新教材人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数2022新高考一轮复习练习题

第四章指数函数与对数函数

1指数与指数函数........................................................-1-

2对数与对数函数........................................................-5-

3函数的图象...........................................................-12-

4函数与方程...........................................................-17-

5函数模型及其应用.....................................................-24-

1指数与指数函数

A组全考点巩固练

时,y=-a，(OVaVl),则函数);=yy(OVaVl)的图象的大致形状如图所示.故选D.

2.#x《y|x版的化简结果为（）

A.2B.3C.4D.6

111111111,1,1

B解析：原式=32x03x126=32x33x23X46X36=3236

-1o+.1o

X2'J=3X20=3.

3.函数/(x)=ax”的图象如图所示，其中a,b为常数,则下列结论中正确的

是()

A.a〉l,b<0B.a>l,b>0

C.0<a<l,0<b<\D.0<a<l,b<0

D解析：（方法一）由题图可知0<a<l,当x=0时，故一比>0,得

从0.故选D.

（方法二）由题图可知0<tz<l,/（x）的图象可由函数y=o■，的图象向左平移得到，

故一6〉0,则*0.故选D.

421

4.已知”=6=2‘，c=93,则()

A.b<a<cB.a<h<c

C.b<c<aD.c<a<b

4Xx42212

A解析：a==机3=23,Z?=25,c=93=33.iij2<3,得a<c.由

得a>h,所以故选A.

5.（多选题）已知。+晨|=3,在下列各选项中，正确的是（）

A.H+a-2=7B.a3+<z3=18

1_1

C.(?+a2=±^5D.ay[a-\--^=2yl5

ABD解析：因为a+a'=3,所以a2+a~2=(a+a')2—2=9—2=7,故选

项A正确；因为a+/i=3,所以。3+/3=(4+，1)32—1+a-2)=m+a-i).[m+a

1_1

-I）2-3]=3X6=18,故选项B正确；因为a+a~'=3,所以（1+。-可=。+。-1

1_1

+2=5,且a>0,所以应+。-5=小，故选项C错误；因为序+/3=18,且&

3-3

>0,所以=a+«4-2=20,所以6。+%==2小，故选项D正确.

6.已知/（x）=3xP（2Wx<4,b为常数）的图象经过点（2』），则/（x）的值域为

A.[9,81]B.[3,9]

C.[1,9]D.[1,+8)

C解析：由/(幻的图象过定点(2,1)可知人=2.因为/。)=3产2在[2,4]上单调递

增，所以/(X)min=/(2)=32-2=l；/(尤)„相=/(4)=352=9.故选C.

7.方程4，一211-3=0的解集是.

x=log23解析：设2、=/。>0),则方程变形为尸一2f—3=0,即(，-3)«+1)

=0,解得，=3或r=—1(舍去).所以2彳=3.所以x=log23.

/i\—/+2x+1

8.函数/a)=GJ的单调递减区间为.

(―°°,1.)解析：设"=-f+2x+l,因为y=(；)在R上为减函数，所以函

/1\-x2+2x+1

2

数的单调递减区间即为函数M=-X+2X+1的单调递增区

间.又〃=—S+2x+l的单调递增区间为(-8,1],所以/(x)的单调递减区间为(一

°°,!].

B组新高考培优练

9.(多选题)下列说法中，正确的是()

A.当。〉0,且aWl时，有/>屋

B.了=(小厂》是增函数

C.y=23的最小值为1

D.在同一平面直角坐标系中，y=2*与>=2七的图象关于y轴对称

CD解析：当a>l时，a3>a2;当0<a<l时，a3<a2,A错误.y=(小尸是减

函数，B错误.>=2田的最小值为1,C正确.在同一平面直前坐标系中，y=2,与

丁=21=(3)的图象关于y轴对称，D正确.故选CD.

