高中数学高考解答题突破(三)　数列的综合应用

考试注意事项

1.进入考场时携带的物品。

考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅

笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡

皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。严禁携带手机、无线

发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正

带、助听器、文具盒和其他非考试用品。考场内不得自行传递文

具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒

考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。

2.准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填

写姓名、准考证号。填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清

的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定

严肃处理。监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自

己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员

要求更正。

3.考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间

参考。

考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以

考点统一发出的铃声信号为准。

高考解答题突破（三）数列的综合应用

突破“两归”——化归、归纳

［思维流程］

错位相减法

数列解答题倒序相加法

基本量裂项相消法

化

等差（比）数列分组求和法

归

基本方法

公式法

累加法

累积法

待定系数法

归*类比归纳

纳不完全归纳数学归纳法

［技法点拨］

1.由于数列是一个特殊的函数，也可根据题目特点，将其化归为函

数问题，或通过对式子的改造,使其化归为可运用数列问题的基本方法.

2.对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出

发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般

性数学问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明.

考向一等差、等比数列的证明

证明数列是等差（比）数列的两种基本方法

1

（1）定义法：即+i—斯=。（常数XN*）=>｛。"｝是等差数歹（J；

4〃

q（q是非零常数）=｛劣｝是等比数列.

（2）等差（比）中项法:2an+1=1"+an+2（nGN*）=>｛an｝是等差数列;

成+1=an-an+2（nGN*,a〃WO）今｛an｝是等比数列.

【例1】（2018•江西七校一联旧知数列｛”“）的前”项和为S..”i=2.2S“=<"+l）z“„

二^^2•数列｛九｝满足仿=1加瓦+1=A•2a".

>切入点：利用公式法求

（D求证:数列｛%｝是等差数列•并求数列储”）的通项公式；｛4｝的通项公式.

（2）处妙匹楚乙蹩色盘曼缪色？并说明理由.

>关键点：先归纳仇，仇•久

为等比数列时的A值.再

论证.

⑴2S〃=G——/b一转化递

[解题指导]

及a〃与S”的关系式推关系式

等差中项法证（a〃）为等求求”｝

"差数列

通项公式

等比数

由斯得一两式相除得｛4｝列定义|确定适合等比数

“）与关系式「的递推关系式

列｛“J的A

[解]⑴由题意知,2S”=（〃+1）2。”一解斯+1,

2

2S”+]=（〃+2）,“+]—（7/+1）<2„4-2，

两式相减，并化简得（“+1）2（a〃+2+a”）=2（〃+1）20”+],

J化归：利用时,斯=

・・・｛斯｝是等差数列.「Si转化逆推关系

由2S]=4aJ—g，可得a2=2a1、

・•・数列｛斯｝的公差为2,故即=2〃.

（2）由题意知，4"+i=/l・23=2・22M,

6“+也+2=4・2限1=2・223+1）,

两式相除，可得可+2=46”，即｛9*和｛①”-1｝都是以4为

公比的等比数列.

•:b］.=X♦2"1=4A9仇=1,，〃2=4A,优=4.=4,

要使数列也｝是等比数列，则竺;庙疏由7m良帛R

士处三.数列，归纳出；i的值.；

1'-----------------------------------

又义＞0,，2=攵~.

・2W-1即。〃=则

r.h2n=24”-1=2,Z＞2W-I=22"-2,2"-1,J

%+1=26〃,

因此存在；1=4，使得数列论〃｝是等比数列.

名师点拨A

巧造等差或等比判定方法

⑴判断一个数列是等差（等比）数列,还有通项公式法及前n项和

公式法，但不作为证明方法；

（2）若要判断一个数列不是等差（等比）数列,只需判断存在连续三

项不成等差（等比）数列即可；

（3）0=隔一|%+1（〃22,〃£?0是｛必｝为等比数列的必要而不充分条

件,也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.

［对点训练］

1.（2018•常州一模）已知n为正整数，数列｛&｝满足即＞0,4（〃+1）或

—〃原+1=0,设数列｛4｝满足b”琮.

⑴求证：数列〒为等比数列;

⑵若数列｛乩｝是等差数列,求实数t的值.

［解］⑴证明：..•数列｛斯｝满足为＞0,4（〃+1）解一的七产0,

a〃+1

2\]〃+1a”=].即

\ln+1W

数列是以2为公比的等比数歹

(2)由(1)可得隼=a1义2”-1,...4=刀吊/”一1.

7n

..._感.,_a\,_漏

•bn——,..b\——,b2—^3—

V数列的是等差数列,2X胃部崇

2X2吊X4,3a?X42

---

即16r=F+48,解得，=12或r=4.

