第16讲 重难点拓展：“倍长中线全等模型”三种常见题型解题技巧-新八年级《数学》暑假自学提升讲义（人教版）解析版

第16讲重难点拓展：“倍长中线全等模型”三种常见题型解题技巧题型一：基本型题型二：中点型题型三：中点+平行线型倍长中线原理：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角和对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角，一般用“SAS”证明对应边之间的关系。题型一：基本型【模型解读】在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.；若连结BE，则；若连结EC，则题型二：中点型【模型解读】为的中点证明思路：若延长至点，使得，连结，则;若延长至点，使得，连结，则.题型三：中点+平行线型【模型解读】已知，点为线段的中点证明思路：延长交于点(或交延长线于点)，则.题型归纳题型一：基本型【例1】（2023秋•龙华区校级期中）（1）如图1，是的中线，延长至点，使得，连接；①求证：；②若，，设，则的取值范围是；（2）参考第一问的方法，完成以下问题：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．【分析】（1）①由证明即可；②由全等三角形的性质得，再由三角形的三边关系得，即，即可得出结论；，（2）延长至点，使得，连接，则，同（1）得，则，，再证，得，即可得出结论．【解答】（1）①证明：是的中线，，在和中，，；②解：，，，由①可知，，，在中，，即，，即的取值范围是，故答案为：；（2）证明：如图2，延长至点，使得，连接，则，同（1）得：，，，，，，，，，，在和中，，，，【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形的三边关系，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．【变式1】．（2023秋•绥阳县期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是，位置关系是；【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出，（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论．【解答】解：（1）是的中线，，在和中，，，，，，故答案为：，；（2）如图2，延长到，使，连接，由（1）可知，，，在中，，，即，，即边上的中线的取值范围为；（3），，理由如下：如图3，延长到，使得，连接，由（1）可知，，，，，由（2）可知，，，、，，，，在和中，，，，，，，，，，．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．【变式2】．（2022秋•阿尔山市期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到的理由是．．．．．（2）求得的取值范围是．．．．．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：．【分析】（1）根据，，推出和全等即可；（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．【解答】（1）解：在和中，，故选；（2）解：由（1）知：，，，在中，，由三角形三边关系定理得：，，故选．（3）证明：延长到，使，连接，是中线，，在和中，，，，，，，，即．【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．【变式3】【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．A．

B．

C．

D．(2)探究得出的取值范围___________．A．

B．

C．

D．【问题解决】(3)如图2，在中，，，是的中线，求证：．【答案】(1)B(2)C(3)见解析【分析】（1）根据，，推出和全等即可，据此即可判定；（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；（3）延长到F，使，连接，证明，得出，，证明，得出，证明即可．【详解】（1）解：是中线，，在与中，，故选：B；（2）解：由知：，，，由三角形三边之间的关系可得：，即，解得：，故选：C；（3）证明：延长到F，使，连接，如图所示：是中线，，在与中，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵在和中，∴，∴，∴．题型二：中点型【例2】（2023秋•四会市校级期中）（1）在中，若，，求边上的中线的取值范围．（2）在中，是的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：．【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，再由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围；（2）延长至，使，连接、，同（1）得，则，再由三角形的三边关系得，则，然后由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论．【解答】（1）解：如图1，延长至，使，连接，，是边上的中线，，在和中，，，，在中，由三角形的三边关系得：，，即，；即边上的中线的取值范围是；（2）证明：如图2，延长至，使，连接、，同（1）得：，，在中，由三角形的三边关系得：，，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系等知识，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式1】．（2023秋•利川市校级月考）如图，，，，．（1）如图1，、、之间的数量关系为；（2）如图2，点为的中点，连接．①求证：．②判断与的位置关系，并说明理由．【分析】（1）证明，则可得出结论；（2）①延长至，使，连接，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；②延长交于点，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论．【解答】（1）解：，，，，，，故答案为：；（2）①证明：延长至，使，连接，为的中点，，，，，，，，，，，，，又，，，；②解：，延长交于点，，，，，，，，．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键．【变式2】（2022秋•梅里斯区期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点是的中点，点在上，且．求证：．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长到点，使，连接；②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【分析】（1）①如图1，延长到点，使，连接，先判断出，进而判断出，得出，，再判断出，即可得出结论；②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，，先判断出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论；（2）如图3，过点作，交的延长线于点，先判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论．【解答】证明：（1）①如图1，延长到点，使，连接，点是的中点，，在和中，，，，，，，，；②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，，，点是的中点，，在和中，，，，在和中，，，；（2）如图3，过点作，交的延长线于点，则，是中点，，在和中，，，，，，，，．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．【变式3】（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；（2）探究应用：如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）；（2），理由见详解；（3），理由见详解【分析】（1）运用倍长中线的方法，三角形三边的数量关系即可求解；（2）如图②，延长至点，使，连接、，可证，可得，在，根据三角形三边的数量关系即可求解；（3）如图③，延长，交于点，可证，可得，根据角平分，平行线的性质可得是等腰三角形，根据即可求解．【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接，是的中点，，在和中，，，，在中，，，，且，，故答案为：；（2），理由如下：如图②，延长至点，使，连接、，

