数学（文）一轮教学案：第十章第2讲 双曲线及其性质 含解析

第2讲双曲线及其性质

考点展示考纲要求高考命题探究

双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.1.内容探究：双曲线的标准方程、双曲线的几何性质(特别是离

心率、渐近线)的应用，常与圆、椭圆、恤物线交汇命题.

双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质.2.形式探究：高考中本讲内容多以选择题、解答题形式出现.

__J

附3考点一双曲线的标准方程

■定基础点重难点

1双曲线的定义

(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两

定点间的距离)的动点的轨迹.两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间

的距离叫做焦距.

(2)符号语言：HMF11-\MF?_W=2a(2a<\F\F2\).

2双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为:

(1)当双曲线的焦点在％轴上时，双曲线的标准方程为

X2V2

了一力=1(。>0，»。)・

(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为

y2x2

/一层=l(a>0,Z»0).

3双曲线方程的几种常见设法

(1)与双曲线卷一5=1有共同渐近线的双曲线方程可设为5一《

=%(2W0).

n产2

(2)若双曲线的渐近线方程为尸土务则双曲线方程可设为泉一

\=/l(2W0)或//一m2y2=42/0).

(3)与双曲线，一1=1共焦点的双曲线方程可设为号一号

=1(—b1<k<d1}.

(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为根〃<0).

(5)与椭圆，+1=1(4泌>0)有共同焦点的双曲线方程可设为

门+检=W).

注意点双曲线定义的理解

当四b1|一|四/2|=24时，曲线仅表示焦点厂2所对应的双曲线的一

支；当|MR|一|M/2|=—2。时，曲线仅表示焦点B所对应的双曲线的

一支；当2a=尸产2|时，轨迹为分别以B为端点的两条射线；当

2a>内22|时，动点轨迹不存在.

1.思维辨析

(1)平面内到点B(0,4),尸2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是

双曲线.()

(2)平面内到点B(0,4),尸2(0，—4)距离之差的绝对值等于8的点

的轨迹是双曲线.()

(3)方程、一^■=1(如7>0)表示焦点在入轴上的双曲线.()

(4篇+§=1表示双曲线的充要条件是如i<0.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

99

2.与椭圆C：言+方=1共焦点且过点(1,小)的双曲线的标准

方程为()

A.A：2—=1B.y2~2x1=1

c£—j%2=1

J22

答案C

1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线

解析椭圆16,12

的标准方程为5一7=1(m>0,〃>o),则|"n1'解得m=〃=2,

lm+n=4,

故选C.

22

3.双曲线存一方=1上的点P到点(5,0)的距离是6,则点尸的坐

标是.

答案(8,±3小)

解析尸(5,0)为双曲线的右焦点，设尸(%,y),则(%—5)2+y2=36

92

①，与言一5=1②，联立①②解得：］=8,尸±3小.，尸(8,±3小).

［考法综述］高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研

究双曲线的性质.双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方

程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题.

典例⑴已知双曲线C：浜一方=1的焦距为10，点尸(2,1)在

C的渐近线上，则C的方程为()

C-80-20=1D-20-80=1

(2)已知双曲线4一9=1的左、右焦点为尸2,点P为左支上

一点，且满足NBP尸2=60。，则△APF2的面积为

［解析］⑴由2c=10,得c=5,

b2b

,点P(2,l)在直线y=/上，1=~,即。=2尻

又,.,。2+82=25,.,.屋=20,h2—5.

22

故双曲线C的方程为今一(=1.

4UJ

(2)设|尸川=机，|PF2|=〃,

m2+〃2-2mncos60°=(2c)2,

n—m—2a,

|m2+n2—mn=20,

所以U2r必

所以《m=4,所以

【答案］(1)A(2)^3

Q【解题法】双曲线标准方程的求法

(1)一般步骤

①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴

上，还是两个坐标轴都有可能.

②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程.

③列：根据题意列关于a,h,c的方程或者方程组.

④解：求解得到方程.

(2)常见问题形式

①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上还是y

轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a,b,c的

方程组，解出a2,h2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能

是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解).

②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原

点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程相〃<0).

