等比数列教案

2.4等比数列教案(一)

教学目标

知识与技能目标

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式.

过程与能力目标

1.明确等比数列的定义;

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道%,外,4,n中的三个，求另一个的问题.

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用.

教学难点

等差数列"等比"的理解、把握和应用.

教学过程

一、情境导入：

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点？(教材上的P48面)

!!J.

1,2,4,8,16,…，263;①1»2,4,8,....②

20,202,2031.0198,1.10982,1.10983.

1,，…；③④

a”1J

对于数列①，%=2"T；=2(n32).对于数列②，a"=2"-'.2(n》2).

an

对于数列③，%=20'1；%=20(n22).

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.

二、检查预习

1.等比数列的定义.

2.等比数列的通项公式:

aaH0)

n~\-q"\avq^G)，an，

—=q(nsN*,q于6)

3.{an}成等比数列Oa"

4.求下面等比数列的第4项与第5项：

213；(4)立1(

(1)5.-15,45,(2)1.2,2.4,4.8,；(3)3'2-8

三、合作探究

(1)等比数列中有为。的项吗？

(2)公比为1的数列是什么数列？

(3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？

(4)常数列都是等比数列吗？

四交流展示

等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常

%

数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比,用字母q表示(qWO),即：=q

(qWO)

a

n+i

注：⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；{4}成等比数歹|0%=q("eN+,

qWO.)

(2)隐含：任一项°且#°

(3)q=l时，{an}为常数数列.(4).既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.

2.等比数列的通项公式1：%=4W'T(q，q均不为°)

观察法：由等比数列的定义，有：%=%q；

%—a)q—(a、q)q—aq2a=aq—(aq2)q—aq^

}，43]}，

n

atl=an_}q=a}-q~\a?#0)

4%%an

-~q-=Q--Q-J=q

迭乘法：由等比数列的定义，有：劣；的.«3.....

—a—2—.a•3・a4•••—(nj-l

所以％a2。3an-\,即a“=«r/T(q，4/0)

等比数列的通项公式2:a“=a“jq"-'"(a,",gwO)

五精讲精练

例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.

1833%re2。a,„216

a

•/一=—=>q=—•'2=—=12x-=8,a1=—=8x—=—.

解：1222q3q33

点评：考察等比数列项和通项公式的理解

变式训练一：教材第52页第1

例2.求下列各等比数列的通项公式：

(1)%=一2,4=-8;(2)ax=5,且2aI=-3%

解：

⑴%=%=>/=4nq=±2=(-2)2”|=-2"或%=(-2)(-2产=(-2)"

_|

q=—^=_不又：«,=5an=5x（--）"

⑵%22

点评：求通项时，求首项和公比

变式训练二：教材第52页第2

例3.教材P50面的例1。

0JI2w-d

例4.已知无穷数列0,105,“……10T,……，

求证：（1）这个数列成等比数列；

1

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的10；

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.

n—\

a

证：（1）”一‘I。5（常数）...该数列成等比数列.

1

an=—all+5

(2)"10

p-1q-\p+q-2

(3)apa<!=105105=105..p,qeN.p+q>2

...p+g-lNl且(〃+q_l)wN

p+q-2n-1

10-ehov>

-J,（第p+q-i项）.

变式训练三：教材第53页第3、4题.

六、课堂小结：

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式及变形式

七、板书设计

八、课后作业

阅读教材第48〜50页；

2.4等比数列教案（二）

知识与技能目标

进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；

过程与能力目标

利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质

方法与价值观

培养学生应用意识.

教学重点，难点

(1)等比数列定义及通项公式的应用；

(2)灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题.

教学过程

二.问题情境

1.情境：在等比数列中，(1)"；="必9是否成立？是否成立？

(2)>=勺-2。"+2(〃>2)是否成立?

2.问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？

三.学生活动

对于(1)•.・05=。闻，％=...。臼==(。1/)=%，成立

同理：魅二%%成立.

