高中数学竞赛讲义五

高中数学竞赛讲义（五）

■数列

一、基础知识

定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1,2,3,…，n,….数列分有

穷数列和无穷数列两种，数列｛a｝的一般形式通常记作句，曲微,•♦•,品或血血

a”…，a.…。其中以叫做数列的首项，a“是关于〃的具体表达式，称为数列的通

项。

定理1若S”表示｛&,｝的前〃项和，则Si=a,当〃>1时，aK.-Sz.

定义2等差数列，如果对任意的正整数〃，都有a.「a,=d（常数），则｛4｝

称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2左a+c,则称，

为a和c的等差中项，若公差为d,则炉6d,c=Md.

定理2等差数列的性质：1）通项公式a〃=&+（kl）d；2）前〃项和公式：

S„=22；3）a〃-4=3m）d,其中“，m为正整数；4）若

n+m=p^-q,则a.+a^ao+a。；5）对任意正整数0，q,恒有%-a产（厂。⑵-4）；6）

若46至少有一个不为零，则｛2｝是等差数列的充要条件是S炉加②+劭.

_q

定义3等比数列，若对任意的正整数77,都有4,则｛4｝称为等比数

列，q叫做公比。

定理3等比数列的性质：1）&,=团u；2）前〃项和S”，当好1时，

4。7'）

S„=1一。；当片1时，S"=g；3）如果a,b,c成等比数列，即舔=a<?（0?=0）,

则8叫做a,c的等比中项；4）若m+吃次仍则4a，尸

定义4极限，给定数列｛a｝和实数儿若对任意的产〉0,存在M,对任意的

A〉M（A£加，都有14Tly则称力为“一+8时数列｛&,）的极限，记作=4

定义5无穷递缩等比数列，若等比数列｛4｝的公比g满足|引＜1,则称之为

,

无穷递增等比数列，其前〃项和S”的极限（即其所有项的和）为…（由极限

的定义可得）。

定理3第一数学归纳法：给定命题0（血，若：（1）0（加）成立；（2）当

0（77）时上在成立时能推出夕（〃）对上A+1成立，则由（1）,（2）可得命题0（〃）

对一切自然数772Ao成立。

竞赛常用定理

定理4第二数学归纳法：给定命题0（血，若：（1）0（加）成立；（2）当

夕（〃）对一切〃＜女的自然数〃都成立时（尾外）可推出夕（4+1）成立，则由（1）,

（2）可得命题0（〃）对一切自然数成立。

定理5对于齐次二阶线性递归数列％=axg+8%2,设它的特征方程*=ax+8

的两个根为a,B：⑴若a事B,则x〃=Cia叫QB"其中a,C2由初始条件X,及

的值确定；⑵若a=B,则须=（。加心）a-其中a,◎的值由为，莅的值确定。

二、方法与例题

1.不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更••般的规律，当然结论未必都是正确

的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊一猜想一数学

归纳法证明。

例1试给出以下儿个数列的通项(不要求证明)；1)0,3,8,15,24,

35,…；2)1,5,19,65,…；3)-1,0,3,8,15,…。

,,

【解】1)a=z?2-l；2)a„=3-2;3)a,=rT~2n.

例2已知数列｛a〃｝满足a[=二，ai+a?+…+4=〃喝”，求通项a”.

【解】因为国=二，又a｛+a2=2-•a2,

_Li

所以az=3x2,a3=3'-l3x4,猜想(Gl).

1

证明；1)当炉1时，a尸布，猜想正确。2)假设当时猜想成立。

当ZFA+1时,由归纳假设及题设，a+&+♦••+4=[U+1),-I]小，

_L+_Li

所以2x13x2

—L_

即223k*4-l=A(A+2)aw,

kI

所以萩7=履代2)如，所以a*(t+1X*4-2)

由数学归纳法可得猜想成立，所以小+D

例3设O〈a〈l,数列｛a〃｝满足a〃=l+a,a,i=a+，，求证：对任意/?e”,有

a）1.

【证明】证明更强的结论：l〈a〃Wl+a.

1）当炉1时，l〈为=l+a,①式成立；

2）假设上A时，①式成立，即则当上代1时，有

l+-a+-aal+a

l+a>aJ+q-L---------->------

M.l+al+al+o

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2.迭代法。

数列的通项&或前〃项和S“中的〃通常是对任意成立，因此可将其中

的〃换成加1或等，这种办法通常称迭代或递推。

例4数歹U｛a,,｝满足a〃+/?ag+qa,H=0,g3,行0,求证：存在常数c,使得

4+R»i•a.+E+=・=d

【证明】“工(pa-i+a,/)+9a^=&吟•(-^,,)+^*1=

Q(4u-Wrf)=+a”(pq/i+qa)1=q++9^>).