睫髭对点题必刷题

1.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2%的是

()

2%2

A.%2-彳V=1B,j-/=1

V2九2

C1/=iD.y2-J=l

答案c

解析双曲线提一方=1和%—1=1的渐近线方程分别为，一/

=0和，一:=0.A、B选项中双曲线的焦点在入轴上，C、D选项中

双曲线的焦点在y轴上，又令1一炉=0,得'=±2%,令产一，=o,

得旷=±$,故选C.

2.已知双曲线C：，一方=1的离心率e=^,且其右焦点为B(5,0),

则双曲线C的方程为()

A——=1R——上—=1

人工31161

X2V2X2V2

cC—16—匚9=1Du—3—'4=11

答案C

解析由题意得e=又右焦点为尸2(5,0),a2-\-b2

=洛所以〃=16,02=9,故双曲线C的方程为金一L=l.

?2

3.已知双曲线了一方=l(a>0,8>0)的一条渐近线过点(2,仍)，且

双曲线的一个焦点在抛物线y2=4g的准线上，则双曲线的方程为

()

x2式

A——2――1

儿21281叱821-1

X2y2

r——*4^=1uD—4—31

答案D

解析由题意可得q=坐c=巾,又，=7=4+/,解得足=4,

b2=3,故双曲线的方程为?一苧=1.

4.已知双曲线C的离心率为2,焦点为点A在C上.若

|FIA|=2|F2A|,则COSNAF2B=()

A]B.|

C也D也

J4u-3

答案A

解析•.•双曲线的离心率为2,..2=2,

：.a：b:c=l：y[3：2.

\AFi\~\AF2\^2a,

|BA|=2旧M|,

：.\AFi\=4a,\AF2\^2a,

.'.|BB|=2c=4a,

|AF|2+|F|F|2-|AF1|2

cosNAB/7尸22

21A尸2IIQF2I

4a2+16屋一16<724次1

2X2aX4a—=16”一不选A.

5.设双曲线C经过点(2,2),且与?一_?=1具有相同渐近线，则

C的方程为；渐近线方程为.

答案y—y=±2x

解析双曲线看一炉=1的渐近线方程为旷=±2%.

设与双曲线?一f=i有共同渐近线的方程为千一好=〃2/0),又

22

(2,2)在双曲线上，故了-22=2,解得人=—3.

故所求双曲线方程为?-%2=—3,即日一%=1•

所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.

6.如图所示，已知双曲线以长方形A8CO的顶点A,B为左、

右焦点，且双曲线过C,。两顶点.若A8=4,BC=3,则此双曲线

的标准方程为.

答案x2—?=1

解析设双曲线的标准方程为，一£=1(。>0,8>0).由题意得

8(2,0),C(2,3),

4=a2+b2,

a2—1,

解得

按=3,

，双曲线的标准方程为/一『=1.

7.已知双曲线的渐近线方程为2壮3y=0,且焦距是2小，则双

曲线方程为.

套案尤一上=1或三=]

口于941以49

解析设双曲线方程为^—［二犯羊。）.

若A>0,则“2=9。,Z?2=42,

c2=a2-\-h2=\3A.

由题设知2c=2回，/.2=1,

/y2

故所求双曲线方程为卷一巧=1;

y4-

若丸<0,则为=—42,Z?2=—9A,

<?=。2+。2=—132.由2c=2y/T?>,.,.X=-l

2?

故所求双曲线方程为?一看=1.

4-y

综上，所求双曲线方程为卷一9=1或三f1

噩考点二双曲线的几何性质

基础点重难点

1双曲线的几何性质

?V2,

标准方程彳一七=1(4>0">0)4一==1(。>0">0)

a"Ifcfb

范围jr^-a或74—或—a

对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点

顶点坐标：顶点坐标：

顶点

A1(一a?A2(a,0)A1(0»—a)9A2(0,a)

,bIci

渐近线y=±一JC

性a

质

离心率e=—,(1,+8),其中c=Ja"+If

线段A4叫做双曲线的包，它的长|A|4|=

2a；线段B,B叫做双曲线的蝮,它的长IBB|

轴2

=2b；a叫做双曲线的实半轴长，〃叫做双曲线的

虚半轴长

2等轴双曲线及性质

(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相堇的双曲线叫做等轴双曲线,

其标准方程可写作：X2—y2=aqW0).