10.设函数/(x)=f-"与g(x)=aX(a>l且aW2)在区间(0,+8)上具有不同的

单调性，则加=(.-1)°2与N=(!)的大小关系是()

A.M=NB.MWN

C.M<ND.M>N

D解析：因为/与g(x)=a'<a>l且aW2)在区间(0,+8)上具有不

同的单调性，所以a>2,所以N=<1,所以M>M

11.已知函数/(x)=z^7的图象关于点(0,当对称，则。=________,/(x)

1-I-8乙\乙)

的值域为.

I(0,1)解析：依题设/(x)+/(—x)=l,

2X2~x

则—-——+----=1

整理得(a-l)［4'+(o-l)-2'+l］=0.

所以a—1=0,则a=l.

2A'1

因此/。)=］+2*=1-1+2工

因为1+2，>1,所以0<J七;<1,所以0勺"。)<1.故/(x)的值域为(0』).

12.已知函数y=/(x)和函数y=g(x)的图象关于y轴对称.当函数y=/(x)和y

=g(x)在［a,W上同时递增或同时递减时，［a,父叫做函数y=/(x)的"不动区

间”.若［1,2］为函数/(%)=|2，+力的“不动区间”，则实数t的取值范围为

-2,解析：当时，函数/(幻=2'+『在［1,2］上单调递增，此时g(x)

=g)+f在［1,2］上单调递减，不满足题意.当/V0时，函数/。)=区+4的图象与

函数g(_r)=的图象有如图所示的两种情况，易知当函数/(x)=|2'+r|的零

点xo=log2(-f)满足-时，区间［1,2］为函数/(外=2+4的“不动区间”，

由一lWlog2(—f)Wl,得一2WW-

13.已知定义在R上的函数/(x)=2x—舛.

3

⑴若y(x)=],求x的值;

(2)若2于⑵)+时⑺20对于/e[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.

解:(1)当x<0时，/。)=0,无解.

当40时，

13

由---

2-'-2

2-'

得2X22A-3X2x-2=0.

将上式看成关于2、的一元二次方程，

解得2，=2或2'=

因为2'>0,所以x=l.

⑵当re[1,2]时，2(2"一第+加(2—£|，0,

即m(22'—1)^一(24/—1).

因为2&-1>0,所以/”2—(22，+1)恒成立.

因为£[1,2],所以一(2〃+1)6[—17,-5],

故实数相的取值范围是[-5,+8).

2对数与对数函数

A组全考点巩固练

1.函数y=、/og2(2x—1)的定义域是()

A.[1,2]B.[1,2)

C.1D.&1

D解析：由log2(2x—l)20,得0<2x—lWl.所以JaWl.

3

2.若0<r<l,则下列结论正确的是()

A.y/x>2x>\gxB.2x>lgx>\[x

C.2x>\lx>\gxD.1gx>y[x>2x

C解析：因为0<r<l,所以2，>1,0<5<1,lgx<0,所以2、M>lgx.故选C.

3.（2020・天津卷）设a=3°7,8=团，c=logo.70.8,则a,h,c的大小关系

为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

-0.8

D解析：a=3°7>l,=3O8>1,且a<b,c=logo.70.8<logo,70.7=1,

所以c<a<b.

4.若函数/(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，函数/(x)=g),则/(2)+

g(4)=()

A.3B.4C.5D.6

D解析：(方法一)因为函数/(x)与g(x)的图象关于直线)对称，又

=2X,所以g(x)=log2X,所以7(2)+g(4)=22+log24=6.

(方法二)因为/(X)=(g),所以/(2)=4,即函数/(X)的图象经过点(2,4).因为

函数/Q)与g(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数g(x)的图象经过点(4,2),所以

/(2)+g(4)=4+2=6.

5.(多选题)在同一直角坐标系中，/(*)=丘+/2与g(x)=log/>x的图象如图，则

A.k>0,0<b<l

B.上>0,b>\

C./（；]g（l）>0（x>0）

D.x>1时，f(x)—g(x)>0

AD解析：由直线方程可知，心>0,0V8Vl,故选项A正确，选项B不正确;

而g(l)=O,故选项C不正确：当X>1时，g(x)VO,/(幻>0,所以/(x)—ga)>0,

故选项D正确.

