高中数学复数多选题专项训练复习含答案(三)

一、复数多选题

1.已知i为虚数单位，复数Z=-则以下真命题的是（）

2-z

A.Z的共枕复数为B.z的虚部为晟

C.|z|=3D.z在复平面内对应的点在第一象限

答案：AD

【分析】

先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

,故，故A正确.

的虚部为，故B错，，故C错，

在复平面内对应的点为，故D正确.

故选:AD.

【点睛】

本题考

解析：AD

【分析】

先利用复数的除法、乘法计算出z,再逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

3+2/（3+2z）（2+z）4+7z47z-47/..a

z=--------=---------A-------L=-----=-+—,故2=----------，故A正确.

2-i555555

z的虚部为:，故B错，曰=巫逵=叵声3,故C错，

51155

z在复平面内对应的点为故D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数2=。+初的

虚部为匕，不是勿，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共腕复数.

2.对任意4,z2,zeC,下列结论成立的是（）

A.当m,〃eN*时，有z"'z"=z"""

B.当Z],ZzWC时，若z；+z；=O,则4=0且Z2=0

C.互为共轨复数的两个复数的模相等，且|5『=|Z|2=Z-5

D.4=Z2的充要条件是同=%|

答案：AC

【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共飘复数的概念可判断出答案A和C正

确；C中可取，进行判断；D中的必要不充分条件是.

【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确；

取，；，满足，但且不

解析：AC

【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共辗复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取

4=1,Z2=i进行判断；D中4=z2的必要不充分条件是匕|=㈤.

【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确：

取Z1=l,；z2=i,满足z；+z；=O,但Z]=0且Z2=0不成立，B错误；

由复数的模及共轨复数的概念知结论成立，C正确；

由4=Z2能推出㈤=|zj,但|Z||=|Z2|推不出4=Z2,

因此％=Z2的必要不充分条件是团=㈤，D错误.

故选：AC

【点睛】

本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共辗复数的概念，属于基础题.

3.对于复数2=。+初下列结论母用的是（）.

A.若a=0,则a+友为纯虚数B.若a-bi=3+2i,则a=3力=2

C.若匕=0,则。+〃为实数D.纯虚数z的共辗复数是一z

答案：AB

【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得.

【详解】

解：因为

当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；

当时，复数为实数，故C正确；

对于B：,则即，故B错误；

故错误的有AB

解析：AB

【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得.

【详解】

解：因为z=a+加A)

当a=0且时复数为纯虚数，止匕时[=_〃=_z，故A错误，D正确；

当方=0时，复数为实数，故C正确；

a=3(a=3

对于B：a-bi=3+2i,贝叫,.即一故B错误；

-b=2[b=-2

故错误的有AB；

故选：AB

【点睛】

本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题.

2

4.若复数2=——，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()

1+i

A.z的虚部为—1B.|z|=V2

c.z?为纯虚数D.Z的共轨复数为一l—i

答案：ABC

【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求

逐一求解判断即可.

【详解】

因为，

对于A：的虚部为，正确;

对于B：模长，正确;

对于C：因为，故为纯虚数,

解析：ABC

【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简z后得：z=\-i,然后分别按照四个选项的要求逐

一求解判断即可.

【详解】

22(1-/)_2-2z_.

因为ZT+i(l+i)(l—)=丁'

对于A：z的虚部为—1,正确;

对于B：模长忖=&,正确；

对于C:因为Z?=(1-。2=-万，故z2为纯虚数，正确;

对于D：Z的共扼复数为1+i,错误.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能

力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

5.已知复数z满足z(2—i)=i(i为虚数单位)，复数z的共物复数为三，则()

C.复数Z的实部为—1D.复数z对应复平面上的点在第二象限

答案：BD

【分析】

因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.

【详解】

因为复数满足，

所以

所以，故A错误；

，故B正确；

复数的实部为，故C错误；

复数对应复平面上的点在第二象限

解析:BD

【分析】

17

因为复数z满足z(2-i)=i,利用复数的除法运算化简为z=-《+gi,再逐项验证判断.

【详解】

因为复数z满足z(2-i)=i,

iz(2+z)12.

