预备知识06 等式性质与不等式性质（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题06预备知识六：等式性质与不等式性质1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．知识点一：不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言知识点二：实数大小的比较1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.2、作差法比大小：①；②；③3、不等式性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变知识点三：不等式的探究一般地，，有，当且仅当时，等号成立.知识点四：不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意c的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性a，b同为正数对点特训一：比较两个代数式的大小角度1：由不等式比较数（式）的大小典型例题例题1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数、满足，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．例题2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·期中）如果，那么下面结论一定成立的是（

）A． B． C． D．例题3．（多选）（23-24高一上·广东·期末）下列命题是真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则精练1．（2024高二下·山东）已知，则下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．3．（多选）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．角度2：利用作差法比较大小典型例题例题1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，则、的大小关系是（

）A． B． C． D．不能确定例题2．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．无法确定例题3．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．无法确定精练1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：.3．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.角度3：利用作商法比较大小典型例题例题1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则（填入“＞”或“＜”）．例题2．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小.精练1．（2024高一·上海·专题练习），则的大小关系为．2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小3．（23-24高一·全国·课后作业）若，求证：．对点特训二：利用不等式的性质证明不等式典型例题例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）（1）比较与的大小．（2）已知，求证：；例题2．（23-24高一上·宁夏·阶段练习）（1）比较下列两个代数式的大小：与；（2）若，，求证：.精练1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若，，求证：.2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知，求证：；(2)已知，求证：.对点特训三：利用不等式的性质求取值范围典型例题例题1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．（2024高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是.例题3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知，求证：；（2）已知，求的取值范围；（3）已知，求的取值范围．精练1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是，的取值范围是.3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为.一．单选题1．（23-24高二下·上海·期中）已知，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题为真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么6．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（

）A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较8．（2024高三·全国·专题练习）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（23-24高一下·海南·阶段练习）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（

）A．如果，，那么B．如果，那么C．若，，则D．如果，，，那么三、填空题11．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为．12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知