若4+f■+W；=0,则对任意n,4—+屑=0,取c=0即可.

若£+「■,+fl«?wo,则｛dL+frtt+e：｝是首项为%+k,

公式为q的等比数列。

所以aU+WHrtt+EnH+F.+荷)•/.

2

取c=-(©+「■•+w3.孑即可.

综上，结论成立。

例5已知a=0,a.尸5a六办W,求证：4都是整数，n^N-

【证明】因为a=0,a2=l,所以由题设知当时aQa”.

又由%=5a+企4W+1移项、平方得

C「3/j+WT=d①

当〃22时，把①式中的〃换成/rl得W-IO-j+e*-/。，即

②

因为aKae,所以①式和②式说明a『1,a,”是方程T=0的两个

不等根。由韦达定理得外叶ai=10a〃(A22).

再由4=0,a?=l及③式可知，当时，当都是整数。

3.数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

[

例6已知aa=4・+2-(/7=1,2,…)，求S99=&+a2+…+丽

112x*+4,+L1

【解】因为a〃+a*=*+2*+4**+2*=4・x2+2"°(4,+4**)一产,

、19999

所以立也—)言尹=尹

s=_!_+_?—_!—.

例7求和：1x2x32x3x4+­+X'»+W«-«-2)

1*4-2-*

【解】一般地，M*+D(*+2)就。+咐+2)

4(fc4-1)(*4-2)1

I

所以S=NM*+D(*+2)

=1J____i_+J______________________[

-2Ux22x32x33x4W+D(*+00*+2)

111

=5|_510+姓+4.

42(*+g+2)

例8已知数列｛aj满足a尸包=1,a,^2=a,M+an,S〃为数列的前〃项和,

求证：S„<2o

【证明】由递推公式可知，数列｛a｝前几项为1,1,2,3,5,8,130

23.5.8

电一+-r+F+=+-T+-7+…+

22J2s2*2，2*2T

因为①

所以*=宝玲玲i*氤

4②

由①②得扣/"(9A词告

所以2'2472”

又因为Sk2〈S.且声>0,

所以224S„,所以4'2,

所以S,,<2,得证。

4.特征方程法。

例9已知数列｛a〃｝满足a=3,a2=6,/2=4向-4%，求a〃.

【解】由特征方程必=4『4得及=尼=2.

13=a+R

故设a〃=(a+B〃)・2-其中16=(。+2^x2,

所以a=3,3=0,

所以a/3・2T.

例10已知数列EJ满足ai=3,a2=6,am2=2a»j+3a〃，求通项a,”

【解】由特征方程步=2户3得为=3,x2=~l,

\3=3a-fl

所以a,,=a・3〃+B•(-1)。其中16=痴+广，

33

解得a==,p="4,

4ML+(-产

所以A•3]o

5.构造等差或等比数列。

例11正数列a。,团，…，当,…满足笄匚一石二瓦^=2垢（〃22）且

4=当=1,求通项。

【解】由

即舟『俯q

令+1,则｛4｝是首项为+1=2,公比为2的等比数列,

所以+1=2",所以〜=(2-1)之,

■J%flC2*-D<

所以&尸/•一■>•,■ao=JUi

11G=

注：*-*lG•Ci....C„.

■+2

例12已知数列｛照｝满足为=2,X„H=2、,nJN.,求通项。

/+2/+2

【解】考虑函数f(x)=2x的不动点，由2x=*得产士企.

一十2

因为x=2,X.尸2。，可知｛%,｝的每项均为正数。

又噌+2巳2或。，所以力(〃21)。又

±L1-4Z&_曰

XH-£=2。=2。，①

U+2]厄&+份

心+我=20=2专，②

。"一.=卜・一"]

由①+②得或|_。+拆。

q”+1③

又4+忘＞0,

器)0且d言言］

由③可知对任意nRN、,

所jfe制是首项为4总］

公比为2的等比数列。

Q+衣尸4~(2一质尸

解得，=企•(2+画--(2-心尸。

注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。

三、基础训练题

1.数列｛羽｝满足为=2,X„H=S"+(加1),其中S,,为｛%｝前〃项和，当心2时,

x萨.

I.

2.数歹U｛x〃｝满足为=二，％”产3'+2,则｛%,｝的通项所.

