高中数学：函数压轴大题详解

高中数学：函数压轴大题详解

例1..函数=+(〃7—3)X+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实

数m的取值范围为m<1

A>0

解析：显然加40成立，当加>0时，<m-3=>0<w<1

----->0

、2m

例2.设函数y=/(x)在(一叫+8)内有定义.对于给定的正数K,定义函数

Y)fix)<K

/(x)=八J，八—，取函数〃x)=2—x-eT,若对任意的xe(—8,+8),恒有

K,f(x)>K

fk(x)=/(x),则K的取值范围是K>1

解析：2009湖南理，由定义知，若对任意的xe(-00,+00),恒有人(幻=/(x)即为/(x)<K

恒成立，即求/(x)的最大值，由/'(x)=l-"*=0,知x=0,所以xe(—8,0)时，

/,(x)>0,当xe(0,+(x)时，/㈤<0,所以/(x)1rax=/(0)=1,即/(x)的值域是

(-8,1]

例3.已知函数/(x)=loga(2+ox)的图象和函数g(x)=log](“+2x)(a>0,aH1)的图

象关于U线y=6对称(b为常数)，则a+b=2

解析：/(x)+g(x)=2b^>logu(2+ax)-loga(<7+2x)=2h,x=\,h=0;x=l,a=2

例4已知定义在7?上的函数R(x)满足方(8+N)=万(%)+万(丁),当x>0时,F(x)<0.

F(2.kx一F(k—4)

若对任意的xe[0,IJ,不等式组J,'均成立，则实数A的取值范围

卜'方-kx)<F*-3)

是.(-3,2)

解析：F(0)=0,令歹=-*得/(x)奇函数，设X1<X?,b区一X])=Rx?)+"(f])

?

F(X2)-/(X1)<0.R(x)减函数,

,/(O)<0

x2-2fcc+(A:-4)<0=><=>一3<4<4

2kx-x2>k-4[F(I)<0

x~-kx>k—3r2+34

k<^—^-=t+--2(\<l<2)^k<2

x+1t

V2

例5.已知函数j=Jl-x+Jx+3的最大值为〃，最小值为/«,则二的值为

M2

解析：法一：平方；法二：向量(1,1),(正工,而$)数帝积

例6.设函数/(x)=|x-1『一21T的四个零点分别为孙士、刍、七，

/(x1+x2+x3+x4)=_;19

解析：令,一1|=/,g(/)=l3-2'(l>0)向出)，==2'图象，它们在第一象限有两个交

点，则,一1|=。，|x-l[=G=X]=1+t],x2=1-Z],x3=1+t2,x.y=1-z.

Xj+x2+x3+x4=4,/(4)=19

例7.定义在R上的函数y=f(x),若对任意不等实数x,,x,满足〃正<0,Hx,y

X]-x2

满足不等式/(/一2x)+/(2j，-V)40成立函数y="X—1)的图象关于点(1,0)对称，

则当14x44时，2的取值范围为[-1,1]

x2

Vfx-y>01V

解析：x~-y~>2(x—y),(1)x一歹=0时，二=1成立；(2)<"=>——<—<1

x[x+y>22x

x-y<0

(3)<x-^-y<2无解

1<x<4

例8.已知>0,。w1,若函数/(x)=log〃(or2-工)在[3,4]是增函数，则a的取值范围是

________。，+℃)

.>1

6|

解析：g(x)=ar2-x对称轴是x=」一,当一W3时，,

a>1=>。>1；当一24时,

2a2a2a

g(3)>0

a<l

8

«0V4<1=°

g(4)>0

例9.若直角坐标平面内两点P,0满足条件：①P,。都在函数/(x)图象I-.；②P,0关于原

点对称，则称点对(P,0)是函数/(x)的一个“友好点对"(点对(P,0)与(0,P)看作同一

2x2+4x+1,x<0

个“友好点对”).已知函数/(x)=<2，则/(x)的“友好点对”有

[e*

个2个

2——

解析：数形结合，即看歹:三户^。关于原点对称函数y=-2e、,x409

y=2x2+4x+l,x<0有几个交点。

当x=-l时，y=-2e-1>-l,故有2个交点

2x3,1

77rx丐用

例I。已知函数/⑴=,,函数g(x)=Qsi[ZX)-2a+2(q>0),若存

一%+於明]