对于(2)4="a”1,4-2=qg"3,4+2=.(7”」，

a，+ia21

...。”-2。"+2=。闻",\Q—\q-"—(%q")2=a~,a；=a„_2<2n+2(n>2)成立

一般地：若m+l^=p+q(n^,〃,q,peN+),则册

四.建构数学

1,若｛qJ为等比数列，m+n=p+q(m,n,q,peN+)则%q=%,q.

由等比数列通项公式得：册=M二%=W,ap=q尸，％=q•产，

故4."a：q，2且ap-aq=前矽,

...m+〃=p+q,...《”.凡=%,

——q

2.若｛“/为等比数列，则^

%=qm-n

由等比数列的通项公式知：，则/

五.数学运用

1.例题:

例1.（1）在等比数列中，是否有用（"22）?

（2）在数列仅"｝中，对于任意的正整数〃（〃之2）,都有

那么数列｛"/一定是等比数列.

解：（1）•.•等比数列的定义和等比数列的通项公式数列伍"｝是等比数列，％《I,

2_

即a”=«„-r«n+i（n>2）成立.

（2）不一定.例如对于数列总有%=%-「《M,但这个数列不是等比数列.

例2.已知［《J为GP,且%=8,%=2,该数列的各项都为正数，求｛4｝的通项公式。

解：设该数列的公比为4,由％得84,又数列的各项都是正数，故2

a,,=8x（：）"-5

则2

例3.已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。

—,a,aq

解：由题意可以设这三个数分别为“，得:

acr

——a・aq=27

qa=3

j+a2=91/」+1+42）=91

qJ-Kq-

2£

...财一即得或"

82/+9=0,d=99,

1

.q=±—

4=±3o或3

故该三数为：1,3,9或T,3,一9或9,3,1或-9,3,-1.

a

一,a,aq

说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为q

例4.如图是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形,

并擦去中间一段，得图形(2),如此继续下去，得图形(3)……求第几个图形的边长和周

长.

解：设第〃个图形的边长为凡，周长为

£

由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的...数列是

等比数列，首项为1,公比为3.

,“上

要计算第〃个图形的周长，只要计算第〃个图形的边数.

第一个图形的边数为3,从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的4倍,

...第〃个图形的边数为3*4"-[

14

%=(3尸X(3X4"T)=3X(§)"T

2.练习：

1.已知｛“/是等比数列且为%%=9,

贝|Jlog34+log34+…+I°g3%>=

2.已知｛4｝是等比数列，49=-512,%+/=124,且公比为整数，则

40二.

3.已知在等比数列中，4=一%4=54,贝产=

五.回顾小结：

1.等比数列的性质(要和等差数列的性质进行类比记忆).

六.课外作业：书练习第1,2题，习题第6,8,9,10题.

七板书设计

课内探究学案

（-）学习目标

1.明确等比数列的定义；

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道％,%,口,n中的三个，求另一个的问题.

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用.

教学难点

等差数列"等比"的理解、把握和应用.

（-）学习过程

1、自主学习、合作探究

1,等差数列的证明：①4=（3*0）；②S,=a+bq"（q*0、叱1）,a+b=0.

%

③证明为常数（对于"">°适用）；④证明

2.当引入公比q辅助解题或q作为参数时，注意考虑是否需要对4=1和9*1进行分类讨

论。

3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参

数这四类问题同源。

4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（加+“=〃+4）和

m+n=2p)

aaa

-3~

5.三数成等比数列，一般可设为4、a、R四数成等比数列，一般可设为4、q、aq、

aa

3~~-2

aq；五数成等比数列，一般可设为4、q、a、的、。①。

2、精讲点拨

三、典型例题

例1数列｛4｝为各项均为正数的等比数列，它的前〃项和为80,且前〃项中数值最大的

项为54,它的前2〃项和为6560,求首项“和公比4。

解：若4=1,则应有S2"=2S"，与题意不符合，故4*1。依题意有：

q（y）

(1)

"q

⑵

⑵V

--------oZ.

