2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练41　直线的交点坐标与距离公式

考点规范练41直线的交点坐标与距离公式一、基础巩固1.若O为坐标原点,P为直线x-y+2=0上的动点,则|OP|的最小值为()A.22 B.2 C.3 D.2.已知点A(cos10°,sin10°),B(cos100°,sin100°),则|AB|=()A.1 B.2C.3 D.23.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则直线l1与l2之间的距离为()A.423 B.42 C.823 4.点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()A.125,175 C.75,1755.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值为()A.1 B.2 C.-2或1 D.-1或26.直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点,点P(1,1)到该直线的距离的最大值为.

7.直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程为.

8.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.

9.已知正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x+y-4=0上,另两个顶点C,D分别在直线2x-y-1=0,4x+y-23=0上,则正方形ABCD的边长为.

10.已知直线l1:x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.(1)若l1⊥l2,求m的值;(2)若l1∥l2,且它们间的距离为5,求m,n的值.二、综合应用11.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为()A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4)12.若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则k的取值情况是()A.只有唯一值 B.有两个不同的值C.有三个不同的值 D.无穷多个值13.(多选)在平面直角坐标系Oxy中,点P在曲线y=x+1x(x>0)上,则点P到直线3x-4y-2=0的距离可以为(A.45 B.1C.65 D.14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为.

15.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=.

16.已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4).(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小;(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||的值最大.三、探究创新17.已知平面上一点M(5,0),若一条直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.给出直线:①y=x+1;②y=2;③y=43x,其中是“切割型直线”的是(A.②③ B.① C.①② D.①③18.定义:点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的有向距离为ax0+by0+ca2+b2.已知点A(-1,0),B(1,0),直线m过点P(3,0),若圆x2+(y-18)2=81上存在一点C,使得

考点规范练41直线的交点坐标与距离公式1.B由已知得原点O到直线x-y+2=0的距离d=22=2,故2.B|AB|=(=co=2=23.C∵l1∥l2,∴a≠2,且a≠0,1a-2=a∴两直线方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+23=0∴直线l1与l2之间的距离为d=64.C由点到直线的距离公式,得点P到直线3x+4y-12=0的距离为d=|3cosθ+4sinθ-12|32+42=因为5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],所以d∈5.C因为直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,所以这三条直线必有两条直线平行.又直线2x+y-4=0与x-y+1=0不平行,所以当直线2x+y-4=0与ax-y+2=0平行时,a=-2;当直线x-y+1=0与ax-y+2=0平行时,a=1.所以实数a的值为1或-2.6.(-2,3)13依题意,直线l的方程可化为λ(y-3)+x+2=0,所以直线l恒过定点Q(-2,3),点P(1,1)到该直线的距离的最大值为|PQ|=37.x-2y=0由y=2x+3,y=x+1,解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),所以可设直线l2的方程为y+1=k(x+2在直线l上取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得|k-2+2k-1|k2+1=|2-2+3|228.6x-y-6=0设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以b-4a-(-3)·1=-1,又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y=6-02-1(x-1),即69.22或142因为AB∥CD,所以可设直线CD的方程为x+y+m=0,由2x-y-1=0,由4x+y-23=0,所以|CD|=1-m3-m+23又直线AB与CD之间的距离d=|m所以223|m+11|=|m+4|2,解得所以正方形ABCD的边长为22或14210.解(1)若l1⊥l2,则m+2=0,解得m=-2.(2)直线l1的方程可化为2x+2y+4=0.若l1∥l2,则m2=22≠又两直线之间的距离为5,则|n-4|22+22=5,解得11.C设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则y-2x+4×2=-1,y+22=2×-4+x2,解得x=4,y=-2,所以BC所在直线的方程为y-1=-2-14-3(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,由3x+y-10=0,x-3y+10=0,解得x12.C若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则其中有2条直线互相平行,第三条直线和这2条平行线都相交,此时k=-2或k=0,或者三条直线经过同一个点,即直线x-2y+2=0和x=2的交点(2,2)在直线x+ky=0上,此时k=-1.综上,k=-2或k=0或k=-1.13.CD由已知得y'=1-1x2,设点P(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率为1当点P到直线3x-4y-2=0的距离最小时,曲线y=x+1x(x>0)在点P处的切线的斜率应等于直线3x-4y-2=0的斜率,即1-1x02=34,解得x0=2,所以y0=2+12=52,点P的坐标为2,52,所以点P故选CD.14.5由解得x将x=1,y=2代入mx+ny+5=0,得m+2n+5=0.所以m=-5-2n.所以点(m,n)到原点的距离d=m2当n=-2时取等号,此时m=-1.所以点(m,n)到原点的距离的最小值为515.345由题意,可知纸的折痕既是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线,也是点(7,3)与点(m,n)连线的垂直平分线,易求得纸的折痕所在直线的方程为y=2x-于是3+n2故m+n=3416.解(1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),则n解得m所以A'(-2,8).因为P为直线l上一点,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,等号成立,此时点P为直线A'B与直线l的交点,则有x解得x所以当点P的坐标为(-2,3)时,|PA|+|PB|的值最小.(2)因为A,B两点在直线l的同侧,P为直线l上一点,直线AB与l相交,所以||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,等号成立,此时点P为直线AB与l的交点.由题意可知直线AB的方程为y=x-2.由y解得x所以当点P的坐标为(12,10)时,||PB|-|PA||的值最大.17.A