同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三边关系得：，；（3），理由如下：如图③，延长，交于点，

，，在和中，，，，是的平分线，，，即是等腰三角形，，，．题型三：中点+平行线型【例3】如图，已知是的中线，点在上，连接，过点作交的延长线于点，求证：．【分析】根据三角形的中线定义可得，再利用平行线的性质可得，，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：是的中线，，，，，在和中，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线线段中点构造全等模型是解题的关键．【变式1】如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．求证：．【答案】详见解析【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.【详解】证明：延长FD至G，使，连结CG，∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，，∴，，，，又，，，.【变式2】（2023秋•东莞市校级期末）中，是边上的一点，过作直线交于，交的延长线于，且，，（1）求证：；（2）若，求证：．【分析】（1）由平行线的性质得出，由证明即可；（2）由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，证出，即可得出结论．【解答】（1）证明：，，在和中，，；（2）证明：由（1）得：，，，，，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．【变式3】如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．（1）求证：．（2）求证：．（3）连接，垂直平分吗？说明理由．【分析】（1）根据证明三角形全等即可．（2）根据等角对等边解决问题．（3）利用等腰三角形是三线合一的性质证明即可．【解答】（1）证明：，，在和中，，．（2）证明：，，，，．（3）解：结论：垂直平分线段．理由：，，，，垂直平分线段．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段长垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．过关检测1．如图，为中线，点在上，交于点，．求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．延长至点，使，连接．结合题意可证明，得到，．由，可得，结合，得到，即可求解．【详解】解：如图，延长至点，使，连接．为的中线，．在和中，，，，．，．，，，．2．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料：【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是．请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明．(2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．【答案】(1)；，证明见解析；(2)是的“旋补中线”，证明见解析【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围；探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论；（2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”．【详解】（1）解：材料：由题意得：，，，由三角形三边关系可得：，即，∴，故答案为：；探索一：；证明：如图1，延长至点E使，连接，

∵是的“旋补中线”，∴是的中线，即，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵是的“旋补中线”，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．（2）是的“旋补中线”；证明：如图，作于H，作交延长线于F，

∵，∴，∴，∵，即，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴是的中线，∴是的“旋补中线”．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案；（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；（3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2），理由如下：延长至点M，使，连接，如图②所示．同（1）得：，∴，∵，∴，在中，由三角形的三边关系得：，∴；（3），理由如下：如图③，延长交于点G，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分线，∴∴，∴，∵，∴．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．4．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）已知中，(1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是．(2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．(3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【分析】（1）通过证明，即可求解；（2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解；（3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决．【详解】（1）解：∵点E为的中点，∴，在和中，，∴，∴，故答案为：；（2）证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，连接．∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，同理可得：，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等