经检验，当A12时功力3也不成等差数列，故舍去.

当t=4时也=崇=竽，数列｛瓦｝为等差数歹山所以/的值为4.

考向二数列的通项与求和

1.求数列的通项公式的方法

（1）等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；（2）已知即与，

S］9〃=1,

间关系式时适合用。"=。。求得；（3）依据递推关系变形

S-Sn-\92

为等差（等比）数列求得.

2.求数列的前〃项和的方法

结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位相减、分组求和

等方法.

【例2】已知数列｛%｝的第n项和S,,=3,/+8".＞是等差数列,且切入点:利用公式法求｛斯｝

的通项公式,利用基本员法

（1）求数列出/的通项公式；

■＞求仍“｝的通项公式.

（Q4-1）«+1

（2）令的=-（；；_2"•求数列｛金｝的前〃项和T”.

关键点:分析Q的结构特

＞征.选取恰当的求和方法.

〃>2时,a“=

［解题指导］(1)*求出即

s〃—Si

求出bn

由an，b〃结合特征选错

(2)得结果

得出Cn位相减法求和

［解］⑴由题意知当时，斯=S「SLI=6〃+5.

当〃=1时，a］=S］=ll,-

-化归：利用当〃》2

符合上式."

X时，S”—S„-i求得

/

所以a〃=6〃+5.;玛，从而得出等差数

设数列｛6〃｝的公差为d.列的通项公式

Q］=仇一仇911=26jId»(b\=4»

」一即解得

（。2—。2十。3，17=2仇+34,1"=3.

所以6”=3，+1.

⑵由⑴知

又T”=q+c2H---He”，

得T„=3X[2X22+3X23H---F(M+1)X2H+1],

2T”=3X[2X23+3X24H---b(n+l)X2n+2],

两式作差.

得一T〃=3X[2X22+23]------卜2”+1一(〃+1)义2"+2]

411—2〃)

=3X4+^^―2—(〃+l)X2"+2:

1-Z;化归：利用

=一3〃・2〃+2,错位相减

所以T=3;/-2〃+2.法，化归为

等比数列

求和

|名师点拨A

求解数列通项和前n项和的关键步骤

算结果一进行严格的推理论证，准确得出求和结果.

［对点训练］

2.(2018•南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列｛斯｝

中,。1=2,且2。］,。3,3。2成等差数列.

(1)求等比数列｛斯｝的通项公式；

(2)若数列｛6｝满足乩=(〃+2)k)g2为，求数歹出)的前n项和Tn.

［解］(1)设数列｛分｝的公比为以

2。1,。3,3。2成等差数列,，2的+3。2=2。3,

即即1+3。1夕=加收2,

化简得2个一3^—2=0,解得9=2或q=一；.

*.*<7>0,:.q=2.

ai=2,/.数列｛恁｝的通项公式知=aq"-i=2",neN*.

(2),/6”=(〃+2)log2斯=n(n+2),

111J

**bn如+2)

Tn=7~+7--\-------------\-7~

b\b2bn-\bn

=if1+l__!_____L.]

12n+1n~\~2>

_32/i+3

一厂2(崔+3"+2)，

考向三数列与不等式的综合应用

数列与不等式的综合问题主要体现在以下三方面：

(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较

大小，或者借助数列对应函数的单调性比较大小,还可以作差或作商比

较大小；

(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为

函数的最值问题；

(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题，此类问题常通过构

造函数证明,或者直接利用放缩法证明.

【例3】(2018•贵阳一模)已知正项数列｛4｝的前"项和为S,,.且5=2,二切人点：利用““与S”关

'仁二.......>系式求通项.

亩汆数列｛6｝的通项公式；

,11〃1关键点：适度的对通项进

⑵设数列仁｝的前，，项和为求证:而<T,行变形、放缩.以达到便于

1..............-....................>求和的目的.

公式法借助放缩法转化

［解题指导］

求为裂项相消求和

证出结果

［解］⑴•.•4S〃=a”s+i,“£N*,

••4a又。］=21・。2=4・

当〃>2时，45〃_1=即一1"〃，

得^an=an•a,l+}一。i•an.

由题意知a〃WO，，即+］—a〃—1=4.

；化归：利用a”=Sw：

①当〃=24+l,4GN*时，a2A+2—:一S”7进行转化；

3=4,

即。2，。4,…，。2A是首项为4,公差为4的等差数列，

，。24=4+"-1)X4=44=2X24；

②当n=2k,h£N*时，做"1一。2-1=4,

即即，。3,…，。2-1是首项为2,公差为4的等差数列，

”’1归纳：由〃为奇数、

⑵一1).［偶数归纳出许

综上可知,a„=2w,w€N*.