在西、工2毛［。，1］，使得/(X1)=g(X2)成立，则实数。的取值范围是

中］

解析：即两函数在［0J上值域有公共部分，先求/(x)值域=<=[0,1]，

L。』

O

2-2a<]

3

g(x)G[—2。+2,2——4/J>故v3

2--o>0

I2

例11.设/(x)=x2+ar,{x|/(x)=0,xeR}={x|/(/(x))=0,xeR}x0,则满足条

件

的所有实数a的取值范围为0<a<4

解析：/(x)=0=x=0或x=-。；/(/'*))=0=>/*)=0或/(x)=-。，山

f(x)=0=>X=0或x=-〃，则/'(x)=-〃卬/+ar+〃=0无解或根为0或一a,

A<0=0<〃<4,或4=0

例12.如图为函数〃x)=«(0<x<1)的图象，其在点”(/,/(7))处的切线为/,/与y

轴和直线y=l分别交于点P、Q、点N(0,I),

若ap。邸的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为

2

解析：令〃=x(0<x<l),/)=5A=1(I-1x)(2x-x)

=—(2-x)(2x-x3),g(x)=4A=x?-4x2+4x

4

32

g'(x)=(x-2)(3x-2),l<46<—

例13.已知函数/(x)=卜%-1丫+3,&(》)=》2-2瓜+4,若对任意X]e(0,2),存在

44x

%e[1,2],使/(x,)>g(X2)，则实数b的取值范围为b>—

解析：即/(X)min?g(X)mM，求导易得“刀濡=/。)=:，曲幻对称轴是》=力

当AWI时，g(x)增，g(x)*=H)=5—矛盾；

当1<6<2时，g(x)min=gS)=4-当；

当b22时，g(x)减，g(x)min=g(2)=S-4b<^-=>b>^-=^>b>2

2X

例14.已知函数/(x)定义在正整数集上，F1.对于任意的正整数x,都有

/(x+2)=2/(x+l)

且〃1)=2J(3)=6,则〃2009)=4018

解析「实际上是至亲数列问题

例15.如果函数/(x)=；/—；曲'2+(。—I)x+I在区间(1,4)卜.为减函数，在(6,+8)

上为增函数，则实数”的取值范围是L5,7J

解析：/'(1)<0,/<(4)<0,/'(6)>0

例16.若关T-X的方程，一1卜2a=0有两个相异的实根，则实数a的取值范围是

解析：数形结合,、一1|=2",对。分0<。<1和a>1讨论

例17.已知函数危)=:,若函数j，=/(x+2)-l为奇函数，则实数“=________-2

x+a

解析：/。+2)-1=」^-—1=一“，显然。=一2

x+2+ax+2+a

有人说a=0可以吗？不行！此时，,/*)=l(xH0),显然v=/(.r+2)-l定义域不关

于原点对称！

例18.已知可导函数/(X)(X€&)的导函数/'(X)满足/''(X)>/(X),则当。〉0时,

/(a)和e"/(0)(e是自然对数的底数)大小关系为f(a)>e0/(0)

解析：构造函数造(x)=/,9(幻=o,E(X)增,

e'(e'Y

血>半=〃。)

例19.若对任意的xe。，均行力(x)«/(x)W人(x)成立，则称函数/(x)为函数<(x)到

函数力(x)在区间。卜.的“折中函数”.已知函数

/(x)=(k-l)x-l,g(x)=0,〃(x)=(x+l)lnx旦/(x)是g(x)到h(x)在区间[l,2ej上的

“折中函数”，则实数上的值是2

解析：即要求04(%-1)》一1与(丫+1)111*在[1,20恒成立.对于左边：x=l时，k>2,

x=2e时，^>1+—,故422；右边：-I<(X+1)lnX+l,对右边函数求导后得增

2ex

函数，则左一12=k<2,综上，k=2

例20.已知函数/(x)=alnx-x2,若对区间(0,D内任取两个不等的实数p,q,不等式

/(0+1)7(>1)>1恒成立，则实数&的取值范围是[10,+8)

p-q

解析：1/(n〃+D1T/("l)Tq+D]>0,故g(x)=/(x)-x是(1,2)上增

(P+1)-(夕+1)