1

3.数歹H｝满足*尸1,乂=2i+Zzrl(z?22),则｛*“｝的通项与尸.

4.等差数列｛列满足3a=5&,且&>0,S.为前〃项之和，则当S〃最大时,

n=.

5.等比数列比｝前〃项之和记为，，若Si°=10,S3O=7O,则S”=.

6.数列｛%,｝满足项H=X0-X,T(〃22),Xi=a,x2=b,5〃=由+至+…+x”，贝U

S1oo=-

2

7.数列｛a„｝中,S„=a,+a2+--•+a„=/7-4/7+l则|&|+1及I+…+1a。1=.

8.若。+1叼+3勺+5并且为+为+…+须=8,则

由二

9.等差数列｛4｝,伉｝的前〃项和分别为S.和北，若零-£+1,则14

■nu/+“+1

0若—，则举炉

.

11.若｛a〃｝是无穷等比数列，a,为正整数，且满足禺+绕=48,logia-z•logA^

log2a2•log2a吐log2a2•log2alog2a^•/o度%=36,求的通项。

12.已知数列｛4｝是公差不为零的等差数列，数列｛“♦・｝是公比为g的等比数

列，且61,列5,夕=17,求:⑴g的值;(2)数列伉｝的前〃项和S.。

四、高考水平训练题

2x-l

x-1"ND7

1.已知函数/'(*)=，若数列｛%｝满足a产W,

a.尸/■(a)(〃£4),则员006：

2.已知数列｛aj满足3i=l,a„=ai+2a2+3a3+—+(zrl)ari(心2)，则｛4｝的通项

a,;C«^2)

3.若a.=1+融,且｛8,｝是递增数列，则实数？的取值范围是.

4.设正项等比数列｛a｝的首项团=2，前〃项和为S”,且2“近(2'0+1)

S20+S10=0,贝Ua尸•

jyI

5.已知**・L+(d一丫3,则a的取值范围是.

6.数列⑷满足a.尸3aN),存在_______个4值，使｛4｝成等差

数列；存在个团值，使E｝成等比数列。

7.已知-«--/402(nGN),则在数列｛a｝的前50项中，最大项与最小

项分别是

8.有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一

个数与第四个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为

9.设｛4｝是由正数组成的数列，对于所有自然数〃，为与2的等差中项等于

S“与2的等比中项，则a尸.

10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有项是在100与1000

之间的整数.

11.已知数列｛4｝中，a产0,求证：数列｛4｝成等差数列的充要条件是

—!-

01A1al■■(〃22)①恒成立。

b八

12.已知数列｛a』和｛4｝中有a产却也切」一胃4(〃22),当&=p,h=q(p)0,

勺

<7>0)且p^q=\时，(1)求证：a„>0,力〃>0且a〃+A=l(/V)；(2)求证：a„+l=；

(3)求数列处4.

13.是否存在常数a,b,c,使题设等式

1•22+2,3'+'"+n,(/?+1)2=12(an+bn+c)

对于一切自然数〃都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项和为972,

这样的数列共有个。

F+2

2.设数列｛*〃｝满足%=1,行幼—+7,则通项x,尸.

3.设数列｛4｝满足&=3,a>0,且M=4i,则通项a尸.

4.已知数列匈，&,&,…，a„,…满足关系式(3-a,Q•(6+a„)=18,且切=3,

E-

则iq=.

5.等比数列a+/侬3,a+log,3,a+/侬3的公比为=.

6.各项均为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超

过100,这样的数列至多有项.

联+4

7.数列｛4｝满足a=2,a2=6,且。-<+1=2,则

%标+向+…+兀

***M1

8.数列｛4｝称为等差比数列，当且仅当此数列满足a=0,｛ae「qa〃｝构成公

比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构

成等差比数列而差比大于1时，项数最多有

.■翔值

9.设数列｛a〃｝定义为：切=1,a〃“=0,+A。.为奇数。问：对于

怎样的h,存在大于0的整数〃，使得4=1?

10.设面｝⑶为一非负整数列，且对任意A21,满足a*2a2/+a2“(1)求

证：对任意正整数〃，数列中存在〃个连续项为0；(2)求出一个满足以上条件,

且其存在无限个非零项的数列。

11.求证：存在唯一的正整数数列口色,…，使得

ai=l,@2>1,2"|（*「1）=典.讨一1+〔

六、联赛二试水平训练题

1.设当为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为〃旦每位数字只能取1,

3或4,求证：是完全平方数，这里上1,2,….

2.设前a2)a〃表示整数1,2,〃的任一排列，/是