(2)等轴双曲线=离心率0=啦=两条渐近线V=±X相互垂直.

/丫2.

3点P(%o,yo)和双曲线)一1=1(。>0,8>0)的关系

笳》注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系

离心率e的取值范围：e>l,当e越接近于1时，双曲线开口越

小；e越接近于+8时，双曲线开口越大.

小题机做；

1.思维辨析

9222

⑴双曲线方程心0,〃〉0,2N0)的渐近线方程是W一力

III/fLIII'iv

=0,即岂±±=0.()

mn、7

(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于啦.()

(3)若双曲线宏一方=1(。＞0,匕＞0)与后一,=13＞0,〃〉0)的离心率

分别是ei,02,则t+%=1(此结论中两条双曲线称为共甄双曲

线).()

(4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k=±^e2-\-l.()

答案⑴J(2)V(3)V(4)X

2.在平面直角坐标系％Oy中，双曲线的中心在原点，焦点在y

轴上，一条渐近线方程为x—2y=0,则它的离心率为()

A.小B坐

C.A/3D.2

答案A

27

解析依题意设双曲线的方程是%—方=1(其中。＞0,。〉0),则

其渐近线方程是尸土齐，由题知即b=2a,因此其离心率e=

^y[5a_r-

aa、•

92

3.以椭圆，+5=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近

线方程为.

答案y=±\[?＞x

99

解析椭圆，+]=1的焦点坐标为(1,0),(—1,0),顶点坐标为

(2,0),(-2,0).

则双曲线的顶点为(1,0),(-1,0),焦点为(2,0),(-2,0).

则双曲线的标准方程为：^-^-=1.

其渐近线为y=±\［3x.

信活命题法解题法

用［考法综述］高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运

用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考

查，难度较大.

典例⑴已知分别是双曲线了一台=13〉0,。〉0)的左、

右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条

渐近线于点若点M在以线段为直径的圆外，则双曲线离心

率的取值范围是()

A.(1,啦)B.(啦，小)

C.他,2)D.(2,+8)

(2)过双曲线宏一卓=1(。〉0，匕〉0)的左焦点尸作圆。：^+y1=a1

的两条切线，切点为A,B,双曲线左顶点为C,若NAC8=120。，

则双曲线的渐近线方程为()

A.y=+^l3xB.y=±^x

C.y=±\j2xD.y=土坐了

b

［解析］(1)如图所示，过点F2(c,0)且与渐近线y=^x平行的直

b

bb

线为y="(%—c),与另一条渐近线y=-孑联立得＜

b

)y=—~ax,

2

解得,hc即点陪，一第

尸一五’

.•.阿尸堆卜卜郢芍J+肾.

•..点M在以线段尸产2为直径的圆外，

\OM\>c,

即与行野“，得行你>2

二.双曲线离心率e=5=1J1+用2>2.

故双曲线离心率的取值范围是(2,+8).故选D.

(2)如图所示，设双曲线:一方=l(a>0,8>0)的焦距为2c(c>0),

则C(~a,0),F(-c,0).

由双曲线和圆的对称性知，点A与点8关于％轴对称，则NACO

-120°=60°.

'：\OA\=\OC\=a,「.△ACO为等边三角形，AZAOC=60°.

:胡切圆。于点A,：.OA±FA,

在RtAAOF中，ZAFO=90°-ZAOF=90°-60°=30°,

.*.|OF|=2|OA|,即c=2a,h=yjc2—a2=y］(2a)2—a2=-\/3a,故

双曲线技=1(。>。，b>0)的渐近线方程为产等，即

［答案］(1)D(2)A

9【解题法】求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法

(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关

于双曲线基本量q,b,c的方程或不等式，利用。2=/一次和e=\转

化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或

取值范围.

(2)求渐近线时，利用/=层+块转化为关于凡人的方程或不等

式.双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.

题对点题必刷题

1.已知A,3为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，

为等腰三角形，且顶角为120。，则E的离心率为()

A.小B.2

C，V3D.也

答案D

解析设双曲线方程为，一1=13>0,。>0）,不妨设点M在双

曲线的右支上，如图，AB=BM=2a,ZMBA=120°,作

60°,BH=a,MH=y[3a,所以欣2Q,小a）.将点M的坐标代入双

曲线方程3一%=1,得。=》，所以e=，5.故选D.