函数,g'(x)=g-2x—l20在(1,2)上恒成立，则aN2x2+x

x

例21.设函数/(x)的定义域为D,如果存在正实数人，使对任意xe。，都有x+Ae。，

且/(x+幻〉/(x)恒成立,则称函数/(X)为I)上的“k型增函数”.已知/(x)是定义在R

上的奇函数，且与x>0时，/(x)=|x—a|-2a,若/(x)为R上的“2011型增函数”，则

实数。的取值范围是.。<丝

6

解析：本题类似于第24题，但由于函数不同，方法截然不同，本题对a分止负0三种情况

讨论，利用数形结合较好。(1)当。<0时，如图单调递增显然成立；(2)当a=0时，

/(x)=x,显然递增成立；(3)当。>0时，如图

只要保证左边平移2011后图象全部在原来图象上方即可，注意到图中两直线的平行，且距

离为5。-(一“)=6a,故必须且只需6。<2011na<邛」

例22.设函数/(x)的定义域为。，若存在H零实数/,使得对于任意XWM(MQQ),有

x+leD,且/(x+/)N/(x),则称/(x)为。上的/高调函数，如果定义域是[0,+8)的

函数/(x)=(x—1)2为[0,+8)上的加高调函数，那么实数掰的取值范围是一[2,+00)

解析：即存在实数机使得对Vxe[0,+8)都有(X+/7—1)2N(X—1)2恒成立，即

用(2x+a-2)20恒成立，当THNO时，制N2-2x恒成立，即722；当〃？<0时，

，“42-2x恒成立，而2-2x无最小值，此时机不存在

注：本题和第23题定义相同

例23.设函数/(x)在夫上的导函数为/(x)，H2/(X)+X/(X)>X2.T列不等式在7?上恒

成立的是13.(把你认为所有止确命题的序号都填上)

⑴/(x)>0;(2)/(x)<0;(3)/(x)>lx2;(4)/(x)<3

44

解析：注意到52/(》)一1*4]'=2力(》)+工2/'6)-.丫3=.42/(幻+必'，(》)一》2],下面

4

分x正负讨论即可。

例24.己知/(x)=log3X+2(xe[1,9]),则函数歹=1/(x)]2+/。2)的最大值是

.13

解析：注意定义域口,3]

例25.已知奇函数/(x)=log“土上?(a>0且。#1)在区间(。一3,r)上的值域为(1,+8),

x-2

则a-r=2或5—2&____

x+24

解析：由奇函数可求出〃?=2,当时，g(x)=-——=1+-----佳(2,+8)上恒正且

X-2x-2

单调递减,在(-oo,-2)L恒负,故/(X)在(2,+8)上单调递减，则

7(r)=l1-|-----=ci

r-2=＞。一厂=2同理，当0＜。＜1时，g(x)在(一8,—2)上

J’("3)=+oo

。一3—2=0

"-3)=匕

恒正，H.单调递增，则V

J\r)=+8

r+2=0

例26.已知函数/(x)的导函数/'(x)=2x—9,FI./(0)的值为整数，当

xe(〃,〃+l](〃eN*)时，/(x)的值为整数的个数有FI只有1个，则”=1

解析：设/(x)=*2—9x+c,c为整数，由此得/(〃+l)—./(〃)=2〃—8,显然当〃片4

时，/(〃+1)—/(〃)=2〃-822,不符合题意；当H=4时，/(4)=/(5)=c—20,注

意到二次函数/(x)=x2-9x+c,顶点/(|)=c一号，显然在区间上一F，c—20J上整

数只用,一20,适合题意,a»=4

巧

例27.若函数/(*)=/+2。w+4/—3的零点有且只有一个，则文数。=

解析：令|x|=f,则〃x)=产+2川+4]—3必有一个0根，且另一根为负根，由

/(0)=0=a=士序，经验证“

例28.已知定义域为1)的函数f(x),如果对任意xeD,存在正数K,都有If(x)IWK|xI成

立，那么称函数f(x)是I)上的“倍约束函数”，已知下列函数：

®f(x)=2x®/(x)=2sin(x+-)；®=©/(x)=-^—,其中是“倍约

4x-x+1

束函数的序号是④

解析：①[2乂42忖；②数形结合不可能存在左使|2sin(x+?)区左向恒成立；

、Y—I

2一(xNI)成立：④

x~-x+1

例29.若函数/(x)=a*(a＞1)的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是_(1,ec)

InY

解析：等价于方程a"=x有两解〃?,〃，即xlna=Inx有两解，Ina=---=g(x).