6.若函数y=a国(a〉0,且aWl)的值域为［1,+°°),则函数y=log4M的大致

图象是()

B解析：由于>=那的值域为［1,+°°),所以a>l,则y=log“x在(0,+°°)

上是增函数.又函数y=log4x|的图象关于y轴对称，所以y=log4x|的大致图象应

为选项B.

7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中

普通物质的原子总数N约为1()8。.下列各数中与号最接近的是()

(参考数据：1g3心0.48)

A.1033B.1053C.1073D.1()93

M33613361

D解析：设讨=》=石而，两边取对数，得lgx=\g记而=他336,-lglO8O=

361X怆3—80q93.28.所以％=1093.28,即最接近］()93故选口.

8.已知函数/QOnlogzW+a).若/(3)=1,则a=.

—7解析：因为/(%)=1082(/+。)，且/(3)=1,所以/(3)=log2(9+a)=l,

所以a+9=2,所以a=-7.

Q

9.已知函数y=loga(x+3)—g(a〉O,aWl)的图象恒过定点A,则点A的坐标

为；若点A也在函数/(x)=3，+〃的图象上，则/(log32)=.

(-2,—|j1解析：令x+3=l可得x=-2,此时y=logj所

以定点A的坐标为(一2,一刻因为点A在函数/。)=3*+。的图象上，故一号=3一

2+b,解得人=-1.所以/(尤)=3'—1,则/(Iog32)=31°g32—i=2—i=i.

28

2

10.若函数/1(均二%一(a—2)x+l(x£R)为偶函数,147

-2解析：因为函数/。)为偶函数，所以/(x)=/(—x),即/一(a—ZH+ln

2Q27

f+(a—2)x+l恒成立，所以a—2=0,即a=2,所以log叼+log]]=log2]+log2W

a

(27、1

=10g2|jXgj=log24=-2.

11.设/(x)=k)ga(l+x)+loga(3—x)(a>0,且a#l),且/(1)=2.

(1)求a的值及/(x)的定义域；

(2)求/(x)在区间[0,引上的最大值.

解：(1)因为,"1)=2,所以log,4=2(a>0,且a#l),所以a=2.

l+x>0,

由《得一1Vx<3.

.3-x>0,

所以函数/(x)的定义域为(一1,3).

(2y(x)=log2(1+x)+log2(3—z)=log2f(1+x)-(3—x)]=log2(—(x—1)2+4](—

l<x<3).

所以当时，_/(x)单调递增；当x£(l,3)时，/(x)单调递减.

,r31

故函数/Q)在0,2上的最大值是/(D=log24=2.

B组新高考培优练

12.已知lga,1gb是方程2f—4x+1=0的两个实根，则lg(ab)(lgf)=()

A.2B.4

C.6D.8

B解析：由已知得lga+lgb—2,即lg(a")=2.又因为lga-lgb=g,所以

=2(lga-lgZ?)2=2[(lga+lgZ?)2—41ga-lg/?]=2X^22—4X^=2X2=4.

故选B.

13.(2020•全国卷IH)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领

域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑺”的单位：天)

的Logistic模型：/(。=[+€-黑厂53)，其中K为最大确诊病例数.当/Q*)=0.95K

时，标志着已初步遏制疫情，则广约为(In19心3)()

A.60B.63

C.66D.69

C解析：因为1(。=]+5,3(厂53)，

所以/«*)=------濡炉o=S95K，

0.23(/—53)

1+e

则e°23。*—53)=]%所以0.23(f-53)=ln19心3,

3

解得「心南+53-66.