所以z=---=----------=---1-I

2-1(2-z)(2+z)55

12,,

Z=————Z,故B正确;

复数Z的实部为-(，故C错误；

复数z对应复平面上的点(-在第二象限，故D正确.

故选：BD

【点睛】

本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基

础题.

6.已知复数z的共轨复数为三，且zi=l+i,则下列结论正确的是（）

A.|z+l|=V5B.Z虚部为-iC.2020_0.0

z=2lD.Z2+-=2

答案：ACD

【分析】

先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和

复数的四则运算法则即可判断各选项的真假.

【详解】

由可得，，所以，虚部为；

因为，所以，.

故选：ACD.

[

解析：ACD

【分析】

先利用题目条件可求得z,再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四

则运算法则即可判断各选项的真假.

【详解】

由力=l+i可得，z=?=l—i,所以|z+l|=|2r[=j22+（T）2=5z虚部为

—1;

因为z2=—23=4,所以z2020=卜4广5=_*。，z2+-=_2i+i+i=l-i=z.

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运

算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.

7.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）.

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>l+i

C.若z=（l+2i）2,则复平面内5对应的点位于第四象限

D.已知复数z满足|z—l|=|z+l|,则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

答案：AD

【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共舸复

数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D.

【详解】

，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误；

，则，

解析：AD

【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共舸复数的定义

判断C；由模长公式化简|z-l|=|z+l|,得出X=0,从而判断D.

【详解】

z+z2+z3+z4=z-l-z+l=0«则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误；

z=(l+2i『=l+4i+4/=-3+4i,则5=—3—4"

其对应复平面的点的坐标为(-3,T),位于第三象限，则C错误；

令z=eR,\1z-lHz+l|,

J(x-1)2+丁-J(x+1)2+y2,解得％=0

则Z在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确；

故选：AD

【点睛】

本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹(图形)问题，属于

中档题.

8.设复数z满足z=-l—2i,j为虚数单位，则下列命题正确的是()

A.|z|=JFB.复数z在复平面内对应的点在第四象限

C.z的共物复数为-l+2iD.复数z在复平面内对应的点在直线

y--2x上

答案：AC

【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共聊复数等知识，选出正确选项.

【详解】

,A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共辗

复数为,C正确；复数z在复平面内对

解析：AC

【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轨复数等知识，选出正确选项.

【详解】

|z|=7(-1)2+(-2)2=逐，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象

限,B不正确;z的共辗复数为-l+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线

y=-2x上,D不正确.

故选:AC

【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.

9.下列关于复数的说法，其中正确的是（）

A.复数z=a+hi^a,hG/?）是实数的充要条件是b=0

B.复数z=a+bi（a,be/?）是纯虚数的充要条件是

C.若4,Z2互为共血复数，则2仔2是实数

D.若z-Z2互为共轨复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

答案：AC

【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；

对于：若复数是纯虚数则且，故错误；

对于：若，互为共轨复数

解析：AC

【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：对于A：复数Z=a+初是实数的充要条件是〃=0,显然成立，故A正

确：

对于8：若复数z=a+初（a力eR）是纯虚数则。=0且炉口），故B错误;

对于C：若z-Z2互为共轨复数，设Z1=a+〃（a,Z?eR）,则z2=a-6R）,所

以z/2=（a+初）（a—初）=。2一加2=1+02是实数，故。正确；

对于£）：若Z1,z2互为共粗复数，设4=。+初（a,力GH）,则Z2=。一4所

对应的坐标分别为（a”），（凡-3，这两点关于x轴对称，故O错误；

故选：AC

【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关

键，属于基础题.

10.若复数z满足z（l+i）=|G—i],则（）

A.z=-1+iB.z的实部为1

C.z=\+iD.z2=21

答案:BC

【分析】

先利用复数的运算求出复数Z,然后逐个分析判断即可

【详解】

解：由，得，

所以Z的实部为1,,,

故选：BC

【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共甄

解析：BC

【分析】

先利用复数的运算求出复数z,然后逐个分析判断即可

【详解】

解：山+=-得z=3工2(1T)=生色_j,

111+«(1+0(1-/)2

所以z的实部为1,彳=l+i,z2=-万，

故选：BC

【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共粗复数，属于基础题

11.下列说法正确的是()

A.若目=2,则z,z=4

B.若复数Z],Z2满足B+z2|=』-Z21,则平2=0

C.若复数Z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等

D."aw1"是"复数z=(a-1)+(/_i)i(aeH)是虚数”的必要不充分条件

答案：AD

【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由

充分必要条件的判定说明D正确.