g，(x)=RX=O,当x=e时有最大值，故0<lna<g(e)=，

x-e

例30.已知定义在R上的函数

/(x),g(x)满足Z畀=",且/'(x)g(x)</(x)g'(x),

g(x)

段+止D=3,则数歹(］｛包｝的前10项的和是___________-

g(l)g(-D2g(〃)’1

解析：令〃(x)=/豆，则由条件知"(x)<0,故0<a<l,a+a_|=-,得a=L

g(x)22

例31.已知函数f(x)=log/加_X+g)3＞0,。wD在工勺卜恒正，则实数a的取值

J8、，3、

范围是.(5,3)D(/，+8)

I3

解析：分类讨论.当0＜。＜1时，有条件如g(x)=，a2—x+]在口,寸上值域7(0,1),即

1

1一

a>2

13x-

0<CIX~—X+a<1在［1,—］上恒成_1L,则,

x+一

a<_2

x2

：当”>1时，d—x+，>I在［1,31上恒成立，即a>,(■!■+I)?-L,得

29222x2

3

a>—

2

|3-v-«(x<0)

例32.已知函数/(%)=t/(x-l)(x>0)若关于X的方程/(x)=x有且仅VI二个不等实

根，则实数a的取值范围是[2,3)

［l-a<0

解析：数形结合“若1一。＜0，则3-。＞0

3-a＜I

0<1-6/<10<a<]

若0<l—aSl,则必须《=<.c矛盾!

1<3-67<2\<a<2

例33.函数f（x）=|f—a|住区间［-1,1］上的最大值"（a）的最小值是____-

2

1-a(a<0)

2

x—a(a<0)1-u(0<a<^)

解析：/(%)=>,,।,画图可知，M(a)=■

|x2_do>0)

4(。>；)

例3d.若关于x的方程，一ax2卜x有不同的四解,则a的取值范围为.a>2

解析：首先可知xNO,/—改2±x=0即x=0.x2—ax+l=0/2—冰一1=0共有四个

不同解，而X?-依—1=0的A=。2+4>0,有两个不同解，但正根只有一个

x="业+4（负根舍去），且不为0；则方程--仆+1=0必才两不相等正根，则

△=“2-4>0=">2

例35.37.已知。力了为正整数，方程冰2+bx+c=0的两实根为王,吃（王。七），且

|西|<1，则a十力+c的最小值为.11

A=/>2—4ac>0,

L

解析：依题意，可知（芭+X2=--<0，从而可知西/2£（一1，°），所以有

C八

xxx2=—>0,

h2-4ac>0,b2>4ac,

/(-I)=<7-6+c>0,=><+又a,6,c为正整数，取。=1,则

c,c<a.

x[x2=—<1.

,■a

a+\>a>b,所以。？之〃>4。。=4。=>。>4.从而5,所以〃>4。。220.

乂6<5+1=6,所以6=5,因此a+b+*最小值为11.

卜面可证c22时，c/>3,从而/>4acN24,所以625.

又以+c>bN5,所以a+cN6,所以c/+/)+cNll.

综上可得,a+b+c的最小值为11.

例36.已知4>0,设函数己(x)=I。；：'。；：：)07+sinx(x€［-“,4］)的最大值为M,最小值

为N,那么M+N=.4016

2009'—12009'一1

解析：/(x)=2008+^^--+sinx,注意到丝丝~^和sinx都为奇函数，故对函

2009'+12009”+1

2009,-1

数/(工)考虑构造新函数8(幻=亚历7币+§出工为奇函数，而/(x)=2008+g(x),在

区间［一凡Q］上由奇函数的对称性知g(r)+g(x)=0,故M+N=2008x2=4016

例37.已知。NO,若函数/(x)=«宇匚在-1,1］上为增函数，则。的取值集合为

%-+1

—{1}

解析：/，(x)=2(x+,)(l］㈤之0在［TJ上恒成立，即g")=0？+(02一］口一440

(x'+l)-

何-1,1］上恒成立=广=>a=l

y**+[X>0

'"’则满足不等式/(1一/)>/(2刈的X的取值范围

)1,x<0,

是_(-1,>/2-1)

1—x->2x

解析：注意函数/(X)的图象和单调性，则<，=>xe(-l,V2-l)

1-X2>0

例39.已知函数〃x)=9X二+?在(1,+力)上是增函数，则实数a的取值范围为.