14.已知函数/(x)=|lnx|.若0<a。,且/(。)=/3),则a+Ab的取值范围是()

A.(4,+0°)B.[4,+00)

C.(5,+°°)D.[5,+8)

C解析：由/⑷=/(8)得|lna|=|lnM.根据函数y=|ln的图象及0<a<〃，得一

Ina=lnb,0<a<l<h,所以』=/?.

a

令gS)=a+4Z?=4Z?+1,易得g(。)在(1,+8)上单调递增，所以g(b)>g(i)=

15.(多选题)已知函数/(x)=ln(x—2)+ln(6—x),则()

A./(x)在(2,6)上单调递增

B.7(x)在(2,6)上的最大值为21n2

C./(x)在(2,6)上单调递减

D.y=/(x)的图象关于直线x=4对称

BD解析：/(x)=ln(x-2)+ln(6—x)=ln[(x-2)(6-x)],定义域为(2,6).令「

=(x—2)(6—x),则y=lnf.因为二次函数f=(x—2)(6—x)的图象的对称轴为直线x

=4,又/(x)的定义域为(2,6),所以/(x)的图象关于直线x=4对称，且在(2,4)上单

调递增，在(4,6)上单调递减.当x=4时，1有最大值，所以/(x)max=ln(4—2)+ln(6

-4)=21n2.故选BD.

16.(多选题)设x,y,z为正实数，且log2%=log3y=log5Z>0,则会y；的大

小关系可能是()

3/

JC532JD325

ABC解析：设log2X=log3y=log5z=A>0,可得尤=2">1,y=3*>l,z=5"

>1,所以楙=2*-|,"=3*r,1=5A'-1.

①若ovyi,则函数/(的=产单调递减，所以»器即故c

正确；

②若攵=1,则函数/(无)=式1=1,所以故B正确；

③若攵>1,则函数/(x)=K「单调递增，所以5Vg〈热故A正确.

综上可知多，的大小关系不可能是D.

17.有些银行存款按照复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在

一起作为本金，再计算下一期利息.假设最开始本金为。元，每期利率为八寸，在

X期后本息和为了(X).若则a(l+r)x22a,解得记僵]银行业中经

常使用的“70”原则：因为In2=0.69315,而且当r比较小时，ln(l+r)^r,所以

需为心”詈-系若「=3%,/(x)22a.则x的最小整数值为()

A.22B.25

C.23D.24

0.69315

D解析：依题意可得。(1+3%尸22。，即x2z^：

ln(l+3%)----3%----100X3%

所以x的最小整数值为24.故选D.

18.已知函数/(x)=k)g“(3—ax)(a＞0,且aWl).

(1)当xG［0,2］时，函数/(x)恒有意义，求实数a的取值范围.

(2)是否存在实数a,使得函数/Q)在区间［1,2］上单调递减,并且最大值为1?如

果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

解：⑴设©)=3—ax,因为a＞0,

所以«x)=3—ax为减函数.

当［0,2］时，，(x)的最小值为3-2a.

因为当［0,2］时,/(x)恒有意义，

即xG［0,2］时，3-依＞0恒成立.

~3

所以3—2。＞0,所以

3

又a〉0且aW1,所以0＜。＜1或1＜。＜,

所以实数a的取值范围为(0,1)U(l,|).

(2)由(1)知函数r(x)=3—czx为减函数.

因为了⑴在区间口,2］上单调递减，

所以y=log"Z在［1,2］上单调递增，所以G＞1.

当xW［l,2］时，心:)的最小值为3-2a,/(x)的最大值为/(l)=log"(3-a),

a<],

3~2a>0,

所以＜

log43—a)=l,

故不存在实数a,使得函数/(x)在区间［1,2］上单调递减，并且最大值为1.

3函数的图象

A组全考点巩固练

1.若图中阴影部分的面积S是关于力的函数（OW/?W“），则该函数的大致图象

是（）

O|Hh0|Hh

CD

B解析：由题图知，随着。的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小的

越来越慢，结合选项可知选B.

ax+b,x<—1,

2.若函数/（x）=一।，的图象如图所示，则/（—3）等于（）

、ln（x十Q）,x.—■1

A.一gB.1/C.-1D.—2

C解析：由图象可得一。+匕=3,ln(—l+a)=O,得。=2,b=5,所以/(x)

2x+5r<—1

a；；'故/(―3)=2义(—3)+5=_1.故选C.

