高中数学-正余弦定理解三角形教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

一、教学设计

三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方

法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定

理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练

运用有关三角函数公式。

设计意图：帮助学生明确本节课内容的地位。

二、学习目标与核心素养

课程目标：

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解三角形及一些有关

测

量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；

2、开放性题目的探究，激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用

价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思

想解决数学问题的能力.

数学学科素养：

1.数学抽象：方位角、方向角等概念；

2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；

3.数学运算：解三角形；

重点：利用正余弦定理解三角形、开放性题目的探究

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图，抽象出一个或几个三角

形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

师生活动：学生看PPT,了解本即可的学习目标、核心素养、学习重

难点，教师播放PPT,强调重难点。

设计意图：让学习有的放矢。

三、知识梳理（复习导入，课前完成）

△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c

ab

1、正弦定理:=2R

sinAsinBsinC

变形：a=2RsinA,___________________________

a

sinA

~2R

2、余弦定理：

a2=,b2=

c2-__________________________

变形：cosA=,cosB=,cosC=

作用：1、_________________________________________

2、_________________________________________

3、三角形面积公式：______________________________________

师生活动：课前案部分，由学生课前完成,教师批改发现存在的问题，

上课统一讲解强调。

问题1、正弦定理的内容（一起回答）

问题2、正弦定理的变形及作用（提问个别同学）

问题3、余弦定理的内容及其变形（提问个别同学）

问题4、正余弦定理的作用（小组讨论，强大进行）

设计意图：查漏补缺，为本节复习课做准备。

四、典题精练

2

例1、已知锐角A43C的内角的所对边分别为a,b,c,其中

c=2百，2sin(2C-§=6.若。=2及，求角A；

师生活动：课前案部分，由学生课前完成，教师批改发现普遍存在的

问题，将有问题的典型作业拍照制作到PPT中，课上同学们集体纠错,

统一讲解，学生认真改错整理。

问题5、展示的作业中有哪些问题？

问题6、针对出现的问题，如何纠正？

设计意图：本题是解三角形中的典型题目，也涉及到一个典型的知识

点：在三角形中，一个正弦值对应两个互补的角。课前完成，给学生

试误的机会，并且让学生深刻的认识到出错原因和答题要求。

当堂检测1、已知A4BC的内角ARC的所对边分别为a,6,c,其中

€=273,2sin(2C-()=6.若”=2也，求sinA

师生活动：课前案部分，由学生课前完成，教师批改发现普遍存在的

问题，课上统一讲解。

问题7、为什么两道题目答案相同？(发现关键词“锐角三角形”)

问题8、如何避免错误的出现？(认真读题，找出关键词)

设计意图：强调审题的重要性，关注“锐角三角形”的限制，对角进

行取舍。

总结：1、本例题所用知识点：

2、可解三角形的类型及方法

师生活动：课前案部分，由学生课前完成，教师批改发现普遍存在的

问题，结合上课讲解提问。学生积极回答，认真改错。小组讨论：可

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解三角形的类型，教师板书并引导总结课解三角形的特点：已知条件