\Jx-a

解析：/(x)=Jx-a+:+,当“4—3显然成立，当“>-3时，-3<a<—I

ylx-a

(3a-l)x+4a(x<1)

例4().已知函数f(x)=,在R不是单调函数，则实数。的取值范围是

bg“x(x>l)..........

【答案】(0,3=[”1)=(1,+功

解析：当。〉1时，log“x和(3。-1)工+4。都递增，则当x=l时,

3a—1+4。=7。一1>0,晶然不是单调递增函数，适合题意；当0<。<1时，从反面考虑,

f3a-l<01111

由于log“x递减，若函数递减，则《=>—<«<—.此时行(0,—)3—1)

7<a-l>07373

例41.已知/(x)=|x2-\\+x2+kx,若关丁x的方程/(x)=0在(0,2)有两个不同的解，

则左的取值范围是

7

【答案］—1

2

fcr+1,0<x<I

解析：/(x)=\,画图象，当人20时，显然在(0,2)上不可能有两解，

2x+丘-l,x>1

当〃<0时，若丘+l=0=x=—4e(0,l),即左<一1时，只需要2/+Ax-1=0在(1,2)

k

77

有且只有一个根，即/(1)-/(2)此时得到一/<人<一1；当左二一1时

两根相等都是1,不合题意；当一1<人<0时，自+1=0在(0刀无解，则要求

/(》)=2/+质一|在［|,2)有两个不等实根，但此时七产2=-；<0不合题意

例42.已知a<0,bW0,c>0,且，力2-4ac=b-2ac,则/-4ac的最小值为

__________4

解析：-44c=h-2ac=ac=b—1=>b?-4ac=(6-2)2

而b-24c20=b—23—1)20=bW2,X6<0,故(b—2『N4

例43.已知/(x)=2"可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数Mx)之和，若关于x的不

17

等式flg(x)+h(2x)20对于xw［1,2］恒成立,则实数。的最小值是

~6

7r।?-x尸_,2x^-2x(2,一2一，)2+2

解析：力(X)=、：,g(x)=q^，则q-

22.2—22'—2T

315217

令2*-2-'=/,则由2y2,4],得/呜予，,故上

例11已知定义在R上的奇函数/(x)，满足/'(x-4)=-/(x),且在区间［0,2］上是增函数,

若方程f(x)=m(m>0)在区间［一8,8］上有四个不同的根须,孙王34,则

Xj+x+x+x=

234*-8

解析：数形结合类似54题

例45.设函数/(x)=yjax2+hx+c(a<0)的定义域为D,若所有点(.v,/(/))(.v,/e£))构

成一个正方形区域，则。的值为-4

解析：由题意知/(x)的值域［0,后［］与共定义域区间长度相同，即|花-七|=后［

例46.函数/(x)=X，-3x+I,y4={x|/<x</+l}.8={x||/(x)匕1},集合4c8只

含有一个元素，则实数/的取值范围是(0,V3-l)

解析：直接解不等式|/(幻口1。

例17.已知定义在R上的函数〃x)满足/⑴=2,则不等式/卜2)<』+1的解集

为(-8,T)U(1,+8)

解析：由/"(x)<1=/*(%)-1<0=F(x)=/(%)-1减函数,

/12)</+]=/(12)—工2</(])_]=>X2>1

9

例48.存在x<0使得不等式/<2_|X_/|成立，则实数/的取值范围是(--,2)

4

解析：数形结合或者存在x<0使一工|<2-，=>x2+x-2</<-x2+x+2成立。

例49.已知函数心)=八2"?"+"-4,"‘：无论取何值，函数尸(工)在区间(-8,+8)

x-x.x>I

总是不单调.则a的取值范围是___________a<-

一2

解析：因必存在/使y=/-x在x>r时为增函数，故若则时

/(x)=(2a—I)x+3“—4也单调递增，与任意/都不单调矛盾，当显然/(x)不

单调

例J50.52.设函数/(x)=|x|x+8x+c,则下列命题中正确命题的序号有

①©⑷.(请将你认为正确命题的序号都填h)

①当力>0时，函数/(x)在“上是单调增困数；②当〃<0时，函数/(x)在〃上有最小值;

③函数/(x)的图象关于点(0,c)对称；④方程/(x)=0可能有二个实数根.