Un(x十2),x力一1,

3.（2020.济宁一中检测）函数/（幻=—1—的部分图象大致是（）

ABCD

A解析：由函数/(x)是奇函数，排除D;根据x取非常小的正实数时/(x)>0,

排除B;x=7t是满足3cosx+l<0的一个值，排除C.故选A.

4.下列函数y=/(x)的图象中，满足了(?>/(3)>/(2)的只可能是()

D解析：因为/(J>/(3)>/(2),所以函数/(x)有增有减，排除A,B.在C

中,/()</(0)，/(3)>/(0)，即/(，V/(3),排除C.故选D.

5.已知/(2x+l)是奇函数，则函数y=/(2x)的图象关于下列哪个点中心对称

()

A.(1,0)B.(-1,0)

C.&0)D.(-/0)

C解析：因为/(2x+l)是奇函数，所以/(2x+l)的图象关于原点成中心对

称.而/(2x)的图象是由/(2%+1)的图象向右平移;个单位长度得到的，故y=/(2x)

的图象关于点出0)中心对称.

6.(2020.蚌埠第三次质检)已知函数/(幻的图象如图所示，则函数/(x)的解析

式可能是()

A.y=%(l—⑼B.y=*os条

Y

C.y=^sinTIXD.y=|x|(l-x)(x+1)

C解析：根据图象关于y轴对称，可知函数/(x)为偶函数.而y=x(l—|x|)

Xjr

和y=jcos那为奇函数，故A,B不正确；当%>1时，y=|x|(l-x)-(x+l)=x—%3,

y=l-3f<0,所以函数y=|x|(l-x)(x+l)在(1,+8)上单调递减，结合图象可知

D不正确.故选C.

7.使log2(—x)<x+1成立的x的取值范围是.

(―1,0)解析：在同一直角坐标系内作出y=log2(—x),y=x+l的图象，知

满足条件的x6(—1,0).

8.已知定义在R上的函数/(x)是奇函数，且/(x)在(-8,0)上单调递减，/

(2)=0,g(x)=/(x+2),则不等式xg(x)WO的解集是.

(一8,-4]U[-2,+8)解析：如图所示，虚线部分为/(x)图象的草图，

实线部分为g(x)图象的草图.

x20,

则xg(x)WOU>，

£(x)W0

xg(x)WO的解集为(-8,-4]U[-2,4-0°).

9.(2020・合肥质检)对函数/(x),若存在&W0,使得/(尤0)=—/(一刈)，则称(次,

/(xo))与(一xo,/(—xo))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=ex—a(e为自然对数的

底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是.

(1,+°°)解析：依题意，知y(x)=—/■(—X)有非零解.由/a)=—f(—x),

得a—>1(九WO).所以，当/(处二旷一。存在奇对称点时，实数a的取值范

围是(1,+°°).

Inx,冗21,

10.设函数/(x)=L…<1,则加⑼尸；若/(㈤>1,则实数

m的取值范围是.

0(―8,o)u(e,+8)解析：/(/•(O))=/(l)=ln1=0.如图所示，可得/(x)

Inx,

=1的图象与直线y=l的交点分别为(0,1),(e,l).若则实

,1—x,x<1

数相的取值范围是(一8,0)U(e,+°°).

B组新高考培优练

11.(多选题)将函数/(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)

的图象，则下列函数不能满足条件的是()

A・B./(x)=er'-e1^

2

C.f(x)=x+-D./(x)=log2(x+l)+l

ACD解析：由题意知/(x)必须满足两个条件：①“1)=0,②"l+x)=-/(l

一X).对于选项A,C,D,/(I)均不为0,不满足条件；对于选项B,/(l)=e°—e°

=0,f(l+x)=ex—e~x,/(I—jc)=e-A—ev=—/(1+x).故选ACD.