中，至少有一条边。

例2、AABC中，a、b、。分别是角A、B、C的对边，且满足

（2b-Gc）cosA=6acosC,现在给出三个个条件：①。=2；②8=（；③

c=回.试从中选出两个条件，使其能够确定AABC,并以此为依据求

AABC的面积.（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解

答，则按第一个解答记分）

问题9、本题考查了哪些知识点？

问题10、本题给出的三个条件，可以任意选择吗？

问题11、选择条件的原则是什么呢？

师生活动：教师提出问题引导学生思考，逐步发现问题解决问题，学

生积极发言，挖掘已知条件，结合做学知识、运用正确的方法，各抒

己见，要选择关于“边”的条件解决问题。

问题12、有没有同学敢于现场展示解题过程？

设计意图：培养学生的自信心

问题13、我们计时，假设还有两分钟，高考结束，你能否做到不后

悔？

设计意图：有代入感，同时让学生有紧迫感。

师生活动：教师借助多媒体，设置闹钟进行倒计时，更有仪式感。学

生在理清思路后，快速书写，形成“平日如考试”的意识。

师生活动：学生板书后讲评，同学们就板书规范及讲解情况进行评价,

教师对学生的积极参与和大胆挑战，给予真心的鼓励，同时要做适当

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的评价和补充。

总结：

师生互动：学生独立思考，总结方法和使用的知识点。

设计意图：培养学生总结反思的习惯。

五、课后作业

必做题：(课本54页21题)如图，为了测量两山顶M,N间的距离，

飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平

dg_____

面内。请设计一个测量方案，包括：

(1)指出要测量的数据(用字母表示，并标示在图中)；

(2)用文字和公式写出计算此N间的距离的步骤。

设计意图：教师强调课本的重要性，学生体会课本题目的出题方向及

难

易程度。同时一，达到回扣课本的目的。

选做题：五月的风是坐落在青岛〃五四广场〃的标志性雕塑，作者是

黄震，高达？？米，直径27米，重达500余吨，为我国目前最大

的钢质城市雕塑。该雕塑取材于钢板，并辅以火红色的外层喷涂,

其造型采用螺旋向上的钢板结构组合，以熟练的手法、简洁的线条

和厚重的质感，表现出腾空而起的“劲风〃形象，给人以〃力〃的震撼。

问题14、如果是你，可以出怎样的题目？如何求解？

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设计意图：分层教学，让学生们既能吃的好又能吃得饱。同时渗透城

市文化，还能学以致用，并且开放性的题目，不会让学生的思维受

限。这个环节，恰和本节重难点相吻合，又有开篇相呼应。

学情分析

私立学校的高中生，基础略有不同，因此即便是复习课，更需要

夯实基础题，强调典型题个性更强；高中阶段属于青年期初期阶段，

其心理处于半幼稚、半成熟的状态，具有明显的独特性和过渡性。

高中生的学习目的性强，思维的独立性强、自觉性高。因此，复

习课中涉及开放型题目的探究，有利于激发学生自身思维意识的发展,

对学生更有挑战性，并且学生更愿意去尝试。

同时、特别注重考虑高中生的心理发展特征，发挥其主动作用，

引导他们朝着积极、向上、健康的方向发展。因此在教学中，要善于

发现学生的闪光点，恰当、真诚给予鼓励。课堂上涉及到的开放型题

目，正好与2020年的高考题相吻合，从而更加坚定了学生积极备考

的决心。

效果分析

1.教学目标：是否明确而恰当？

目标明确，且能够达到；自然渗透核心素养，重难点得以突破。

2.核心知识：教师是如何呈现给学生的？

课前案一--课堂案--课后案，循序渐进、层次分明，这样学生的复

习效果更好。

2.内在联系：是否注意建立知识横向或纵向联系，与生活联系？

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能理论练习实际，体现数学文化与城市文化的完美融合。

4.学科特点：是否体现了学科特点与本质？

选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂

教学节奏。

5.详略得当：是否做到了易懂的少讲或不讲、易混的细讲并辨析？

能做到详略得当，将隐形化为显性的详细介绍，重点突出。

6.教学资源：是否合理使用教材和校内外教学资源？

虽然是复习课，但是却没有脱离课本，充分利用课本的习题，还利用

校内教学资源，模拟高考现场。

7.学法指导：是否注重学习方法的指导和培养？让学生在解题中理

解运用方法。

课堂上，“教为主导，学为主体”得到的很好的体现，教师高质量的

引导，启发了学生高效率的思考，培养了学生数学抽象、直观想象、

逻辑推理等核心素养。

8.是否寓德育于教学内容之中

让学生参与合作，注重交流和团队的精神。

教学改进建议：

教学过程中，可以进一步创造情境，让学生更积极的参与到教学过程

中，这样教学效果就会更好。平日要注意培养学生自信的回答问题,

大胆的表达自己的想法和思路。

教材分析

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正余弦定理，是人教A版(2019)必修第二册第六章第四节第

二部分的内容，是在学习了三角函数、和差倍角公式之后，在平面向

量这一章，以应用的形式出现的内容。当我们利用单位圆来研究三角

函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。利用向量的有关知

识可以导出部分诱导公式。由于用向量解决问题时常常是从三角形入

手的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个

最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在根据向量

三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证

的结论，

正余弦定理是高中数学的重要内容，尤其是解三角形更是高考

必考知识点，可见，本节课的学习在高中数学中具有举足轻重的地位。

复习课中进一步巩固正余弦定理的内容及作用，通过复习，让学生学

会解三角形的一般解法思路，更重要的是能够灵活地处理开放型题目,

与高考接轨。

测评练习

一、教材分析

三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就

是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、

余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用

有关三角函数公式.