例52.己知函数/(x)是定义在R1:的奇函数，H./(x-4)=-/W*在[0,2]rj(x)是增

函数，则下列结论：①若0<X]<X2<4flXI+X2=4,则/(占)+/(》2)>0：②若

0<%,<x2<4,H.X]+》2=5,则/(石)>/(x?)③若方程/(x)=，〃在[-8,8]内恰有四个不

同的角Xi，%',%，则%+/+W+Z=±8，其中正确的有个3

解析：类似第46题

由图看出①③显然正确，对于②，若X122显然成立，当天<2,则々>3〉4—阳〉2,

注意在⑵4］单调递减，则芭)=/(4一再)>/(々)，故②也成立

例53.已知函数/(x)=〃lnx+(。-1)/+1是减函数，则对于任意的再，ze(0,+8),

|/(^)-/(^2)|>4|x,-x2|的充要条件是.a<-l

解析：/'(x)=-卜+“<0(x>0)恒成立，显然a40,设0<%<x,,则

X

/区)一/(看)N4(X2一七)=一%N4=左「一4nf\x)<-4恒成立,即

r(X)=2("1)/+。<-4(x>0)恒成立，即2(4-l)x2+4x+a<0(x>0)恒成立，乂

X

a<0.而对称轴x=———>0,故必须

a-1

A=16-8(a-l)u<0=>a2-a-2>0=>a<-I

另法：设0<再</，则/但)+4芭2/区)+4》2,构造函数/(x)=/(x)+4x,显然

它在x>0时是单调减函数，故厂'(x)S0=>2(a-l)x2+4x+oS0,以卜.同法一

T=3a2-2a=3(a-1)2-1(0<a<1)=>TG(--^,0)

例55.设meN,若函数/(x)=2x—mJ仁1—%+1()存在整数零点，则，〃的取值集合

为.{0,3,14,30)

解析：令JlO-x=)，0,x=10—/当“=()时，显然适合题意；当〃?声0时，由于

ZmwN,故/wN,由2(10-J)一〃〃一m+10=0=2〃+ml+m-30=0

二>二———二————二—―2〃+4(//=/+1),则勿可能取1,2,4,7,14,28,

/4-1nn

分别检验加值，可得结论

【注】关于整数问题，一般有两种途径：I、转化为分子被分母整除问题(本题即是)：2、

可以先利用不等关系求出整数的一个范围，然后再一一验证.

例56.已知函数/*)=/一/在1=1处切线的斜率为人若g(x)=blnx-q,且

x

g(x)</在(1*0)上恒成立，则实数a的取值范围是a>-\

解析：易得b=1,g(x)<x2=>tz>xlnx-x3=h(x),h\x)=lnx+1-3x2<0对

(1,+8)恒成立(为什么？可以再次求导判断)，故〃2%(1)二一1

例57.若函数/(X)=$3_/x满足：对于任意的王G[0,1]都有|/(不)一/(马)|<1恒

成立，则a的取值范围是__________.--73,-73

33

解析：对于任意的士,占e[0,l]都有—/(》2)区I恒成立，即为最大值与最小值的

差41。而/'(x)=(x+4)(x—“)，若。>0,/(x)草图为

再分a>1与。4I讨论即可，对a<0同理可得

法二：直接分|。|>1和时41讨论即可

例58.已知g(x)=/nx+2,/(x)=x2_3x,4,若对任意的$e,总存在

々€[1,同使得g(xj>/(%),则掰的取值范围是(-1,1)

解析:即为g(x)的最小值大于/(x)的最小值。

例59.对任意实数a,6,定义：F(a,b)=^(a+b-\a-b\),如果函数

,53

f(x)=x-,g(x)=-x+~,

6(x)=—X+2,那么函数G(x)=F(F(f(x),g(x))/(x))的最大值等于1

h(x)X>1

1

解析：直接化为分段函数，分为二段/（x）=<g(x)X<——

2

/(x)--<X<1

2

例60.设王,》2是+&T+1=0的两灰根：与，乙是ar?+板+1=0的两实根。若

巧<X,<x2<x4,则实数。的取值范围是a>1

解析：若。>0,

27

8区）<0=/区）=32<〃“内

=>47>1；若4<0,则8（々）>0=/（七）=>0<〃<1，矛盾

例61.偶函数丁=/*）的定义域为H,当x20时，/（x）=2x—f,设函y=/*）,x£[a»]

的值域为则6的值为_______________.b=-\

ab

解析：a=-±5,b=-l,对biE负讨论，画图后，一！41nb4—1]>0

2h

/(«)=-

当方>0时,一一<0,——<0=">0,/(X)在用,6］上递减,故,b得a,b是方

f(b)=-

程/-2--1=0两根，但求导后发现该方程只有一根，不合题意：当/)4-1时,

y[5+1

h=-\

例62.若函数/(幻=至-(。>0)在［1,+8)上的最大值为苧，则a的值为_V3-1

1

解析：/(x)=」一，当a41时，—1—=—=>«=V3-1,当。>1时，—?==—

1+。32布3

3

=4=一(舍去)

4

r-I-M?