⑴得1一。‘即广一82/+81=0

得/'=81或/'=1（舍去），.W=81。

由q"=81知q>l,...数列｛%｝的前〃项中凡最大，得4=54。

将，'=81代入⑴得4=4-1（3）,

由%=।=54得=54«,即81al=54q⑷，

a=2

<1

联立（3）（4）解方程组得14=3。

_20

例2（1）已知｛“"｝为等比数列，4=2,023,求｛4｝的通项公式。

⑵记等比数列｛4｝的前"项和为S",已知q+%=66,4*=128,5“=126,求

〃和公比4的值。

=空a,20

一+为＜?

解：(1)设等比数列｛%｝的公比为4(470),3T

则q

2c20110

—+2q=—1

—+q=—q=-_Q

即43也即43,解此关于°的一元方程得3或4=3。

…q.\=2.3"\.q=2.3,T

(2)在等比数列｛4｝中，有&。“一3=4凡=128,又“+/=66,联立解得

4=2ax—64

或卜=2

4=64

==126

由此知q’l,而"q,从而解得

1

(cq=­

。=2r2

<

72=6或〃=6

例3已知数列｛4｝,其中％=2"+3",且数列｛an+i+'为｝(几为常数)为等比数列,

求常数几。

解：｛""+1+助”｝为等比数列，那么=(4+2+阳用)(4,+%i),将

―“-(2+A)(3+/L)-2n-3,'=0“”

4=2+3代入并整理得6,解之得力=_2或2=_3。

例4设｛q｝、也｝是公比不相等的两个等比数列，c，，=4+d,证明数列匕，｝不是等比

数列。

解：设｛%｝、｛2｝分别是公比为〃、qa的两个等比数列，要证明｛%｝不是等比

数列，我们只需证即可。事实上

2222

c；=(%p+刎丫=a；p?+2岫皿+白讨c^c3=(<z,+bt)(atp+bxq)=a,/7+

力「d+。占（P?+92）•:p手qp2+q2>2pq,又q4w0,c2?wc£

列｛,"｝不是等比数列。

3、反思总结

4当堂检测

1.已知等比数列｛%｝中々=1,则其前3项的和$3的取值范围是（）

A（FT]3.（-°°，O）U（1收）

C[3,+oo）D（F，T]U[3,+OO）

2.已知｛叫是等比数列，4=2'a=-4,贝产4+44+…：

4.16（1—4-"）B.El—》"）

3.若实数“、b、C成等比数列，则函数y="~+'x+c与X轴的交点的个数为（）

AOB.1C.2D无法确定

4.在数列｛4｝中，且｛""“"J是公比为“（4>°）的等比数列，该数列满足

为4+|+4用/+2>%+2乙+3（〃eN*）,则公比4的取值范围是（）

0<<=^-1+V5

qQ<q<

C.2D.2

5.设数列｛“"｝满足l°g"X"+i=l°g"X"+l（。>0,"wM）,且

X]+X2+•••+%00=1。0则F01+%102,■工200

6.设｛%｝为公比4>1的等比数列，若“2004和。2005是方程4x2-8x+3=°的两根，则

〃2006+“2007

7.设｛“〃｝是由正数组成的等比数列，公比4=2,且％。2a3•••%)=23°,则

%。6a9…“30二__________O

8.设两个方程V+1=°、/一云+1=°的四个根组成以2为公比的等比数列，则

而=。

9.设数列口｝为等比数列，方=叫+(〃—1)%+…+及*+"",已知工=1,4=4。

(1)求等比数列伍’的首项和公比；

(2)求数列的通项公式。

10.设数列｛"J的前〃项和为S",已知她一2"=(8-1)S,

(1)证明：当人=2时，｛""一"？"‘｝是等比数列；

(2)求｛%｝的通项公式。

2

J=不/+〃_4,勿=(T)"3“—3〃+21)