二、学习目标与核心素养

课程目标：1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解三角形

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及一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关

术语;

2、开放性题目的探究，激发学生学习数学的兴趣，并体会数

学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题

意和应用转化思想解决数学问题的能力.

数学学科素养：1.数学抽象：方位角、方向角等概念；

2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的

答案；

3.数学运算：解三角形；

重点：利用正余弦定理解三角形、开放性题目的探究

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图，抽象出一个或几个三角

形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

三、知识梳理

△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c

1、正弦定理：号=昌=刍=2尺

sinAsinBsinC

变形：a=27?sinA,___________________________

sinA=—,

2R

『一h2-

2、余弦定理二一----------------------'°"----------------------

c2=__________________________

变形:cosA=,cosB=,cosC=

作用：1、_________________________________________

2、_________________________________________

3、三角形面积公式:

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四、典题精练

例1、已知锐角A43C的内角A,B,C的所对边分别为”*,c,其中

c=2g,2sin(2C-y)=V3.若”=2正，求角A；

当堂检测1、已知AABC的内角A,B,C的所对边分别为a,b,c,其中

c=26,2sin(2C-至=6.若a=20,求sinA

总结：1、本例题所用知识点:

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2、可解三角形的类型及方法:

例2、A4BC中，a、b、，分别是角A、B、C的对边，且满足

（lb-73c）cosA=y/iacosC,现在给出三个个条件：①a=2；②8=?；③

c=⑨.试从中选出两个条件，使其能够确定A4BC,并以此为依据据

求A4BC的面积.（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别

解答，则按第一个解答记分）

总结:

五、课后作业

必做题：

（课本54页21题）如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机

AB

沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同=1潞垂平面内。

%•

请设计一个测量方案，包括：

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（1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；

（2）用文字和公式写出计算此N间的距离的步骤。

选做题：

五月的风是坐落在青岛〃五四广场〃的标志性雕塑，作者是黄震，直径

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米，重达500余吨，为我国目前最大的钢质城市雕塑。该雕塑取材于

钢板，并辅以火

红色的外层喷涂，其造型采用螺旋向上的钢板结构组合，以洗练的手

法、简洁的线条

和厚重的质感，表现出腾空而起的〃劲风〃形象，给人以〃力”的震撼。

已知该雕塑底部无法到达，请利用所学知识，设计一个测量该雕塑高

度的方案。

课后反思

在2020年度的“一师一优课，一课一名师”活动中，我积极参

与晒课。学校分配给我的课题是高一数学《正余弦函数解三角形》。

经过精心准备，终于录课成功。回想这些天来，一次次地挑灯夜战，真

的是付出了很大的心血与汗水。有人说:一次赛课就是一段生命的历

程,这句话我深有体会。

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一、晒前准备：

1、思想高度重视：因为这样的活动对我来讲是第一次,所以从思想上

非常重视，积极地参与其中，不断地给自己施压，尝试着去突破自己。

2、认真研读教材:拿到课题后，我认真研读教材，看了一遍又一遍，努

力把教材弄准吃透。最后结合课程标准,拟定了本课教学目标与重难

点。

3、查阅相关资料:为了设计好本课,帮助学生很好地理解本课,达到预

期教学目标，我查阅了许多相关的资料，准备了很多的教学素材。

4、设计教学流程:教学环节是否完整、紧凑，教学流程是否科学、顺

畅，学生的活动是否得体，重难点是否突此时间安排是否合理，我

认真地进行了推敲、斟酌，最终确定了本课的教学设计。

5、制作教学课件：因为课件制作技术我比较熟练，所以这一环节做的

得心应手，从图片到字体，从动画到声音，每一次都有新点子。

教学过程中的优点：

1、展示了良好的教师基本素养：因为是一名专业的数学老师，多年来-

一直致力于毕业班工作，有着良好的专业素养和丰富的教学经验。因此,

无论是本节课的教学设计，还是本节课的讲解,受到了本校老师的一

致好评。

2、教学设计亮点多：本节课的成功之处就在于教学环节紧凑、合理