【详解】

若，则，故A正确；

设，

由，可得

则，而不一定为0,故B错误；

当时

解析：AD

【分析】

由|z俅得z。判断A：设出Z1,z2,证明在满足|ZI+Z2I=k-Z21时，不一定有Z|Z2=0

判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确.

【详解】

若|z|=2,则z-z=|z『=4,故A正确；

设4=q+年（4，4e/?）,z?=4+4（外也eR）

由[Z]+Z2|=|ZI一Z2|,可得

区+Z2「=（4+生）2+（4+仇）2=区一Z2『=（%—生）2+3一%）2

则的2+她=0,而

马马=（q+Z?lz）（a2+b2i]-axa2-b{b2++^0,1-2a1a2+aIZ?2z+Z?1«2z不一定为0,故

B错误；

当Z=1T•时z2=-2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；

若复数z=（a-l）+（a2—l）j（aeR）是虚数，则/-iro，即a'±l

所以"aH1"是"复数z=（a-1）+（/―1/（。eR）是虚数”的必要不充分条件，故D正确；

故选：AD

【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.

12.若复数z满足（z+2）i=3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）

A.z的虚部为3B.|z|=V13

C.z的共加复数为2+3iD.z是第三象限的点

答案：BC

【分析】

利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.

【详解】

,,所以，复数的虚部为，，共辗复数为，复数在复平面对应的点在第四象限.

故选:BD.

【点睛】

本题考

解析：BC

【分析】

利用复数的除法求出复数z,利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.

【详解】

•.•（z+2）i=3+4i,;.z='生一2=—3i+2,所以，复数z的虚部为一3,目=而，

共辗复数为2+3i,复数z在复平面对应的点在第四象限.

故选：BD.

【点睛】

本题考查复数的四则运算、虚部、模、共物复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础

题.

13.已知复数z=-L+@i（其中i为虚数单位，，则以下结论正确的是（）.

22

A.Z"30B.C.z，=1D.国=1

答案：BCD

【分析】

计算出，即可进行判断.

【详解】

,故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误;

，故C正确；

,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

解析：BCD

【分析】

计算出Z2,£z3,回，即可进行判断.

【详解】

.•ZJ+&

22

故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误;

故c正确;

小卜展+翁”故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

14.已1知复数2=%+火（苍丁€/?）,贝|J（）

A.Z23oB.Z的虚部是yi

C.若z=l+2i,则x=l,y=2D.|z|=y/x2+y2

答案：CD

【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数

模的概念可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，取，则，A选项错误；

对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；

解析：CD

【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念

可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，取2=7，则Z?=-1<0，A选项错误；

对于B选项，复数z的虚部为y,B选项错误；

对于c选项，若Z=l+2i,则x=l,y=2,c选项正确；

对于D选项，|z|=>]x2+y1.D选项正确.

故选：CD.

【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基

础题.

15.下列四个命题中，真命题为（）

A.若复数z满足zeR，则B.若复数z满足则zeR

Z

C.若复数Z满足Z2GR，则ZCRD.若复数Z1,Z2满足Z「Z2€H,则马=当

答案：AB

【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】

对选项A,若复数满足，设，其中，则，则选项A正确；

对选项B,若复数满足，设，其中，且，

则，则选项B正确；

对选项C,若复数满足，设

解析：AB

【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】

对选项A,若复数z满足zeH，设z="，其中aeH,则，eR,则选项A正确；

对选项B,若复数z满足设」=a,其中aeR,且

ZZ

则2=,€E，则选项B正确；

a

对选项C,若复数Z满足z2eR，设2=乙则z2=—leR，

但2=，e7?,则选项C错误；

对选项D,若复数Z1,Z2满足Z「Z2GR,设Z|=i,z2=i,则Z「Z2=-1GR,

而云则选项D错误；

故答案选：AB

【点睛】

本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共枕复数，特值法为解决本题的关键，

属于简单题.

