利用性质变换，也可以用赋值法直接判定，基础题.2．下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.B选项，若，两边平方得，所以B选项正确.C选项，若，则，所以C选项错误.D选项，若，如，则，所以D选项错误.故选：B3．已知，，那么下列命题正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对于选项A，，判断得解；对于选项B和C，差的符号不能确定，所以不正确；对于选项D，差的符号不能确定，所以该选项不正确.【详解】对于选项A，，因为，所以，所以，所以该选项正确；对于选项B，，如：，则分母小于零，如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；对于选项C，，如：，则分母小于零，如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；对于选项D，，差的符号不能确定，所以该选项不正确.故选：A.【点睛】本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4．已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取，可判断A选项；利用特殊值法可判断BD选项；利用不等式的基本性质可判断C选项.【详解】对于A选项，若，则，A错；对于B选项，取，，，，则，B错；对于C选项，因为，，由不等式的性质可得，C对；对于D选项，取，，，，则，D错.故选：C.5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【分析】应用作商法比较的大小关系即可.【详解】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.6．设，则下列命题是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】D【解析】对于A，B，C通过举反例可判断，对于D，利用不等式的性质可得答案【详解】解：对于A，时，成立，而此时，所A错误；对于B，时，成立，而此时，所以B错误；对于C，若时，，成立，而此时，所以C错误；对于D，由不等式的性质可知此结论正确，故选：D7．下列命题中真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质结合特殊值法即可判断各选择命题的真假.【详解】解：对于A，若，当时，则不成立，故A为假命题；对于B，若，例如，，满足，但是，故B为假命题；对于C，若，，例如，满足，，但，故C为假命题；对于D，若，则，故D为真命题.故选：D.8．如果，那么下列不等式错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质，结合条件分析，即可求出答案.【详解】由不等式性质知，当时，有，，，成立，故选：C.【点睛】本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题.9．设，在下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特殊值法排除部分选项，再用指数函数单调性得到结论.【详解】当时，A，B，C都不正确.因为是指数函数，在上是增函数，故.故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10．若，则下列结论中不恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以，，当时不成立故选：D【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单.11．下列命题中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】D【解析】运用不等式的性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误；选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误；选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误；选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.故选：D.12．若的三边，，的倒数成等差数列，则A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据的三边，，的倒数成等差数列，得出，假设，根据大边对大角以及不等式的性质，得出，与题中矛盾，从而得出.【详解】的三边，，的倒数成等差数列，，假设，则为最大边，，，，，，这与题中矛盾，，故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.13．若a，b是任意实数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由不等式的性质，指数函数、对数函数的性质逐一判断即可.【详解】A选项中，若时，故错误；B选项中，若时，故错误；C选项中，若取，则，，故错误；D选项中，在上单调递减，由得，故正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质和指数函数、对数函数的性质，属于基础题.14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元､70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（

）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【答案】C【分析】根据题意，，，考虑，，，四种情况，计算得到答案.【详解】设软件片，磁盘盒，，则，，.当时，满足条件；当时，满足条件；当时，满足条件；当时，满足条件；故共有7种方案.故选：C.15．已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，可以根据举例判断一些选项的正确性，也要可以根据函数的单调性判断，或者通过作差比较大小来判断.【详解】对于A，由知，不一定成立，故A错误；对于B，由，知，故B错误；对于C，取，，则，C也不一定成立，故C错误；由，知，D项正确.故选：D.16．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件取，，，可排除，，，然后由不等式的基本性质直接判断正确．【详解】，，取，，，可排除，，；由不等式的基本性质知，，故正确．故选：．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了排除法的应用，属基础题．17．下列命题中，是真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案【详解】解：对于A，如果，，那么，故A错误；对于B，易得，所以，所以化简得，故B正确；对于C，如果，，那么，故C错误；对于D，因为满足，那么，故D错误；故选：B18．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于ACD做差后分解因式，对于B直接分解因式，然后根据已知条件判定正负，进而得出相应大小关系，即可判定.【详解】因为，所以，即，故A错误；，故B错误；，即，故C正确；，即，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查不等式的基本性质，作差法比较大小，难点是四项式分解因式，注意要适当两两结合，提取公因式，再进行分解.19．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（