2.若双曲线自可一左=1的左、右焦点分别为B，点P在

双曲线石上，且|PB|=3,贝!J|PB|等于（）

A.11B.9

C.5D.3

答案B

解析解法一：依题意知，点尸在双曲线的左支上，根据双曲线

的定义，得|P尸2|一|PR|=2X3=6,所以|P尸21=6+3=9,故选B.

解法二：根据双曲线的定义，得||PB|TPQ||=2X3=6,所以||P尸2|

一3|=6,所以出尸2|=9或|尸尸2|=—3（舍去）故选B.

3.将离心率为d的双曲线G的实半轴长a和虚半轴长b（a^b）

同时增加加（加〉0）个单位长度，得到离心率为62的双曲线Q,则（）

A.对任意的a,b,e\>e2

B.当时，ei>e2；当时e\<e2

C.对任意的a,h,e\<ei

D.当a>b时,ei<e2；当时,e\>e2

答案D

八附*+-I~~7y\』（。+咽2+3+咽2

解析依题意，e尸^-=寸+胪>一

/,(b-\-iri\.一,bb+mah-\~hm—ah-amm(h—a)

-A/1_L-------------2因为匕_----=---------------=-1------------L

\a-Vm)'Jaa-\~ma(a-\-m)a(a-\-m)'由于

-〜、，，)hb-\-mhh+m

心0,q〉0">0,且i所以当a>b时，0<-<1,0<^<1,

aQ+W

cxzw,H±b、b+mbb+m

\a)\a-\-m)*所以约<及；当时，->1,U〉l，而/在后所

以俳（第2,所以e42.所以当。泌时，

当a<b时，e\>ez,

故选D.

4.过双曲线好一事=1的右焦点且与％轴垂直的直线，交该双曲

线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=（）

B.25

C.6D.4y[3

答案D

解析由双曲线的标准方程/一苧=1得，右焦点尸（2,0）,两条

渐近线方程为y=±^3x,直线AB：x=2,所以不妨取A（2,2小），BQ,

—24），则|A3|=4小，选D.

5.已知产为双曲线C：（m>0）的一个焦点，则点尸到C的一条渐

近线的距离为（）

A.小B.3

C.小mD.3m

答案A

fy2

解析由题意，可得双曲线c为就一5=1,则双曲线的半焦距

c=、3m+3.不妨取右焦点（、3仞+3,0）,其渐近线方程为>=±春％,

■\]3m+3

即％±V^y=0.所以由点到直线的距离公式得d==•故选A.

'l+m

6.若实数“满足04<9,则曲线行一力=1与曲线灯七=

1的（）

A.焦距相等B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等D.离心率相等

答案A

9222

解析因为0<%<9,所以方程会一占=1与—葛=1均表

2D9—/C25—k9

示焦点在％轴上的双曲线.双曲线唱一了7=1中，其实轴长为10,

239—K

_22

虚轴长为八所I,焦距为2425+9—仁2434—依双曲线天匕一会

NDK

=1中，其实轴长为2、25-鼠虚轴长为6,焦距为2425T+9=

2d34—左.因此两曲线的焦距相等,故选A.

29

7.已知a>h>0,椭圆G的方程为a十%=1,双曲线C2的方程

为摄一£=1，G与。2的离心率之积为坐则G的渐近线方程为（）

A.x±\/2y=0B.yfix±y=0

C.%±2y=0D.2x±y=0

答案A

解析由题意，知椭圆G的离心率4=咛^,

双曲线。2的离心率为62=+?].

国力近\l（a2-b2）（a2+b2）近

因为61七2=2，所以〃2=2'

（层一炉乂层+炉）3

即a4~4f

整理可得。=也尻

又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay=O,

所以hx±\f2hy—0,即x±\/2y=0.