1L己知数列伍"｝和他/满足：％3,其中

尤为实数，”为正整数。

(1)对任意实数4,证明数列也"｝不是等比数列；

(2)试判断数列协/是否为等比数列，并证明你的结论；

(3)设°<a<0,S"为数列仍"｝的前"项和。是否存在实数4，使得对任意正整数〃，都

有a<S“<”?若存在，求；I的取值范围；若不存在，说明理由。

【当堂检测】

S3=4+a,+%=——+%+a、q—Fq+1

I.D解析：设数列的公比为那么-q~~q，函

f(q)=—Fg+1/ill|「a'c

数qI*°)的值域为”人从而求得力的取值范围。

,,<7=3件=3^-=—)

2.C解析：等比数列mJ的公比V82,显然数列也4"也是等比数列，

2’,〃f1Y1

4七==—=8q-=—=(72=—=—

其首项为-q1/2，公比41%%(2J4

a\a2+a2a3+…+a“a“+i=-------r

1——

/.4

3.A解析：a、b、c成等比数列，.•.二次函数y=G^+bx+c的判别式

22

^=b-4ac=-3b<0t从而函数与x轴无交点。

4,44+1+4+4，+2>4+24+3,《4+1+a,"“+a>44用/，而%>°,

1-b1+逐

>0,；.1+“42即/F—KO,解得了<"丁，而q>0,故公比

1+75

0n<q<-------

乡的取值范围为2。

5.1OO400

log”=1=a(।

解析：l°g“x"+i=log"X"+l,即七，也即%„,从而数列是公比为a

+X110

的等比数列。,Foi+弓02_1—(Xl2■西00>"°°=100«°

6.18

_13_1_2

解析：4f_8x+3=o的两根分别为5和5,q>i,从而5、-万

...q=。2005_3

%004%006+4007=(%004+%005>〃=2x3=18

oO

722。

解析.q4a3…=(4。3。),=2',4。30==4,

1020

4a6%…4。=(。3a30)'=(4旬丫=[(。@)4?了=("&)',"。=炉'2=2

27

4

8.

解析：设该等比数列为为、々、七、%,二百匕=工2W=MV*=8xj=1

II=_Lx=_L

Xj

v82>/2,从而2y/2、F=y/2、x4=2亚

:.ab=2V2+27

表）⑼专）T

9.解：（1）对于等式/"=叫+("一1)4+…+4T+%,令〃=1得1=4=1；令〃=2

：.q=^-=2

=2q+a2=2+%=4，a,=24

n2n

(2)4,=2"二则<=〃+2(〃-1)+2?(〃一2)+…+2-2-+2-'①

①x2得27；=2n+22(〃-1)+23(〃一2)+…+2-2小+2"②

②-①得：

23,-|,,n,,+1

7；1=(2+2+2+---+2-)+2-n=(^2)-n=^Y^|-^-n=2-n-2

’10

10.解：(1)证明：由题意知4=2,且她-2"=伍-1应，”|-2"=e-l)S.+1

两式相减得N%+i一4)-2"=仅T)%,即4出=ban+2"①

当6=2时，由①知为+i=24+2”,于是

用一(〃+1)•2"=2a"+2"—(〃+1)・2"=2(勺—〃・2二)

又4-121=1*°,所以｛《Li｝是首项为1,公比为2的等比数歹小

(2)当〃=2时，由⑴知a,「〃・2"T=2",即％=("+1)2",

当匕H2时，由①得

n+l

0,1+1-2^-2'用=ha+2"———.2=ba一一--2"

2-b"2-b

=ba-一-.2"

n"2-b

£.2」也一£.2）然.

,•an+\

2n=l

£[2"+(2_2m-[n>2

11.解：(1)证明：假设存在一个实数力,使｛《J是等比数列，则有42=4%,即

2A,44040

(—A—3)~=A(—X—4)<=>—A,—4A,+9=——42<=>9=0

3999，矛盾。

所以他/不是等比数列.

b“+i=(一1)"1%一3(〃-1)+21]=(-1)"”•尼凡一2〃+14]

⑵解：2)

2?

