抛物线的简单几何性质课时优化训练-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质一、单选题1．抛物线上一点M到焦点的距离为，则M到y轴距离为A． B． C． D．2．对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为3．抛物线：（）的顶点为，斜率为1的直线过点，且与抛物线交于，两点，若的面积为，则该抛物线的准线方程为（

）A． B．C． D．4．已知直线与抛物线：的图象相切，则的焦点坐标为（

）A． B． C． D．5．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若线段的中点的横坐标为3，则线段的长度为(

)A．6 B．8C．10 D．127．设为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．48．已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（

）A．8 B．12 C． D．二、多选题9．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．10．若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值可以为（）A． B．0 C．8 D．-811．已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（

）A．或B．圆与抛物线的准线相切C．在抛物线上存在关于直线对称的两点D．线段的垂直平分线与抛物线交于，则有三、填空题12．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为．13．已知定点，直线，记过点且与直线相切的圆的圆心为点.则动点的轨迹方程为．14．直线与抛物线交于A，B两点，则=．15．已知抛物线Γ：的焦点为，点K在Γ上且在第一象限，直线FK与Γ的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与Γ交于点H，若，则.四、解答题16．已知直线：与抛物线：恒有两个交点．(1)求的取值范围；(2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度．17．已知圆的圆心是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．18．已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线C：交于A，B（A，B异于点O）两点，且以AB为直径的圆过点O．(1)求C的方程；(2)已知M，N，P是C上的三点，若△MNP为正三角形，Q为△MNP的中心，求直线OQ斜率的最大值．参考答案：1．A【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知，则M到准线的距离也为，即点M的横坐标，进而求出x．【解析】抛物线，抛物线的准线方程为，设，由抛物线定义可知，，∴.故选：A.2．A【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.【解析】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.3．A【分析】直线方程为，联立，得到两根之和，两根之积，表达出和点到直线的距离，从而表达出，列出方程，求出，得到准线方程.【解析】由题意得，直线方程为，联立得，，设，则，故，点到直线的距离为，故，故，解得，故该抛物线的准线方程为.故选：A4．C【分析】联立直线与抛物线方程，利用相切有求得，从而得解.【解析】依题意，联立，消去，得，则，因为，所以，故抛物线方程为，则其焦点坐标为.故选：C.5．C【分析】如图所示，由题得，利用抛物线焦半径公式即得解.【解析】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.过点A作AM垂直于准线于点M，过点B作BN垂直于准线于点N，

由抛物线定义可知，，∴.故选：C6．B【分析】利用抛物线方程求得，进而利用抛物线上的点到焦点的距离和到准线距离相等的性质表示用两个点的横坐标表示出的长度,利用线段的中点的横坐标求得两点撗坐标的和，最后求得结论.【解析】由抛物线的方程可得，设，由中点坐标公式得，由抛物线定义得.故选:B.7．C【分析】设直线的方程为：，设，直曲联立，借助韦达定理计算，即可求的值.【解析】由题意，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：，设，由得，，故，从而，解得.故选：C.8．C【分析】过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，进而根据几何关系得为等边三角形，，再计算面积即可.【解析】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，所以，，．因为，所以，，．所以，．又因为，所以，所以为等边三角形，所以．若在第三象限，结果相同．故选：C9．AB【分析】分别求出选项中各抛物线的焦点坐标，代入直线检验即可得结果.【解析】对于A，抛物线开口向右，焦点坐标为，在直线上；对于B，抛物线开口向下，焦点坐标为，在直线上；对于C，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上；对于D，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上；故选：AB.10．AB【分析】联立直线与抛物线方程，分与，结合根的判别式得到方程，求出答案.【解析】联立与得，，若，直线与抛物线只有一个交点，满足要求，若，则，所以，综上可知或.故选：AB11．BD【分析】选项B分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为画出图形，结合已知条件分析即可；选项A利用选项B分析的结论即可得选项；选项CD利用直线与抛物线的位置关系联立方程组，利用韦达定理及弦长公式及其他选择即可解决.【解析】分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为由于直线过焦点到准线的距离:，故以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确．由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，有，，故A不正确．过焦点，，直线的方程是，假设抛物线上存在两点，关于直线对称，且设直线的方程是：，代入中，得，所以，，所以的中点为，又在直线上，，因为中，直线不存在．C不正确．对于D，直线的方程为：，代入，得由韦达定理得，．，，故D正确．故选：BD.12．25【分析】利用抛物线的性质，结合三角形面积公式即可解决本题.【解析】设抛物线的焦点到准线的距离为，则由题意，是抛物线的通径，，所以.从而P到直线l的距离也是5，所以的面积为.故答案为：2513．【分析】设已知圆的圆心为，根据题意，得到，其中d为点C到直线l的距离，结合抛物线的定义，即可求解.【解析】设已知圆的圆心为，因为过点的圆与直线相切，可得，其中d为点C到直线l的距离，所以的轨迹是以原点为顶点，为焦点，为准线的抛物线，所以可设动点的轨迹方程为，由已知，所以所求动圆圆心的轨迹方程为．故答案为：．14．16【分析】联立直线与抛物线方程，利用两点距离公式计算即可.【解析】联立方程解得或，不妨令，则，即．故答案为：1615．4【分析】过点K作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义，结合题意可得为等边三角形，进而求解即可.【解析】因为抛物线Γ：的焦点为，所以，解得.过点K作准线的垂线，垂足为，则.因为，所以点F为线段MK的中点，所以，又MH与x轴平行，所以.由抛物线的定义知，所以为等边三角形，所以.故答案为：4.16．(1)(2)8【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立消元后，根据判别式大于零得到不等式恒成立，运用数形结合法即得.(2)根据的值确定抛物线方程，两方程联立后再运用焦点弦公式即得.【解析】（1）将直线与抛物线方程联立，得，又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以其判别式对恒成立，故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为.（2）由题，当时，：，由过焦点得；，所以抛物线：．将直线与抛物线方程联立，并令，，得，，由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，故．17．(1)(2)【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程；（2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程.【解析】（1）圆的方程可化为，故圆心的坐标为．设抛物线的方程为()，所以，所以，所以抛物线的方程为．（2）设，，则两式相减，得，即，所以直线的斜率．因为点是的中点，所以，所以．所以直线的方程为，即．18．(1)的方程为.(2)斜率的最大值为.【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由，转化，即代入计算，即可得到抛物线方程；（2）分有一边斜率不存在与三边的斜率都存在讨论，分别表示出，结合，代入计算，结合基本不等式即可得到直线斜率的最大值.【解析】（1）设，，（显然斜率不能为0）设，联立方程消元整理得：，则，.因为以为直径的圆过点，所以，，则，即，解得，所以，解得，所以的方程为.（2）设，，.不妨设，，按逆时