2

16.下面是关于复数2=——7的四个命题，其中真命题是()

-1+1

2

A.|z|=JIB.z=2zC.z的共轨复数为—1+iD.z的虚部为一1

答案：ABCD

【分析】

先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.

【详解】

,故A正确；，故B正确；的共辗复数为，故C正确；的虚部为，故D正确；

故选：ABCD.

【点睛】

本题考查复数的除法

解析：ABCD

【分析】

先根据复数的除法运算计算出z,再依次判断各选项.

【详解】

22(-l-z).

,/z------=-------------,

-1+z(-l+z)(-l-i)

2222

.-.|z|=^(-l)+(-l)=V2,故A正确；Z=(-1-Z)=2Z,故B正确；Z的共加复数

为-1+i,故C正确；z的虚部为一1，故D正确；

故选：ABCD.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.

TT兀、

(-(其中i为虚数单位)下列说法正确的是

()

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B.z可能为实数

C.恸=1

D.一的虚部为sin。

Z

答案：BC

【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选

项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误.

【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC

【分析】

TTTT

分-乌＜。＜0、6=0、＜一三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模

22

长公式可判断C选项的正误；化简复数利用复数的概念可判断D选项的正误.

Z

【详解】

TT

对于AB选项，当-2＜。＜0时，cos6＞＞0,sin6»＜0,此时复数z在复平面内的点在第

2

四象限；

当6=0时，z=—leH；

rr

当0＜。＜一时，cos6＞0,sin6＞0,此时复数z在复平面内的点在第一象限.

2

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，|z|=Vcos2^4-sin20=1»C选项正确；

11cosO-isin。八..八

对干Di先前—=------------=-------------；---------------=cos—ZSin(7

、'zcos+zsin0(cos+zsin•(cos-zsin

所以，复数，的虚部为—sin。，D选项错误.

z

故选：BC.

18.已知复数z=l+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）

A.复数z的虚部为iB.\z\=y[2

C.复数z的共辄复数1=1一jD.复数z在复平面内对应的点在第一象限

答案：BCD

【分析】

根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共规复数

的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.

【详解】

因为复数，

所以其虚部为，即A错误；

，故B正确；

解析:BCD

【分析】

根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共规复数的概念判断

C正确，根据复数的几何意义判断D正确.

【详解】

因为复数z=l+i,

所以其虚部为1，即A错误；

|z|=Vl2+l2=V2.故B正确；

复数z的共轨复数三=l—j,故C正确；

复数z在复平面内对应的点为（1,1）,显然位于第一象限，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共甑复数的概念，属于基础

题型.

1+产2。

19.已知复数z=—。为虚数单位），则下列说法错误的是（）

1-Z

A.z的实部为2B.z的虚部为1C.z=6-iD.|z|=JI

答案：AC

【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解.

【详解】

因为复数，

所以z的虚部为1,,

故A嘀吴,BD正确.

故选：AC

解析：AC

【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解.

【详解】

有粕1+z2020l+(z4)50522(1+0.

因为复数2=------=———=——=———-=1]+Z,

1-zl-il-i2

所以Z的虚部为1,|z|=五,

故AC错误，BD正确.

故选：AC

20.复数z满足——^z+3i=2,则下列说法正确的是()

3-2/

A.Z的实部为一3B.Z的虚部为2C.z=3-2zD.\z\=y[\3

答案：AD

【分析】

由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共辗复数、复数的模，进而可选出正

确答案.

【详解】

解：由知，，即

,所以的实部为，A正确；的虚部为-2,B错误；

,C埼■吴；,D正确；

故选:A

解析:AD

【分析】

由已知可求出z=—3-2i,进而可求出实部、虚部、共聊复数、复数的模，进而可选出正

确答案.

【详解】

2+3/2+3/°.、3-万(2—3z)2(3—2i)

解：由-----z+3c=2知，-------z=2-3/,即z=(2-3i)-----=------------L

3-2z3-2zI12+3，13

-39-26;

=--------=-3-2/,所以Z的实部为—3,A正确；Z的虚部为-2,B错