8.设尸2分别为双曲线也一方=1（。>0,6>0）的左、右焦点，双

9

曲线上存在一点尸使得|PP|+|PB|=34\PFi\-\PF2\=^ab,则该双曲

线的离心率为（）

A-3Bl

9

C.4D.3

答案B

解析根据双曲线的定义||PK|-|PF2||=2Q,可得1PBi2一

21PBl|尸尸2|十|尸6|2=4层.而由已知可得|P+IF+2『尸山尸尸2|+|尸产2『=9加,

9

两式作差可得一4|尸乃||尸歹2|=4。2—9。2.又|尸碎|尸尸2|=4协所以有4层

+9H-»2=0,即（4。-333+38）=0,得4a=36平方得16层=9",

c2

即16a2=9（/一层），即25a2=9/,%=等25，所以e号5，故选B.

uy3

9.点P在双曲线下一1=1（。〉0,。〉0）上，Fi,6分别是双曲线

的左、右焦点，ZFIPF2=90°,且△QPF2的三条边长之比为3：4：

5.则双曲线的渐近线方程是（）

A.y=±2小％B.y=±4x

C.y=+2y15xD.y=±2y[6,\PF2\=4m,|FIF2|

=5m,m>0,则2a=|P尸2|一|PFi|=zn,2c=|尸i尸2|=5刑,所以b=&m,

所以5=坐坦=2册，所以双曲线的渐近线方程是y=±2#x.

2m

10.设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为B，F2,以为直

径的圆交双曲线于A、B、C、D四点，则⑻A|+|尸闽+®C]+|BQ|

=（）

A.4小B.2小

C.小D坐

答案A

解析依题意，设题中的双曲线方程是r一产=1,不妨设点A、

B、C、。依次位于第一、二、三、四象限，则有

|AFI|-|AF|=2「七

■2+依2同=尸典2=8'由此解得2尸小+“小小-

1,同理|0回|=以尸||=小+1,|。尸1|=山尸1|=以尸2|=小一1,IABI+/KI

+|CFi|+|r）Fi|=4V3,选A.

11.已知点P是双曲线AW=l（a〉O,。〉0）右支上一点，Fi,Fi

分别是双曲线的左、右焦点，/为△Pg的内心，若

JPF=IPFT/FF

,:成立，则双曲线的离心率为（）

A.4B.|

C.2D.|

答案C

解析

设△PF；B的内切圆的半径为八则

\PF}|-\PF21=2a,\FlF2\=2c,SA/PF=^-\PF}\­r,

由S^/pF|=S./PF+-^-Sa%F2，

得1;(|PB|一|PF22=；X；|BF2l-r，，c=2a.

2乙乙乙

双曲线的离心率为e=—=2.

a

12.设/是双曲线C：了一方=1的一个焦点.若C上存在点P,

使线段P尸的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.

答案小

解析由已知不妨设F（-c,Q）,虚轴的一个端点为B（0,b）,B

恰为线段P厂的中点，故尸匕,2力，代入双曲线方程，由左一器~=1

得，=5,即/=5,又e>l,故e=小.

2

13.已知双x曲线了一>2=l（q〉0）的一条渐近线为小%+y=0,贝|Jq

答案当

解析因为双曲线，一>2=13>0）的一条渐近线为了=一小X,即

y=±%,所以（=小，故。=乎.

2

14.设直线70）与双曲线X2%—V东=l（Q>0,h>0）的两条渐近线分别

交于点A,B.若点尸（九0）满足|B4|=|PB|,则该双曲线的离心率是

答案坐

x—3y+m=0,/,、

{.,=《{38a一m。'3bm-J\

11—3y+m=0,,、

I/曰Jz_ambm

v=——r侍33b+a'3b+a/

则线段AB的中点为“g/_4，9._〃2/

由题意得PMJ-AB,・,•如w=—3,得〃=4/?2=4,一4〃，故/=

5.=正

4*''e~2'

15.设为,凡是双曲线C/一方=l(a〉0,配>0)的两个焦点,P

是C上一点.若|PFi|+|PB|=6a,且APR尸2的最小内角为30。,则C

的离心率为.

答案V3

解析不妨设点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|PB|

-\PF2\=2a,

又因为IPRI+IP尸2|=6”,所以|P尸i|=4a,\PF2\=2a,

因为|PE|>|PF2],所以NPF1F2为最小内角，因此NPEF2=30。，

222

在△PFxFi中，由余弦定理可知，\PF2\=|PF]|+|F]F2|-

21PBi•|QB|-cos30。，即4次=16屋+41?—8小ac,所以/一2小"+3层

=0,两边同除以。2,得e?—2仍6+3=0,解得e=小.

