椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章

圆锥曲线的方程3.1

椭圆3.1.1

椭圆及其标准方程学

习

目

标核

心

素

养1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点)习，培养学生的数学运算素养

.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.(难点

)2.借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想

象的核心素养.情境引入·助学助教2008年9月25日21时10分，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人飞行和出舱活动，标志着我国航天事业又上了一个新台

阶.请问，“神舟七号”飞船的运行轨道是什么?下面请你固定两个图钉，拉一根无弹性的细绳，两端系在图钉上(如图),用铅笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭

圆?一

新知初探一1.

椭圆的定义把平面内与两个定点F₁

,F₂的距离的和等于常数(大于F₁F₂

I)

的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离

叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.数，其他条件不变，点的轨迹是什么?(2)椭圆定义中将“大于|F₁F₂

l”改为“小于

F|₁F₂

I”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么?[提示](1)点的轨迹是线段F₁F₂.(2)当距离之和小于|F₁F₂|时，动点的轨迹不存在.思考：(1)椭圆定义中将“大于|F₁F₂

l”改为“等于|F₁F₂

l”的常焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点,

c的关系2.

椭圆的标准方程

初试身手一1.

思考辨析(正确的打“

√

”,错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆.()(2)已知椭圆的焦点是

F₁

,F₂

,P是椭圆上的一动点，如果延长F₁P到

Q,使得|PQ|=|PF₂|,

则动点Q的轨迹为圆.(

)(3)方

,b>0)

表示的曲线是椭圆.(

)[提示]

(1)×(2)

√

(3)×2

.

设P

是椭圆则|PF₁|+|PF₂|等于(

)A.4C.8D

[由椭圆方程知a²=25,B.5D.10则a=5,|PF₁|+|PF₂|=2a=10.]上的点，若F₁,F₂

是椭圆的两个焦点，3.

椭圆的两个焦点坐标分别为

F₁(0,—8),F₂(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为()A.C

[由条件知，焦点在y轴上，且a=10,c=8,所以b²=a²—c²=36,所以椭圆的标准方程范围是

(-6,一2)U(3,十一)[由a²>a+6>0得a>3或-6<a

<

一2.]4

.

方

表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a

的取值【

例

1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F₁(一4,0),F₂(4,0),

并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10;(2)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3

√2);(3)经过两点(2,一

√2),类

型

1

求椭圆的标准方程[解](1)因为椭圆的焦点在x

轴上，且c=4,2a=10,

所以a=5,b=√a²-c²=√25-

16=3,

所以椭圆的标准方程(2)因为椭圆的焦点在y

轴上，所以可设它的标准方程1(a>b>0).

法一：由椭圆的定义知2a=

√

(4-0)²+(3√2+2)²+

√

(4-0)²+(3

√2-2)²=12,解得a=6.又c=2,所以b=√a²-c²=4√2.所以椭圆的标准方程法二：因为所求椭圆过点(4,3

√2),所又c²=a²—b²=4,

可解得a²=36,b²=32.所以椭圆的标准方程>0).由已知条件得(3)法一：若焦点在x

轴上，设椭圆的标准方程所以所求椭圆的标准方程解若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程由已知条件得

解

则a²<b²,

与a>b>0矛盾，舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程别将两点的坐标(2,-

√2),

代入椭圆的一般方程，得法二：设椭圆的一般方程为分所以所求椭圆的标准方程解用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x

轴上，还是在y

轴上，还是两个坐标轴都有可能.(2)设方程：根据上述判断设方

b>0)

或整式形式mx²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n).●

规律方法(3)找关系：根据已知条件建立关于

a,b,c(或m,n)

的方程组.(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求.规律方法准方程.[解]

法一：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c²=25—9=16.设所求椭圆的标准方程[跟进训练]1.

求与椭圆有相同焦点，且过点(3,

√

15)的椭圆的标因为c²=16,且c²=a²—b²,故a²—b²=16又点(3,

√

15)在所求椭圆上，所!由①②得a²=36,b²=20,所以所求椭圆的标准方程①.②.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程又椭圆过点(3,

√

15),将x=3,y=√

15代入方程1,解得λ=11或λ=—21(舍去).故所求椭圆的标准方程

类

型2

椭圆中的焦点三角形

【例2】

(1)已知椭[

的左焦点是F₁,右焦点是F₂,点P

在椭圆上，如果线段PF₁的中点在y

轴上，那么|PF₁|:|PF₂

I=(

)A.3:5B.3:4C.5:3D.4:3(2)已知椭中，点P

是椭圆上一点，F₁,F₂是椭圆的焦点，且∠PF₁F,=120°,则△PF₁F,

的面积为

[思路探究]

(1)借助PF₁

的中点在y轴上，且O为

F₁F₂的中点，所以PF₂⊥x

轴，再用定义和勾股定理解决.(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF₁

|,|PF₂|的方程，通过解方程求解.(1)C(2)

[(1)依题意知，线段

PF₁的中点在y

轴上，又原点为F₁F₂

的中点，易得y轴//PF₂,所以PF₂⊥x轴，则有|PF₁²一PF₂l²=4c²=16,又根据椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|=8,所以|PF₁|-|PF₂=2,从而|PF₁|=5,|PF₂|=3,即|PF₁|:|PF₂|=5:3.F₁F₂|=2c=2.在△PF₁F₂中，由余弦定理得

|PF₂²=

|PF₁²+|F₁F₂²—

2|PF₁|F₁F₂|cos

∠PF₁F₂,即|PF₂²=|PF₁²+4+2|PF₁|.

