高中数学竞赛试卷试题

创作；朱本晓

2022年元月元日

2021年高中数学竞赛试卷

（2006年3月26日星期日上午8：30~10：30）

【说明】解答本套试卷不得使用计算器

一、填空题（此题满分是60分，前4小题每一小题7分，后4小题每一小题8分）

1.设x,y,z是正实数，满足盯+z=（x+z）（y+z）,那么xyz的最大值是

2.设从正整数k开场的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等

于后100个正整数的平方和，那么k的值是.

3.设"（〃22）是给定的整数，，…，x是实数，那么sinxcosx+sinxcosx+

I2n1223

…+sinxcosx的最大值是

nI

4.在AABC中，NA=30。，N8=105。，过边AC上一点D作直线DE,

与边AB或者者BC相交于点E,使得NCOE=60。，且DE将AABC的面积两等分，那么

不等式max{|z+Z?|卜―4,|2006-.}之（7恒成立，那么

5.对于任意实数a,b,

常数C的最大值是.（注：max{x,y,z}表示x,y,z中的最大者.）

6.设/(x)=x2+ox+。cosx{邛(幻=0,xeR}={邛(/(X))=0,XGR}H0,

那么满足条件的所有实数a,b的值分别为

7.在直三棱柱中，底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，

n平方米，p平方米，那么它的体积为________________________________立方

米.8.函数/：R+-R满足：对任意x,yeR+,都有

仓U作；多本阿

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2022年元月再日］、

/(x)/(y)=/(xy)+2006-+-+2005

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那么所有满足条件的函数f为.

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二、解答题

9.（此题满分是14分）抛物线

产=2px（p>0）,其焦点为F,一条过焦点F,

倾斜角为9（0<0<K）的直线交抛物线于A,B

两点，连接闺（0为坐标原点），交准线于点B',

连接B0,交准线于点A',求四边形ABB'A'的

面积.

10.（此题满分是14分）数列L｝定义如下：a=1,且当〃22时,

n1

\a+1,当〃为偶数时，

21

2

CI=<[

"当〃为奇数时.

10,

n-\

30

a=—,求正整数n.

“19

11.（此题满分是16分）对一个边长互不相等的凸〃（〃23）边形的边染色，每条边

可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有一样的颜色.问：一共有多少种

不同的染色方法？

12.（此题满分是16分）设a,be[0,1],求

ah

s="+”+（1—a）（j）

1+/?1+a

的最大值和最小值.

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［参考答案］

一、填空题(此题满分是60分，前4小题每一小题7分，后4小题每一小题8分)

1

1、272、20210

n

3、

24、6

5、10036、0＜。＜4,b=0

r_______________________/(x)=1+2006

7、—+p)(m+n-p)(p+m-n)(n+p-m)8、

X

二、解答题

9.(此题满分是14分)抛物线W=2px(p>°),其焦点为F,一条过焦点F,倾斜角为

0(0<0<K)的直线交抛物线于A,B两点，连接A0(0为坐标原点)，交准线于点B',连接BO,交

准线于点A',求四边形ABB'A'的面积.

n

解当。=—时，S=2p2(4分)

肝2ABB,A1

n

当e#5时，令k=tane设

A(x,y),B(x,y),那么由

1122

¥=2Px,②

消去X得,一半

>2y-p2=0,所以

k

y+y=留,yy=~P2.③

12k—

y2P

=x

又直线AO的方程为：y=-LX,即为y—»所以，A0与准线的交点的坐标为

Xy

11

B'(-J-〃2),而由醐口,y=一匕，所以B和的纵坐标相等，从而BB1九轴同理

2y2y

11

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轴，故四边形ABBA'是直角梯形.…........⑷分）

所以，它的面积为

f岬叫W叩"叫凶

=I（『产"?|

=g（）；-）?2号W后取+彳*1」

=2p2,+；）=2p2（1+COt20他.…..........（14分）

10.（此题满分是14分）数列｛"｝定义如下：a=1,且当"N2时，

n1

a+1,当〃为偶数时,

J1

,当〃为奇数时.

30

—,求正整数n.

解由题设易知，a〉0,〃=1,2,....又由4=1,可得，当n为偶数时，a>1.当〃（>1）

n1n

1

是奇数时，a=----<1（4分）

«a

M-1

30.30-11-〃

由a=__〉1,所以n为偶数，于是a=_-I=_<I,所以，一是奇数.

n19£19192

于是依次可得:

力>1nI

a2-1是偶数，

11

2

19Tn-2

a=--121

-21111是奇数,

4

11n-6

a-—>1-----是偶数,

立马84

4

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11T3Tn-6

a=—-1=_<1

488o是奇数,

8

8〃一14

a=_>1是偶数,

■一138

8

8.5.z?-14

°恒=-1=>1,----是偶数,

”-14

16

52H—14

a=_-1=_<1------是奇数,（9分）

3332

32

3〃-46

a=_>1-------是偶数,

232

32

341.n-46

a=_一1=_<1,—「是奇数,

”-4622

64

n-110

a=2>1，y厂是偶数，

以一46《

-1

64

a=2—1=1

128

H-110

所以，［28=L解得，n=238.（14分）

11.（此题满分是16分）对一个边长互不相等的凸23）边形的边染色，每条边可以染红、黄、

蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有一样的颜色.问：一共有多少种不同的染色方法?

解设不同的染色法有P种.易知P=6..............（4分）

n3

当〃24时，首先，对于边a,有3种不同的染法，由于边a的颜

12

色与边。的颜色不同，所以，对边a有2种不同的染法，类似地，对边

12

aaa

3，…，边n-1均有2种染法.对于边Qn,用与边n-1不同的2种颜

色染色，但是，这样也包括了它与边a颜色-样的情况，而边Q与边a

11n

颜色一样的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数J,于是可得

p=3x2〃-1-p,

nw-1（10分）

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p—2"——(p_2"-J

C1)

于是P—2〃=(—1)〃-3〃-23=(―1)〃_2.2,

n3

p=2〃+(—1,2,〃之3.

n

综上所述，不同的染色方法数为P=2”+(—1)”2...........(16分)

n

12.(此题满分是16分)设a/e[0,1],求

0_ah

7+1+«+(1

1+b

的最大值和最小值.

解因为

Cab

S=—^+1+«+(1-«)(1-^)

1+b

1+Q+%+a2b2ab(1-ah)

=—=1------------

(1+a)(1+与(1+a)(1+b)

<1,

当ab=°或者a8=1时等号成立，所以S的最大值为1............(6分)

出?(1一ah)

令7=75---~,x=’那么

_ah(}-ah)abC\-ab)

I____________<-----------

+a+b+ab1+21ab+ab

_X2(1-X2)_X2(1-x)

(1+x)21+x'

m(1一x)/5把-11

1+x-2•①

①=(x-(x+>/5-2)>0,

r<575-11

所以

2

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„13-5