=+22-大又4=飞+18),所以

当4=一18时，々=0（"eN）,这时｛"｝不是等比数列;

h7

当作一18时，4=一（九+18）二°由上可知2二°b,,3

2

故当入,T8时，数列也｝是以一（"+18）为首项,§为公比的等比数列。

（3）由（2）知，当九=一18时，b“=0,S=0

n不满足题目要求。

、〃一1

2=-(4+18)(-g

故知7,可得

3

Sn=--(>l+18)-1-

①

/(〃)=1一

令I,则

1<f(n)<——<f(n)<1

当〃为正奇数时，3.当〃为正偶数时，9。

所以/(〃)的最大值为'⑴-3,最小值为“2)-9。

Q1

-?-<--(2+18)<-<=>-/?-18<2<-3«-18

于是，由①式得W953/5。

当3a时，由一人一18之一3a—18知，不存在实数丸满足题目要求；

当人>3。时，存在实数2，使得对任意正整数〃，都有且；I的取值范围是

等比数列学案

一、课前预习

(-)预习目标

1.理解等比数列的定义；

2.了解等比数列的通项公式

(-)自我探究

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点？(教材上的P48面)

_L_LJ.

1,2,4,8,16,…，263;①1,2,4,8,②

20,202,2031.0198,1.10982,1.10983……

1,，…；③④

a„]%J

对于数列①，%=2"Ta'<-'=2(n22).对于数列②，4=2"T；an-i2(n22).

%

对于数列③，%=20"T《I=20(n22).

共同特点：

a

n+l

⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；｛%｝成等比数列O%=q（〃GN+,

q70.）

（2）隐含：任一项且

（3）q=l时，｛an｝为常数数列.

（4）.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.

（四）提出疑惑

（五）预习内容

1、等比数列的定义

2、等比数列的通项公式

1.如果一个数列｛""｝从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数

列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母4（4力0）表示.

数学语言描述：对于数列｛叫，如果满足％="4T（〃22、〃cN*,4为常数，夕工°）,

那么｛%）为等比数列。

2.当等比数列的公比4=1时。该等比数列为常数列。

3.等比数列的通项公式：对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：

q=n-j—n-m—

①4=a,"/'"；②丫见，（机a〃，此结论对于V%有意义时适用）。

4.等比数列的增减性：若当g>1时，等比数列｛6J为递增数列；当°<4<i时，

等比数列｛凡｝为递减数列；当夕<°时，等比数列｛4｝的增减性无法确定（摆动数列）。若

4<0,当4>1时，等比数列｛"，，｝为递减数列；当°<4<1时，等比数列｛4｝为递增数

列；当夕<°时，等比数列｛""｝的增减性无法确定（摆动数列）。

5.如果在数a和中间插入一个数G,使得a、G、。三数成等比数列，那么我们就称数A

为数。和匕的等比中项，且G2=H。

6.等比数列的前〃项和公式

设数列｛“，，｝是公比为4的等比数列，那么该数列的前〃项和

na

\na],q=\

Ii-qIi-q

o

7.等比数列的主要性质：

⑴在等比数列｛4｝中，若m+n=P+q,则4M=%%；

aaa

（2）在等比数列｛""｝中，若m+〃=2p,[|||jm„=p.

（3）对于等比数列｛4｝,若数列｛4｝是等差数列，则数列｛“"J也是等比数列；

（4）若数列｛4｝是等比数列，则对于任意实数4,数列｛2""｝、｝也是等比数列；

1'

<---

（5）若数列｛"/是等比数列且%0°,则数列1%J也是等比数列；

（6）若数列｛""｝是等比数列且%7°,则数列｛“g"4｝为等差数列；

（7）若数列｛4｝和｛""｝都是等比数列，则数列也是等比数列；

（8）若S"是等比数列｛q｝的前〃项和，则S,,、$2“一s"、53”一与“、…成等比数列，其

公比为4"；

四、课堂同步训练

1.已知等比数列｛%｝中“2=1,则其前3项的和$3的取值范围是（）

8.(fO)U(l,同

。」3收)D(-°°,T]U[3,4W)