）A．妈妈 B．爸爸 C．一样 D．不确定【答案】B【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解.【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，则，且，，所以，即，所以爸爸的加油方式更合算.故选：B20．若关于x的不等式的解集是，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意得到，求得的表达式，结合，得到，进而判定A、B错误，再根据和，根据不等式的性质，可判断C错误，D正确.【详解】由不等式的解集是，即方程的两个根为和，所以，解得，，又由，则由，即，所以必有，对于A中，且，所以，所以A错误；对于B中，当时，得到，所以B错误；对于C中，当时，，又由，所以C错误；对于D中，当时，可得，又由，所以D正确.故选：D.二、多选题21．已知，，则下列说法正确的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ACD【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果.【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确；对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确；对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确；对于，因为，，所以的取值范围为，故正确；故选：ACD.22．若，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.【详解】对于A,若则,故A不一定成立;对于B,因为,所以,所以,所以,所以B一定成立;对于C,当,所以C不一定成立;对于D,因为,所以,所以D一定成立.故选:BD.23．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是（

）A．xy＞yz B．xy＞xz C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z【答案】ACD【分析】利用不等式的基本性质即可得出结果.【详解】由题意知，，所以，又，所以，得，同理，，即.所以若y=0时，不一定成立；成立；不成立；若时，则不一定成立.故选：ACD24．设，，则下列结论正确的是(

)A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用作差因式分解即可比较各式的正误.【详解】，故A对；，故B对；，故C对；，故D错.故选：ABC.25．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据不等式的性质即可判断.【详解】因为，且，所以，，故，A正确．当时，，B错误．，，C正确．，，D正确．故选：ACD.26．若为实数，则下列命题正确的是（

）A．若则 B．若，则C．若则 D．若，则【答案】BC【解析】由不等式的性质结合作差法逐项判断即可得解.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了不等关系的判断及不等式性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.27．已知，那么下列命题中不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，且，则【答案】BCD【分析】选项A，由条件知，根据不等式性质，结论成立；选项B，c不知是正数还是负数，结论不成立；选项C，根据已知的条件确定a为正数，b为负数；选项D，只能确定a,b同号，但无法确定a，b的大小关系.【详解】A中，由知，所以由不等式性质知，结论成立，故说法正确；B中，当c<0时，结论不成立，故说法不正确；C中，由给出的两个不等式确定a为正数，b为负数，所以结论不成立，故说法不正确.D.根据已知的得不出，若a=-2，b=-1，显然满足已知的条件，但不满足，故说法不正确.故选：BCD【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，以及取倒数的知识，是解答本题的关键所在.28．下列命题是真命题的是（