12.(多选题)已知函数/(x)="—1].若0<a。且/(&)=/("),则()

A.Ka<\f2

B.l<b<y/2

C.直线y=b与函数/(x)的图象有2个交点

D.直线y=a与函数/(九)的图象有2个交点

BC解析：作出函数/。)=*一1|在区间(0,+8)上的图象，如图所示.作

出直线y=l,交〃x)的图象于点民由二-1=1可得初=6，结合函数图象可得

a的取值范围是(0,1),。的取值范围是(1,也).直线y=a与函数/(x)的图象有2

个交点，直线y=b与函数/(%)的图象有1个交点.

13.已知函数/(x)(x@R)满足/(—x)=2—〃x).若函数y=—1与y=/(x)图象

m

的交点为(%1，yi)，(X2,>2),…，(Xm9加)，则Z(羽+%)=()

/=1

A.0B.m

C.2mD.4m

x+1

B解析：由/(—x)=2—/(x)可知/(x)的图象关于点(0,1)对称.又易知y=\—

=1+《的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都

m

关于点(0,1)对称，则元1+初=12+光〃—=・,=0,y\+ym=y2+>-1=•••=2,所以£

i=\

777777

(x(+_y()=0X—4-2X—=m.故选B.

14.(2020・永州三模)已知函数/㈤是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)

=2-|x+2|.若对任意的—2],/(龙+①叶。)成立，则实数。的取值范围是

()

A.(0,2)

B.(-8,-6)U(0,2)

C.(-2,0)

D.(-2,0)U(6,+8)

D解析：因为/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=2—|x+2|.作出

/(x)的图象，如图所示.

y=/(x+”)的图象可以看成是y=/(x)的图象向左(。〉0时)或向右(。<0时)平移同

个单位长度而得.当。>0时，y=/(x)的图象至少向左平移6个单位长度(不含6个

单位长度)才能满足成立；当a<0时，y=/(x)的图象向右平移至多2

个单位长度(不含2个单位长度)才能满足/(尤+。)牙(x)成立(对任意的尤G[一

1,2]).故ae(一2,0)U(6,+8).故选D.

15.已知函数/(x)=2Lx£R

(1)当实数〃2取何值时，方程，(X)—2|=加有一个实数解？两个实数解？

⑵若不等式/2。)+/(©—〃?〉0在R上恒成立，求实数m的取值范围.

解：(1)令产(x)=Q(x)—2|=啰一2|,G(x)=m,画出/(x)的图象如图所示.

由图象可知，当机=0或m22时，函数5(x)与G(x)的图象只有一个交点，原

方程有一个实数解；

当0<加<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个实数解.

(2)令/(幻=«。0),HQ)=P+f,t>Q,

2

因为一；在区间(0,+8)上单调递增，

所以"⑺>"(0)=0.

因此要使户+»加在区间(0,+8)上恒成立，应有mW0,即所求实数，”的取

值范围为(-8,0].

4函数与方程

A组全考点巩固练

1.函数/(x)=ex+x—3在区间(0,1)上的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

B解析：由题知函数/(x)是增函数.根据函数零点存在定理及/(0)=—2<0,

/(l)=e-2>0,可知函数/(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点.故选B.

2.函数/(x)=l—xlogzx的零点所在区间是()

A.&B.&1)

C.(1,2)D.(2,3)

C解析：fG)=］-:10g2：=14-1=|>0,f］，=1-110g2|=1+1=|>0,/(I)

=1-0>0,/(2)=1_210g22=一l<0.由/(l)/(2)<0知选C项.

2

3.若函数/(x)=2x—(一。的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是

()

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

C解析：由条件可知/(l)f(2)V0,即(2-2-a>(4-l-a)V0,即a(a-3)V0,

解得0VaV3.

4.(2019•全国卷III)函数/(x)=2sinx-sin2x在［0,2兀］的零点个数为()

A.2B.3

C.4D.5

B解析：令/(尤)=0,得2sinx—sin2x=0,即2sinx—2sinxcosx=0,所以

2sinx(l—cosx)=0,所以sinx=0或cosx=l.又X£［0,2兀］,由sinu=0得x=0,n

或2无；由cosx=l得x=0或2兀.故函数/(x)的零点为0,7i,2K,共3个.故选B.

