圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章

直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程复习引入回顾园的标准方程思考：凡是x²+y²+Dx+Ey+F=0

这样的方程表示的都是圆吗?把圆的标准方程(x-

a)²+(v-b)²=r²

试，看看什么样的?课堂探究展开试例题解析例1.判断下面两个方程是否表示圆：十y

-2x+4y+1=04y+5=0

4y+6=0满足什么条件，才能表示圆呢?D2+E2-4F>0时，表示圆，

D²+E2-4F=0表示一个点

我们把D2+E2-4F叫圆的判别式，仍然记作△=D2+E2-4F。问题：方

程x²+y2+Dx+Ey+F=0x²+y²+Dx+Ey+F=0D2+E2-

4F<0没有意义了，表示虚圆。课

重

探

究方程条件图形不表示任何图形=0表示一个点表示以只以

半径的圆李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03课堂探究李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03例2

求过三点0(0,0),M₁(1,1),M₂(4,2)

的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.例题解析所以，所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径李

老

师

寄

语：

每

天

努

力

一点点

和

每

天

放

松

一

点

点

的

区

别

如

→

1

.

0

1

3

6

5

=

3

7

.

8

0.99365=0.03解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因

为

0

,M₁

,M₂

三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,对比昨日标准方程待

定系数法求方程的区别优劣?例2求过三点0(0,0),M₁(1,1),M₂(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.例

题

解

析得所以，所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因

为

0

,M₁

,M₂

三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,对比昨日标准方程待

定系数法求方程的区别优劣?例2求过三点0(0,0),M₁(1,1),M₂(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.例

题

解

析得例题解析求圆的方程常用待定系数法的步骤(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r

或

D,E,F

的方程组；(3)解出a,b,r

或

D,E,F,

得到标准方程或一般方程.例3已知线段AB

的端点B的坐标是(4,3),端点A

在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB

的中点M的轨迹方程.例

题

解

析解：如图，设点M

的坐标是(x,y),

点

A

的坐标是(x₀

,y₀

).由

于

点B的坐标是(4,3),且M

是

线

段AB

的

中

点

，所以

.于是有x。=2x-4,yo=2y-3.①,因为点

A

在圆(x+1)²+y²=4上运动，所以点A

的坐标满足圆的方程，即(x₀+1)²+y²=4.②

→?把①代入②得(2x-4+1)²+(2y-3)²=

4,整

理这就是点M的轨迹方程，它表示

为圆心，半径为1的圆

.例

题

解

析[规律方法]求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程.2.代入法：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程.李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03例题解析相关点法1.

已知圆(x+1)²+y²=2

上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,

求动点M

的轨迹方程李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03练习巩固由中点坐标公式李

老

师

寄

语：

每

天

努

力

一点点

和

每

天

放

松

一

点

点

的

区

别

如

→

1

.

0

1

3

6

5

=

3

7

.

80.99365=0.03相关点法1.已

知圆(x+1)²+y²=2

上动点A,x

轴上定点B(2,0),将

BA

延长到M,

使AM=BA,

求动点M

的轨迹方程

.[解析]

设A(x₁,y₁),M(x,y),∵AM=BA,∴A为线段MB的中点，练

习

巩

固且

M

在

BA的延长线上，相关点法1.

已知圆(x+1)²+y²=2

上动点A,x

轴上定点B(2,0),将

BA

延长到M,使

AM=BA,

求动点M

的轨迹方程2,化简得(x+4)²+y²=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)²+y²=8.∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，练

习

巩

固2.已知点P

在圆C:x²+y²-8x-6y+21=0

段OP

的中点M

的轨迹方程

.练习巩固上运动，求线∵点P(x₀,y₀)在圆C:x²+y²—8x—6y+21=0

上

，∴x²+y2—8x₀—6y₀+21=0.∴(2x)²+(2y)²-8×(2x)—6×(2y)+21=0.上运动，求线段OP的中点M

的轨迹方程.点

则2.已知点P在圆C:x²+y²-8x-6y+21=0[解析]解

法

一：

设

点M(x,y),练

习

巩

固即点M

的轨迹方程为。2.已知点P在圆C:x²+y²-8x-6y+21=0

上运动，求线段OP

的中点M的轨迹方程.解法二：设点M的坐标为(x,y),

连

接OC

、PC,

取线段OC的中点A,连接MA.圆C的方程可化为(x-4)²+(y-3)²=4,

圆

心C(4,3),|CP|=2.则

点A

的坐标为练

习

巩

固2.已知点P

在圆C:x²+y²-8x-6y+21=0

上运动，求线段OP的中点M

的轨迹方程如图，在△OCP