2.已知依｝是等比数列,a2=2,%4,则%%+a2a3+…+«„«„+1=

A16(1-4-")5.16(1-2-)

3.若实数a、b、C成等比数列，则函数旷=6~+"+’与X轴的交点的个数为（）

A05.1C.2D无法确定

4.在数列｛""｝中，/且｛4%+）是公比为“（4〉0）的等比数列，该数列满足

44+1+凡+避"+2〉-（〃wN*）,则公比（7的取值范围是（）

0〈”二0<”匕或

A2B.2

0<4<士也

C.2D.2

5.设数列｛“"｝满足l°g"X"+iT°ga%+1(。>0,"1,neN*),且

X

元]+X2H!"Xoo=100,则X]O1+X[02200

6.设｛4｝为公比夕＞1的等比数列，若“2004和“2005是方程4/-8x+3=°的两根，则

^2006+“2007

7.设｛4｝是由正数组成的等比数列，公比Q=2,且…。30=2前，则

a3a6%,.•。30=

8.设两个方程V-"+1=°、f-陵+1=°的四个根组成以2为公比的等比数列，则

ah=

7；=叼+(〃_1)。2+•••+2a,i+a,j已知7；《

9.设数列为等比数列,1=4

（1）求等比数列｛%｝的首项和公比;

（2）求数列的通项公式。

10.设数列｛叫的前〃项和为S”,已知她一2"=e-1）5,

｛""一〃,2"'｝是等比数列;

（1）证明：当匕=2时,

（2）求｛""｝的通项公式。

2

11.已知数列和S”｝满足：4一铲4々一（1）（凡3〃+21）,其中

几为实数，〃为正整数。

（1）对任意实数％,证明数列他"不是等比数列;

(2)试判断数列出"｝是否为等比数列，并证明你的结论；

(3)设为数列仍”｝的前〃项和。是否存在实数4，使得对任意正整数〃，都

有若存在，求;I的取值范围；若不存在，说明理由。

【同步训练参考答案】

。21,

=4+%+%=F/+a〉q——Fg+1

I.D解析：设数列的公比为q,那么一q一一q，函

f(q)=-+q+]

的值域为(—8'T]U[3,+8),从而求得S3的取值范围。

数q

q=『3—

2.C解析：等比数列｛凡｝的公比丫“2V82,显然数列｛4a“+J也是等比数列,

的2=4=二=8

其首项为q1/2公比an-\4

4出+%%+…+4M〃+i

3.4解析：。、b、C成等比数列，.•.。2=4，.•.二次函数y=ox2+bx+c的判别式

△=/—4ac=­3/<0,从而函数与x轴无交点。

7八

4anan+l+an+ian+2>a„+2a„+3(anan+t+anan+]q>anan+]q-而为>°,

1-也1+逐

>o,即d-g-ivo,解得2<q<2，而q>°,故公比

n1+后

0<q<-------

4的取值范围为2。

5.100«10°

X

log“=1

解析：1。瓦1=1呜%+1,即x„,也即当，从而数列｛七｝是公比为。

..玉0]+%H^Woo=(X|+W^00),a=100。

的等比数列。02

6.18

_L3_L_2

解析：4x2-8x+3=0的两根分别为5和5,4>1,从而“绅"一5、生°°5一5

.・q_%oo5_3

。2004。%006+。2007=(。2004+。2005>4~=2乂3~=18

/2。

解析：GW%…4o=(44o)=21Qg=2?=4,

,e,3a6a9,•'〃30=(%“30)=(4/2)=[(q/0)夕~]=(。1。30),~・2,°=2~°

27

8.4

解析：设该等比数列为玉、与、七、X4）%园=X2X3==8x：=1,

'《2V2