R丫2

16.已知双曲线了一方=l(q>0,h>0)的左、右焦点分别为Fi,

/2，点P在双曲线的右支上，且|尸产1|=4|尸6|，则双曲线的离心率e

的最大值为.

答案1

解析设/F\PF2=8,

8

为|=乎,

\PFx\-\PF^=2a,|P

由'得q

JPFI|=4|PF|

2\PF2\=^a,

由余弦定理得cos8=^2=亘­g”.

17Q5

,：8G(0,7i],cos0G[—1,1),—1忘而一，又e>l,

OOJ

学霸错题警示题目条件考虑不到位致错

品已知圆G：（的轨迹方程.

［错解］

新图的尔,设动圆M与圆。皮圆

—一两圆夕卜切的条件，.

IMC/LIA&I二IMAI,

/MQH3CJ二MM

因为IMAI=IMP1,前队IMC/TA&I二

IMCJ一伙」,评IMCJTM&I二IMJTACJ

二3一/二2・

的认息M例两."/,G的电离的差茏串数.

又根据双曲戏的定义，痛■动.W、M的执迹为

双曲戏，可设执迹方短方

1/

/一/二/（"0,心0）,其中4二/,

c=3,则占二X.

V2

故3、M的轨迹为41方）。了二/.

［错因分析］在解答本题时，容易因错误运用双曲线的定义而出

错.本题中，|MG|—|MG|=2,与双曲线的定义相比，等式左边少了

外层绝对值，因此只能表示双曲线的一支，如果不注意这一点，就会

得出点M的轨迹方程为炉一七=1这一错误结果.

O

［正解］如图所示，设动圆M与圆G及圆Q分别外切于A和8

两点.连接MG,MCi.

根据两圆外切的条件，得

|MG|一GG|=|M4|,\MC2\-\BC2\=\MB\.

因为|K4|=|M8|,所以|MG|-|ACI|=|MC2|-|BC2|,即\MC2\~\MCI\

=|BC2|-|ACI|=3-1=2.

所以点〃到两定点G,C2的距离的差是常数.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与

。2的距离比与G的距离大），可设轨迹方程为，一奈=1（。>0,岳0,

的轨迹方程为?=1（%<0）.

O

［心得体会］

应火砂戏的定义中，有两玄、是缺。不可的：

其一，1怀心怀川二2ajt2zi<2z^.^rn界

第二个条件，及动息与两定息的电离之美若与

数，©不是吴的他对值有多数，肝么其轨迹R

能是双曲戏的。支.

［型课时撬分练

时间：60分钟

基础组

1.［武邑中学模拟］已知双曲线a一方=1的一个焦点与抛物线/

=4%的焦点重合，且双曲线的离心率等于小，则该双曲线的方程为

()

C.力一宏=1D.5/一牛=1

答案D

解析二•抛物线的焦点为/(1,0),「^=1.

又卜的.M=5,.■=/_/=一卜/

故所求方程为51—乎=1,故选D.

2.［枣强中学一轮检测广*8”是“方程一^"一三=1表示双

m—10m—8

曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

2

rv2

解析方程前—一一=表不双曲线，贝！］(加-

m-10m—o618)(m—10)>0,

r2v2

解得m<8或相>10,故“加<8”是“方程一丁一二~石=1表示双曲线”

m—10m—8

的充分不必要条件，故选A.

3.［衡水中学周测］已知点”(一3,0)、M3,。)、5(1,0),动圆C与直

线MN相切于点分别过点M、N且与圆C相切的两条直线相交于

点尸，则点P的轨迹方程为()

V2V2

A.x2—X=l(x>l)B.JC2一去=l(x>0)

o1U

y2-y2

C.x2—g=1(A:>0)D.JC2一行=1(%>1)

答案A

解析如图所示，设两切线分别与圆相切于点S、T,则|PM—IPNI

=(|PS|+|5M|)一(|尸7]+|3])=|5知1一13|=|3知|一|3川=2=2。，所以所

求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，。=1,c=3,所以庐=8,

故点P的轨迹方程为r―?=1(%>1).