）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】举出反例可判断AC，利用不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A，若，当时，，故A错误；对于B，若，且，则，所以，所以，故B正确；对于C，若，当时，，故C错误；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：BD.29．下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】利用作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；利用不等式的性质判断选项C；利用列举法判断选项D．【详解】A项，=所以A选项是错误的；B项，若，可得：，故，故B正确；C项，若可得，由可得：，故C正确；D项，举当时，则不成立，故D不正确；故选：BC．30．设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】对于A，取特殊值进行判断；对于B，取特殊值进行判断；对于C，利用作差法比较；对于D，利用作差法比较；【详解】对于A，当时，，但，故A中不等式不一定成立；对于B，当时，，但，故B中不等式不一定成立；对于C，，，故C中不等式恒成立；对于D，，，，又，，故D中不等式恒成立.故选：CD三、填空题31．一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．【答案】【分析】根据已知条件可得出不等式组.【详解】由题意可得．故答案为：．32．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．【答案】a2＜a＜【分析】利用不等式的性质即可求解.【详解】因为a－＝＜0，所以a＜.又因为a－a2＝a(1－a)＞0，所以a＞a2，所以a2＜a＜.故答案为：a2＜a＜33．“”是“”的________条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一项填空.）【答案】充分不必要【解析】由不等式的性质可知，由得，反之代入进行验证，然后根据充分性与必要性的定义进行判断，即可得出所要的答案．【详解】解：由不等式的性质可知，由得，故“”成立可推出“”，而，当，则，所以“”不能保证“”，故“”是“”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要．【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，结合不等式的性质，属于较简单题型．34．_______（用不等号“＜”或“＞”填空）．【答案】＞【解析】利用作差法比较大小即可.【详解】,,故答案为：＞35．比较大小：____．（用，或填空）【答案】【解析】利用作差法比较大小；【详解】解：即故答案为：【点睛】本题考查作差法比较大小，属于基础题.36．下列命题：①；②，；③；④，其中正确的命题个数是__.【答案】2【分析】根据不等式的性质依次判断可得结论.【详解】解：①，∴；不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变.∴①对.②，，当时，不等式不成立，②不对.③；当时，不等式不成立，∴③不对.④，∴④对.正确的是①④.故答案为：2.【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属基础题.37．设实数a，c满足：，，若，则m的取值范围为__________【答案】【分析】结合已知条件利用不等式性质即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，故m的取值范围为.故答案为：.38．一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为______．【答案】【分析】利用“相伴数对”的定义求解.【详解】由题意，得，解得．故答案为：39．已知二次函数，，，，则的取值范围为________.【答案】【分析】用、、表示，然后利用不等式的基本性质可求出的取值范围.【详解】，则，，，，设，即，即，可得，解得，，，所以，，，，，所以，，因此，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用待定系数法求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.40．已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________．【答案】【详解】∵－≤xy≤.∴(x2＋y2)≤x2＋xy＋y2≤(x2＋y2)．又∵1≤x2＋y2≤2.∴≤z≤3.故答案为四、解答题41．如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．【答案】a2＋b2≥2ab.【分析】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，根据大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和即得解.【详解】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，则大正方形的面积为，四个矩形的面积和为，显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，所以所以a2＋b2≥2ab.【点睛】本题主要考查不等关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.42．比较与的大小.【答案】【分析】作差法最为快捷【详解】，【点睛】作差法常用于处理二次以上的整式，化简过程中能约分的尽量约分，有时还需添项凑项43．（1）x与y的和非负，x与y的积不大于6.（2）某工厂生产的产品每件售价为80元，直接生产成本为60元.该工厂每月其他开支为50000元．如果该工厂计划每月至少获得200000元的利润，假定生产的全部产品都能卖出，每月的产量是x件.（3）假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T恤每件36元，运动鞋每双48元，现在你有2400元资金.请分别写出满足上述不等关系的不等式.【答案】（1）（2）（3）（T恤x件，运动鞋y双）【分析】根据题意，写出具体表达式即可，（1）中非负的意思是大于等于零，不大于6的意思是小于等于6.（2）中根据：利润=售价-进价-其他开支，列出关系式（3）中设T恤x件，运动鞋y双，再列出关系式【详解】（1）（2）.（3）设进T恤x件，运动鞋y双，则有【点睛】注意用不等式表示不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，但要注意结论与生活实际相符．44．已知函数，满足，则的取值范围为？【答案】【分析】由条件得，再利用待定系数法表示，根据不等式的性质，即可求解.【详解】由得，，设，则，解得，所以，由，可得所以，则可得.45．求证：.【答案】证明见解析【分析】利用分析法两边平方，即可得到证明；【详解】证明：又.【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，考查逻辑推理能力，属于基础题.46．若，，且，试比较与的大小.【答案】.【分析】利用作差比较法来比较大小，，结合的大小可得.【详解】因为，，且，所以，所以.【点睛】本题主要考查作差比较法比较大小，作差、变形、定号是求解的主要步骤，侧重考查逻辑推理的核心素养.47．已知，，试比较与的大小；【答案】（当且仅当时取等号）【分析】结合不等式的基本性质，应用作商比较进行运算，即可求解，得到答案.【详解】方法一：由题意，因为，，所以，，，所以，当且仅当时等号成立，所以（当且仅当时取等号）.方法二：由，当且仅当时等号成立，所以（当且仅当时取等号）.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作商比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.48．(1)设为实数，比较与的值的大小；(2)设全集为，已知集合，，求；；；.【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）利用作差法与配方法，即可判断两者的大小；（2）先解分式不等式得到集合A，再解二次不等式得到集合，进而利用集合的交并补运算法则及数轴法，即可求得结果.（1）依题意，得，故.