111/

(2)证明：•••2=白>77J化归：转化成裂项

al4/4〃(〃+l)<

相消求和的特征

11

In〃+l/'

1-------1-------------1—•••-I----

22372

--------(1-----------------\=---

72+1)4\«+1)4w+4*

又•・•3=VT—=J化归：转化成裂项

a,4b4〃1〈知、舌七4t4上,

tJTH/月r1BJl/lit

1_1/1、-------------------

(2〃-1)(2/z+1)2\2n—1

2"+1)

-|-----1——---------------\=—（1----------,

2n—12〃+1J2\2/z+l/2

即得品

|名师点拨A

“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这

种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列

中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问

题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列.审题时应

注意归纳法的运用，要看清项及下标的特征,要注意下标的范围.

［对点训练］

3.（2018・临川质检）已知数列｛斯｝满足对任意的〃£N*,都有出+

厉+…+碗=（。］+。2+…+。”）2,且a”>0.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

］

(2)设数歹『ac?+2'的前n项和为工，不等式S〃＞glog“(l—a)对任意

的正整数n恒成立，求实数。的取值范围.

［解］(1)由0+龙+…+底=31+©+…+。”)2知

山+龙+…+?+1=31+。2+…+4"+1)2,

贝I谓+1=(。］+。2+…+恁+1)2-(。1+。2+…+斯)2=即+1［2(。1+。2

H----Pa“)+a”+i］,

又斯＞0,所以点+1=2(。］+为+…+即)+即+1,

则或=2(。1+比+…+得-1)+。”(〃12),

故a咨+1a咨an+1,所以a“+1a”1•

又出=a彳,所以0=1.

又厉=如+。2,所以。2=2,所以做一m=1,即当心1时，有an+\~

Cln—1,

所以数列｛&｝是首项为1,公差为1的等差数列，故an=n.

⑵由(1)知an=n,

11LJ

则

anan+2n(n+T)n+2j

所以邑=土+£+…+土…+g

/42(〃+1〃+沙

则Se-S尸由一＞。,所以数列⑸｝单调递增，所以⑸嬴

1

=5=3-

要使不等式S,＞|log“(1—a)对任意正整数〃恒成立，只要;＞；log«(1

—a)即可.

易知0<4<1,则1—Q〉Q,解得0<Q<g.

所以实数a的取值范围是(0,

专题跟踪训练(二十)

1.(2018•内蒙古包头一模)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”,且S〃=

2an—3n(n£N*).

⑴求的值.

(2)设乩=斯+3,试说明数列｛乩｝为等比数歹U,并求出数列｛斯｝的通

项公式.

［解］⑴当n=\时，由S=0=20—3X1,得0=3；

当n=2时，由52=。1+。2=2。2—3X2,可得做=9；

当〃=3时，由83=0+02+43=243—3x3，得。3=21.

(2)因为Sa=2a,?—3〃,所以5”+1=2g+1—3(〃+1).

上述两式相减得“+i=2a〃+3,所以1+3=2(勾+3),

=

所以bn+1=2/?”,且b\6.

所以数列｛乩｝是以6为首项,2为公比的等比数列.

所以如=6义2"一】.

所以斯=儿一3=6乂2，「一3=3(2"—1).

2.(2018•长春实验中学一模)已知在数列｛斯｝中以1=1,当n22时,

其前n项和S”满足%=呢1”一,

⑴求Sn的表达式.

⑵设勿=总不求数列也｝的前n项和Tn.

2〃十1

［解］⑴当仑2时，将q“=S〃-S一代入第=。［工一1)中，得2S„Sn

-i+S"-S"-i=O,化简得T=2，w=1,...数列'是以1为首项,2

Q"3"-i

为公差的等差数列.

...丁=2〃一］,即S~~

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2/i+T

3.已知各项均为正数的等差数列｛斯｝满足：。4=2。2,且。1.4,“4成

等比数列,设数列｛斯｝的前n项和为S”.

(1)求数列｛斯｝的通项公式.

⑵设数列｛阂的前〃项和为乙,求证：Tn<3.

［解］(1)设等差数列｛斯｝的公差为a

因为44=2。2,且0,4,团成等比数列,即>0,

。1+3d=［。］=2,

所以，k解得JC

〔a「(ai+3d)=16,［d=2.

所以数列｛。〃｝的通项公式为为=ai+(〃-l)d=2+2(〃-1)=2几