5.函数/(x)=|x—2|一lnx在定义域内的零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

C解析：由题意可知/(九)的定义域为(0,+8).在同一平面直角坐标系中作

出函数y=|x—2|(x>0),y=lnx(x>0)的图象如图所示.

由图可知函数在定义域内的零点个数为2.

6.设/（X）在区间上单调递增，且/（一；）:/■则方程/（x）=0在区

间［-1,1］内（）

A.可能有3个实数根

B.可能有2个实数根

C.有唯一的实数根

D.没有实数根

C解析：因为/(x)在区间[-1,11上单调递增，且/(一；)/(；)<°，所以/(X)

11-

--

在区间牙2上有唯一的零点.所以方程/(x)=0在区间内有唯一的实数

-

根.

ev-a,xWO,

7.已知函数/(x)=<(aGR).若函数/(x)在R上有两个零点,

1x~a,x>0

则实数a的取值范围是()

A.(0,1]B.[1,+8)

C.(0,1)D.(一8,1]

A解析：画出函数/(x)的大致图象如图所示.

~a

因为函数/(x)在R上有两个零点，所以/(x)在(-8,0]和(0,+8)上各有一

个零点.当xWO时，/㈤有一个零点，需1一心0,即aWl;当x>0时，/(x)有一

个零点，需一。<0,即a>0.综上，0<aWl.

8.方程logo.5(a-有解，则a的最小值为.

1解析：若方程10go.5(a—2，)=2+x有解，则出=。一2、有解，即卜出十

2、=a有解.因为+2*="*/+2。2\^=1,当且仅当x=—1时，等号成

立，故a的最小值为1.

9.若幻是方程xe*=l的解，也是方程xlnx=l的解，则xi%2等于.

I解析：考虑到xi,X2是函数y=e*、函数y=lnx分别与函数y=千的图象的

公共点A,8的横坐标，而：),8(九2,两点关于直线产x对称，因此AW

=1.

10.已知函数/。)=产若/(xo)=-1,则xo=________；若关于x

lx3,X<1.

的方程〃x)=Z有两个不同零点，则实数%的取值范围是

龙021,

xo<l,

—1（0,1）解析：由/（无（））=-1,得＜1或，,解得xo=-1.

­=—1.x8=-1,

关于光的方程/(x)=Z有两个不同零点等价于y=/(X)的图象与直线y=k有两个不

同交点，如图.观察图象可知，当0VZV1时y=/(©的图象与直线)，=%有两个不

同交点，即攵@(0,1).

11.已知二次函数/(%)=加+法+。满足a>b>c,且/(1)=0,函数g(x)=/(x)

+bx.

(1)证明：函数y=g(尤)必有两个不相等的零点；

(2)设函数y=g(x)的两个零点为xi,xi,求|xi—刈的取值范围.

解：(1)由/(1)=0得a+b+c=0,所以Z?=—(a+c),g(x)=f(x)-\-bx=ax1-\-2hx

+c.

令g(x)=0,即ox24-2Z?x+c=0,则J=4/?2—4ac=4(a+c)2—4ac=4(«2+lac

2

+c1—ac)=4\a2+ac+^c2^+3c2=4[a+^+3c2>0,即ax1+2bx+c=Q有两个不

等实根.

所以函数y=g(x)必有两个不相等的零点.

⑵由⑴知y=g(x)的两个零点，即方程ax2+2hx+c=Q的两个实根，

f2b

X\~1VX2=——,

所以<

所以|尢1一X2|

=7（XI+X2）2-4X1X2

b^—ac

2

a

因为/(1)=Q+/?+C=0,且a>h>c,

所以〃>0,c<0.

当40,-VO且,=一.时，阳一M|min=小.

所以阳一刈的取值范围为［小，+°°).