①由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂

|=2a=4.

②由①②联立可得

可知a=2,b=

√3,所以c=

√a²-b²=1,从而(2)由椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF₁|+|MF₂|=2则

点M

的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF₁|,|PF₂|看作一个整体，运用PF₁²+|PF₂l²=(PF₁|+|PF₂|)²—2|PF₁||PF₂|及余弦定理求出|PF₁||PF₂|,而无需单独求解.

●规

律

方

法[

母题探究]1.本例(2)中，把“∠PF₁F₂=120°”改为“∠PF₁F₂=90°”,求△F₁PF₂

的面积

.[解]由椭圆方

知a=2,c=1,由椭圆定义，得+PF₂|=2a=4,且F₁F₂|=2,在△PF₁F₂

中，∠PF₁F₂=90°

..1从而(4—+4,则

因此·F₁F₂

l故所求△PF₁F₂

的面积为

2.本例(2)中方程改为且“∠PF₁F₂=120°”改为“∠F₁PF₂=120°”,若△PF₁F₂

的面积为

√

3,求b的值.[解]

由∠F₁PF₂=120°,△PF₁F₂

的面积为

√

3,可得的定义可得

a.再利用余弦定理可得.根据椭圆)=1.[探究问题]1.用定义法求椭圆的方程应注意什么?[提示]用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原

点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a,b,c.

类

型

3与椭圆有关的轨迹问题上动点坐标为P(x₁,y₁).(2)求关系式：用点

M

的坐标表示出点

P

的坐标，即得关系式2.利用代入法求轨迹方程的步骤是什么?[提示]

(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x,y),已知曲线(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.则线段OP中点Q的轨迹方程为

(2)如图所示，圆C:(x+1)²+y²=25及点A(1,0),Q

为圆上一点，【例3】

(1)已知P

是椭圆上一动点，O

为坐标原点，AQ的垂直平分线交CQ于点M,求

点M的轨迹方程.[思路探究]

(1)点Q

为

OP

的中点

→

点Q

与点P

的坐标关系

→代入法求解.(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解.[设Q(x,y),P(x₀,yo),由点Q是线段OP

的中点所!知xo=2x,yo=2y,即(2)[解]由垂直平分线的性质可知|MQ|=|MA|,∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|,∴|CM|+|MA|=5.∴点M的轨迹为椭圆，其中2a=5,焦点为C(—1,0),A(1,0),,c=1

,∴所求点M的轨迹方程··重事规律方法

1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法.2.对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法.规律方法

3.代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点

P(x,y)与另一个已知曲线

C:F(x,y)=0上的动点Q(x₁,y₁)存在着某种联系，可以把点Q

的坐标用点P

的

坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程

F(x,y)=0,

化简即得所

求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).2.已

知x

轴上一定点A(1,0),Q为椭圆上任一点，求线

段AQ

中点M

的轨迹方程.[跟进训练][解]设中点M的坐标为(x,y),点

Q的坐标为(xo,yo).利用中点坐标公式，故所求AQ的中点M的轨迹方程将xo=2x—1,yo=2y

代入上式，上，∴∵Q(xo,yo)在椭事必备素养一1.平面内到两定点

F₁,F₂

的距离之和为常数，即|MF₁|+|MF₂|=2a,

当2a>|F₁F₂|

时，轨迹是椭圆；当2a=|F₁F₂|

时，轨迹是一条线段F₁F₂;当2a<|F₁F₂|

时，轨迹不存在.2.由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围).(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定

a²,b²的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式

a²

=b²+c²求出c,

即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方

当

m>n>0时，方程表示焦点在x

轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y

轴上的椭圆.特别地，当

n=m>0时，方程

表示圆心在原点的圆.若已知方程不是标准方程，需先进行转化.3.椭圆上的点P与两焦点F₁

,F₂构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F₁PF₂=θ,如图

.(1)当点P

与B₁

或B₂

重合时，∠F₁PF₂最大.(2)焦点△PF₁F₂

的周长为2(a+c).(3)|F₁F₂I²=|PF₁²+|PF₂P²-2|PF₁|PF₂|cos

θ.4

,且当P

与B₁

或B₂

重合时，面积最大.4.求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点法).1

.

椭

上一点P

到一个焦点的距离为2,则点