例6人已知/(x)=log〃^——为奇函数，当工£(。一3,尸)时，函数/(X)取值范围为

(1,4-00),则4一尸=2或5—2^/2

x+2

解析：法一：由奇函数定义易得加=2,故/(幻=108。^—，当。>1时，由/(x)>l得

log,,史工>l=2<x<包工，而由于x与/(x)之间是••对应，故(2,孙2)

x-2a-]a-\

=(a—3,尸)na=5'=3：同理，当0<a<I时，(------,2)=(a-3,r)=>a=3-2-72

r=—2na一厂=5-2-72

法二:当。>1时，xe(2,+8)上/(x)单调递减，H./(x)>0,而奇函数决定xe(-8,—2)

时,/(x)<0,要使得值域是(1,+oc),必有(。一3/)a(2,+oo),故

/("3)=+00=

/(r)=l

例64.函数y=和函数y=x+«的图象恰有三个交点，则上的值为1或(

解析:明显过点(一1,0)或与中间相切两种位置

1

例65.设函数/(X)=X-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0e7?,使得/(x。)<0与

g(x0)<0同时成立，则实数。的取值范围是a>7

解析：先考察简单函数g(x)=ax—2。=。(3一2),对“分正负讨论

当。>0时,要使g(/)<0,则x0<2,即要求存在X。<2,使得而/>)对

称釉为x=(当>2n“24时，/(x)在(-2)减函数，则必须最小值

/(2)<0a>7；当■^■<2n0<a<4时，/'('1■)<0na<—2或a>6不成立；同理,

当。<0时，要求/(x)在(2,+8)卜存在x0使得/(x0)<0,则/(2)<0=。>7与。<0矛

用

例66.已知/(x)=log3X+2(xe[l,9]),则函数y=[/(x)『+/(/)的最大值是

__________.13

解析：注意复合函数定义域[1,3]

例67.若不等式“+1082M在xG(_L,2)上恒成立,则实数a的取值范围为—a>\

x2

解析：不等式即为a》-二二1+2W/，在2)上恒成立.而函数

x2

I,

/。)=-土二+2阿闻={2画出图象，所以/(x)在(上，2)上的最大值为1,

*।LlWx<22

X

所以占21.

例68.设。>O.aw1,函数/(x)=有最大值，则不等式]og(㈠-5x+7)>0的

解集为(2,3)

解析：由于lg(/—2x+3)有最小值lg2,故0<。<1

例6n.己知关于X的不等式组14依2+2x+左42有唯一实数解，则实数上的取值集合是

,左=1或左=匕立

2

解析：数形结合，若左>0,则履2+2x+L=2只有-个零点，若左<0,则Ax?+2x+上=1

只有一个零点.

例70.设函数/(x)=x|x-d，若对于任意X1,x?e|3,+=o),X|Hx2，不等式

/(右)-/(*2)>o恒成立，则实数a的取值范围是.«<3

*一X2

解析：有条件知/(x)在［3,+8)上是增函数，画出函数图象(分。20,。<0)

例71.定义在U，+oo)上的函数f(x)满足：①/'(2X)一0『(犬)匕为正常数)；②当2WxW4时,

AA)=1-|A-3|.若函数的所有极大值点均落在同•条直线上，则L―1或2

严格意义上还要验证c=2时是否满足题意，即充分性验证，这里略._____________________

例72.已知二次函数/.(力=色》’十5+4(“<6)在R上单调递增，则“+'+c的三小值

32b-a

为3

解析：由题意f\x)=ax2+bx+<?20在"上恒成立，则。>0,△=//-44cW0.

.a+b+ccr-Vab+aca2-i-ab+-b2l+-+-(-)2

,•-；勺______444a

b-aab-cr-ab-^丁、~