B组新高考培优练

e",xWO,

12.(多选题)已知函数/(x)=，，g(x)=f(x)+x+a,则函数g(x)的零

Jnx,x>0,

点个数可能为()

A.0B.1C.2D.3

BC解析：画出函数/(x)的图象，y=e*在y轴右侧的去掉，如图，再画出直

线y=-x,之后上下移动直线y=—可以发现直线与函数图象有两个或一个交点.

13.设函数/(x)的定义域为R,/(—x)=/(x),/(尤)=/(2—幻.当尤G［O,1］时，

f(x)=^,则函数g(x)=|cos前一/(X)在区间［―g，|上零点的个数为()

A.3B.4C.5D.6

C解析：由/(一%)=/(九)，得/(九)的图象关于y轴对称.由/(幻=/(2—幻，

得了⑴的图象关于直线x=l对称.当时，/(x)=/,所以/(x)在［-1,2］上

的图象如图.

令g(x)=|cos7tx\—f(x)=0,

得|COSTtx\—f(x),

「13"

函数y=f(x)与y=|cosM的图象在一/,5上的交点有5个.

14.已知函数/(%)=。+%一Z?的零点x()W(〃，〃+l)(〃WZ),其中常数a,匕满

足2a=3,3，=2,贝I]〃=.

-1解析：a=log23>l,0<Z?=log32<l.令/(x)=0,得a'=—尤+/?.在同一平面

直角坐标系中画出函数y=ax和y=—x+h的图象，如图所示.

由图可知，两函数的图象在区间(一1,0)内有交点，所以函数/(x)在区间(一1,

0)内有零点，所以〃=-1.

15.若曲线y=log2(2'—m)(x>2)上至少存在一点与直线y=x+1上的一点关于

原点对称，则m的取值范围为.

(2,4]解析：直线产x+1关于原点对称的直线为y=x-l.依题意方程log2(2,

一〃z)=x-l在(2,+8)上有解.则加=2厂1在xW(2,+8)上有解，所以加>2.又

2'一〃?〉0恒成立，则机W(2*)min,即.所以实数m的取值范围为(2,4].

16.已知函数/(©={,：]、]‘，若方程/。)=依一2有两个不相等的实

.|ln(x—1)|,x>\.

数根，则实数攵的取值范围是.

[3,+°°)解析：由题意知函数/(x)的图象与恒过定点(0,—2)的直线)，=履

—2有两个交点，作出y=f(x)与2的图象，如图所示.

当直线)=履一2过点(1,1)时，k=3.

结合图象知，当女23时，直线与y=f(x)的图象有两个交点.

17.已知&WR,函数/(x)=log2(T+a).

⑴当a=5时,解不等式〃力>0；

(2)若函数^(x)=/(x)+21ogu只有一个零点，求实数a的取值范围；

解：⑴当。=5时，/(x)=log2(《+5).

由f(x)>0,即log2c+5)>0,可得工+5>1,解得XV—;或x>0.

\AJX4

即不等式/(x)>0的解集为(一8,-£|u(0,+°°).

(2)g(x)=/(x)+21og2%=log2(j++21ogzx=log2(^~+中A->0).

因为函数g(,x)=/(x)+21og2X只有一个零点，即g(x)=o只有一个根，

即(；+必=1在(0,+8)上只有一个解’

即。^+工一1=0在(0,+8)上只有一个解.

①当a=0时，方程x-l=0,解得x=l,符合题意.

②当aWO时，设函数y=tu2+x—1.

当a>0时，此时函数1与x轴的正半轴，只有一个交点，符合题

意；

当a<0时，要使得函数y=a)r+x-1与x轴的正半轴只有一个交点，

则满足J2a解得a=­j.

J=l+4n=0,

综上可得，实数a的取值范围是+°°).

5函数模型及其应用

A组全考点巩固练

1.下列函数中，随x的增大，y的增大速度最快的是（）

A.y=0.001e'B.y=lOOOlnx

C.y—000