O

4.[冀州中学月考]以正三角形A3C的顶点A,3为焦点的双曲

线恰好平分边AC,BC,则双曲线的离心率为()

A.V3-1B.2

C.小+1D.2小

答案C

解析如图，设|A8|=2c,显然|AD|=c,|8D|=Sc,即(小一l)c

2。，

2

,”>^7=小+1，

选c.

92

5.［武邑中学周测］已知双曲线%一方=1（4>0">0）的离心率为3,

则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=土乎％B.y=±^2x

C.y=±2xD.y=-2x

答案A

解析由题意得，双曲线的离心率6=（=b，故*=冬故双曲

线的渐近线方程为y=±乎羽选A.

6"衡水中学月考］已知双曲线C>*13〉0,。〉0）的焦距为

2小，抛物线y=奈+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的

方程为（）

答案D

hh1

解析由对称性，取一条渐近线y=/即可，把y=/代入）=而

1hhr1

f+l,得育2—万+1=0,由题意得zl=-2—4X-77X1=0,即a12=

loaalo

4"，又c=小，.'.c2—a2-\-h2=5h2=5,/.h2=1,a2=4,选D.

22

7.［枣强中学猜题］已知双曲线会一台=l（a>0,8>0）的左焦点为

Fi，左、右顶点分别为4、A2,尸为双曲线上任意一点，则分别以线

段尸E,A1A2为直径的两个圆的位置关系为（）

A.相交B.相切

C.相离D.以上情况都有可能

答案B

解析设以线段PB,AM2为直径的两圆的半径分别为八，⑶

若尸在双曲线左支，如图所示，则|。2。1|=3尸尸2|=：（|P尸11+20）=^61

+。=-1+-2,即圆心距为半径之和，两圆外切，若尸在双曲线右支,

同理求得|。2。1|=〃一「2,故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故

选B.

8.［衡水中学期中］已知尸2为双曲线C：/一丁二？的左、右

焦点，点P在C上，|PB|=2|P6|,则COSNBPF2=（）

A.B1

CD

-45

答案c

解析由题意可知。=8=啦，...c=2

V|PFI|=2|PF2|,又|尸人|一|尸外|=2啦,

AIPF11=4^2,|P园=2|尸1尸21=4.

|PF1|2+|PF|2-|F|F|2

由余弦定理得cosN尸1PF2=22

2|PFI|­|PF2|

（4也）2+（2应产―423场工

2义2蛆X4啦=不故选C-

9.［武邑中学期中］设6，B是双曲线X2—皋I的两个焦点，P

是双曲线上的一点，且31PBi=4|PF2|,则△2产】£的面积等于（）

A.4啦B.8小

C.24D.48

答案C

解析双曲线的实轴长为2,焦距为尸产21=2X5=10.据题意和

41

双曲线的定义知，2=『分|一|PF2|=引。/2|一|P尸2|=1。/囹，

：.\PF2\=6,|PFi|=8.

.•.|PBF+|尸尸2产=|尸匹|2,

：.PF\LPFi,

.•.5"勺尸2=；仔尸小尸尸2|=；><6><8=24,故选C.

丫2

10.［衡水中学期末］已知F,,F2是双曲线了一台=1（。〉0,Z?>0）

b

的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点后关于直线y=/

对称，则该双曲线的离心率为（）

A.坐B.小

C.啦D.2

答案B

解析由题意可知渐近线为P6的中垂线，设M为尸尸2的中点，

MF。h

所以OM，P/2.tanNMOF2=^=》因为OF2=c,所以MF2=。，

OM=a.因此0/2=2/?,PF\=2a,又因为PF2—PFx=2a,所以h=2a,

则c2=a2+b2=5a2,即c=y［5a,故e=~=y［5.

11.［冀州中学期末］若双曲线］一»=l（q>0,匕〉0）的一个焦点到

一条渐近线的距离等于焦距的/则该双曲线的离心率为.

答案乎

解析双曲线的一条渐近线方程为纵一纱=0,一个焦点坐标为

,„,D03__\bc—aX0\1

（c,o）.根据通思：勺加+层=4X2c,所以c=2h,a=