高中数学：极限思想的应用

高中数学：极限思想的应用

利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。

引例两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同

样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放

下最后一枚，谁就算胜了。设两人都是高手，是先放者

胜还是后放者胜？(G・波利亚称“由来已久的难题”)

G・波利亚的精巧解法是“一猜二证”：

猜想(把问题极端化)如果桌面小到只能放下一枚硬

币，那么先放者必胜。

证明(利用对称性)由于方桌有对称中心，先放者可

将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对

方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。

从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限

的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途

径。

极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思

想，可以避免复杂运算，探索解题新思路，现举五例说

明极限思想的应用。

例1已知0<x<y<a<l<span="">,则有()

</x<y<a<l<>

(A)I*(初<0

(B)。<1组式初<1

(C)

(D)log式P)>2(02年高考)

分析当xra时，由题意y-a,此时9~a2,loga3)-»2,

故可排除(A)、(B),当y-o时，由题意X-0,此时

»-0,又0。<1,则1呜(9)一用，排除(C),故选(D)

例2给出下列图象

其中可能为函数

s2

/(x)=/+ax+bx+cx+d(a,b,c,deR)的图象是_o

分析这道模拟试题得分率很低，许多亭星做这道题时

感到无从下手，通过与部分学生访谈知道，大部分学生

都是猜想结果，虽然有一些学生想到求函数的导数

小奴+3#+2"+*但仍然不知如何处理。其实，这道题

若从极限角度考虑，问题便迎刃而解。当X-+8时，

所以，当时图象是上升的，排除④，再令

a=b=c=O,y">0不是恒成立的，排除②，选①③。

例3已知数列｛a』中，ai=l,且对于任意正整数n,总

有小二口，是否存在实数a,b,能使得即“一长寸对

于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存

在，说明理由。

分析极限思想：

如果这样的a,b存在的话，则

由久”一只一寸，可得翘0%=”，

a一%_a

对虫/-2两边取极限，得”口，

解得&=0或0=3

_2

若"=0,则数列｛』｝应该是以1为首项，以蓝为公比的等

比数列。

Fi广二

可知13,

显然，“"力，不合题意舍去；

若"3,将4=1代入

2

%二°一/一寸，可求得b=-3,

2

।ra=3+3x（—二）*

此时“3,

同样验证％，亦可得出矛盾。

因此，满足题意的实数a,b不存在。

例4正三棱锥相邻两侧面所成的角为&,则&的取值范

围是（）

（/）（0。,180。）（8）（0。,60。）

（0）（60°,90。）（D）（60°,180°）

分析如图1所示，正三棱锥S-ABC中，SO是过底面正

三角形ABC中心且垂直于底面的垂线段。当so-o时，

相邻两个侧面的夹角趋近于180。，当SOT伊时，正三棱

锥无限接近一个正三棱柱，显然相邻两个侧面的夹角无

限接近60。，故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围

为（60。」80。），故选（D）o

例5已知长方形的四个顶点A（0,0）、B（2,0）、

C（2,1）和D（0,1）,一个质点从AB的中点Po沿与

AB夹角为8的方向射到BC上的点Pi后，依次反射到

CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射

角），设点P4的坐标为（X4,0）,若I<x4〈2〈/x,则

tan。的取值范围是（）

I19

(，)(+1)(5)

2192

⑹金)(佻亨

分析如图2,显然当P1为BC中点时，则P2、P3和P4