高中数学：曲线系方程的应用

高中数学：曲线系方程的应用

如果两条曲线方程是fi(x,y)=0和f2(x,y)=0,它们

的交点是P(xo,yo)，求证：方程fi(x,y)+入f2

(x,y)=0的曲线也经过点P(人是任意常数)。由

此结论可得出：经过两曲线f“x,y)=0和f2(x,y)

=0交点的曲线系方程为：fi(x,y)+入f2(x,y)

=0o利用此结论可得出相关曲线系方程。

一、直线系

概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线

系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程：

(1)过已知点P(xo,yo)的直线系方程y—yo=k(x

—xo)(k为参数)

(2)斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数)

(3)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax

+By+人=0(入为参数)

(4)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx

—Ay+入=0(人为参数)

(5)过直线h：Aix+Biy+Ci=0与匕：Azx+BzyH-

C2=0的交点的直线系方程：

A〔x+Biy+Ci+入(A2x+B2y+C2)=0(人为参

数)

例1、已知直线h：x+y+2=0与匕：2x—3y—3=

0,求经过的交点且与已知直线3x+y—1=0平行的直

线L的方程。

解析：设直线L的方程为

2x—3y—3+入(x+y+2)=0。

(入+2)x+(人-3)+2入-3=0。

•二L与直线3x+y—1=0平行，

K+2X-32A.-3

•------=-------H--------

••31-1O

11

解得：入=彳。

所以直线L的方程为：15x+5y+16=0

例2、求证：m为任意实数时，直线(m—1)x+(2m—

1)y=m—5恒过一定点P,并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个

定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解析：由原方程得

m(x+2y—1)—(x+y—5)=0,①

日n[x+2y]=。解得上9

即[x+y-5=0ly=-4,

，直线过定点P(9,-4)

说明：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

二、圆系

概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：

(1)同心圆系：(X—xo)2+(y—yo)2=r2,xo>yo

为常数，r"为参数。

(2)过两已知圆Ci：fi(x,y)=x2+y2+Dix+Eiy

+Fi=0。

和C2：f2(x,y)=x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点

的圆系方程为：

x2+y2+Dix+Eiy+Fi+入(x2+y2+D2x+E2y+

F2)=0(入W—1)

若入=—1时，变为(Di—D2)x+(Ei—E2)y+Fi

—F2=o,

则表示过两圆的交点的直线。

其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两

圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此

直线表示与两圆连心线垂直的直线。

(3)过直线与圆交点的圆系方程：

设直线L：Ax+By+C=O与圆C：x2+y2+Dx+Ey+

F=0相交，则过直线L与圆C交点的圆系方程为x2+

y2+Dx+Ey+F+入（Ax+By+C）=0。

例3、求经过两圆x2+y2+6x—4=0和x2+y2+Gy-

28=0的交点，并且圆心在直线x—y—4=0上的圆的

方程。

解析：根据（2）设所求圆的方程为：x2+y2+6x-4+

入（x2+y2+6y—28）=0o

即（1+入）x2+（1+入）y?+6x+6入y—（4+28入）=

0o

33K

其中圆心为（TTi'm）,

又该圆心在直线x-y-4=0上

即,+干厂4=。，得入=—7。

，所求圆方程为x2+y2—x+7y—32=0。

例4、求经过两条曲线x2+y2+3x—y=0①和3x2+

3y2+2x+y=0②交点的直线方程。

分析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再用

两点式写出直线方程。若用（2）中方法则非常简单。

解析：先化②为圆的一般式方程：

22£l

X+y+3x+3y=0（3）

由①一③得：（"9+（一"9=。

即7x-4y=0o此为所求直线方程。

例5、求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+l=0的交

点，且过原点的圆方程。

解析：根据（3）,设所求圆的方程为：

22

x+y+2x-4y+1+X（2x+y+4）=0o

即炉+/+2（1+4+（入-4）丫+（1+4入）=。，因为过原点,所以1+

41=0,不导K=4o

317

故所求圆的方程为：/+r+丁-7y=°。

三、椭圆系

x2,y2

（1）与椭圆FF（半焦距为c）共焦点的椭圆系方

X2,y2

程：KA-c2（入>C2）

（2）与椭圆7+彦”具有相同离心率的椭圆系方程为

22

xy

b”（X>Q）o

例6、求经过点（2,-3）,且与椭圆9x2+4y2=36

有共同焦点的椭圆方程。

解析：因已知椭圆焦点在y轴上，且C2=5,

则可设所求椭圆方程为：T+I75=1

49.

又经过点（2,—3）,代入方程得：解得：X

=10或入=—2（舍去）

例7、求与椭圆彳+百二|有相同离心率且经过点（2,-

石）的椭圆的标准方程。

解析：由题意，设所求椭圆方程为

x2v2

L_+2_=t（t>0）

43o

2?（-君）2

♦.•椭圆过点（2,一石），故，=彳+下-=2。

故所求的椭圆方程是不方。

三.、双曲线系

X*y2

（1）与双曲线F”共焦点的双曲线系方程：

X2y2

X+C2-X=1（0<x<c2=

x2_y2

（2）与双曲线丁共渐近线的双曲线系方程为

亡-e=九

a2bL（入W0）

（3）等轴双曲线系方程为：x2-y2=X（入WO）

例8、求与双曲线而一5=1共渐近线且过点A（2万,-3）

的双曲线方程。

分析：一般解法是分类讨论，还需解方程组。

利用（2）可简化运算。

解析：设所求双曲线方程为：

x?_/

I?"T=X（入W0）

因为过点A（2后,-3）,

1291-1

所以话厂办-4O

x2_y2__1

所求双曲线方程为：1?_T=_4

y2_x2

即7-7二1。

说明：应用曲线系方程不当时也会失效。

例9、求以圆x2+y2=5与抛物线y2=4x的公共弦为

直径的圆的方程。

分析：常规解法是：

二+尸=5,解得二中=1

由[y2=4x[71=2172=-2

得圆方程：（X—1）2+y2=4

若用曲线系方程思想，则可构造方程为

(x2+y2-5)+入(y2-4x)=0(*)

即x2+(1+入)y2—4入x—5=0。

则入=0时为圆方程，显然为已知圆，不是所求圆。

错误原因分析：由已知两曲线方程得到方程(*),