2025版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第5讲基本不等式提能训练

第1章集合、常用逻辑用语、不等式第5讲基本不等式A组基础巩固一、单选题1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(C)A．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))B．y＝cosx＋eq\f(1,cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C．y＝ex＋eq\f(4,ex)－2D．y＝x＋eq\f(1,x)[解析]由已知结合函数单调性及基本不等式分别检验各选项即可推断．令t＝eq\r(2＋x2)，则t≥eq\r(2)，y＝eq\f(x2＋3,\r(2＋x2))＝eq\f(1＋t2,t)＝t＋eq\f(1,t)在[eq\r(2)，＋∞)上单调递增，函数在t＝eq\r(2)处取得最小值eq\f(3\r(2),2)，A错误；令m＝cosx，则由0<x<eq\f(π,2)得0<m<1，y＝m＋eq\f(1,m)在(0,1)上单调递减，没有最小值，B错误；y＝ex＋eq\f(4,ex)－2≥2eq\r(ex·\f(4,ex))－2＝2，当且仅当x＝0时取等号，C正确；当x<0时，D明显不成立．故选C.2．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝(D)A．24 B．28C．32 D．36[解析]因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.故选D.3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(B)A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D．eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b[解析]解法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<eq\r(ab)＝eq\r(2)<eq\f(a＋b,2)＝1.5<b＝2.解法二(干脆法)：我们知道算术平均数eq\f(a＋b,2)与几何平均数eq\r(ab)的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.4．若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为(C)A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4[解析]因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a>0，b>0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2eq\r(2).5．(2024·湖北八校第一次联考)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，则x＋y的最小值为(B)A．12 B．16C．20 D．24[解析]解法一：由题意x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋9≥1＋2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋9＝16，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,\f(1,x)＋\f(9,y)＝1，,\f(y,x)＝\f(9x,y)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝12))时取等号，故选B.解法二：由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1得9x＋y－xy＝0，即(x－1)(y－9)＝9，可知x>1，y>9，所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2eq\r(x－1y－9)＋10＝16，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,y>9，,\f(1,x)＋\f(9,y)＝1，,x－1＝y－9＝3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝12))时取等号，故选B.6．(2024·山西师大附中月考)已知x>0，y>0，x＋9y＝3，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为(C)A．16 B．4C．eq\f(16,3) D．eq\f(20,3)[解析]因为x>0，y>0，x＋9y＝3，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋9y)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(9y,x)＋\f(x,y)))≥eq\f(1,3)(10＋6)＝eq\f(16,3)，当且仅当eq\f(9y,x)＝eq\f(x,y)且x＋9y＝3，即y＝eq\f(1,4)，x＝eq\f(3,4)时取等号．7．(2024·安徽黄山质检)已知f(x)＝eq\f(x2＋3x＋6,x＋1)(x>0)，则f(x)的最小值是(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由题意知，f(x)＝eq\f(x2＋3x＋6,x＋1)＝eq\f(x＋12＋x＋1＋4,x＋1)＝x＋1＋eq\f(4,x＋1)＋1，因为x>0，所以x＋1>0，则x＋1＋eq\f(4,x＋1)＋1≥2eq\r(4)＋1＝5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＋1＝\f(4,x＋1)，即x＝1时取“＝”))故f(x)的最小值是5.8．(2024·山西高三阶段练习)已知正实数a，b满足2a＋b＝6，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b＋2)的最小值为(C)A.eq\f(4,5) B．eq\f(4,3)C.eq\f(9,8) D．eq\f(9,4)[解析]∵2a＋b＝6，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b＋2)＝eq\f(4,2a)＋eq\f(1,b＋2)＝eq\f(1,8)(2a＋b＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2a)＋\f(1,b＋2)))＝eq\f(1,8)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋1＋\f(2a,b＋2)＋\f(4b＋2,2a)))≥eq\f(1,8)×(5＋2eq\r(4))＝eq\f(9,8)，当且仅当eq\f(2a,b＋2)＝eq\f(4b＋2,2a)，即b＝eq\f(2,3)，a＝eq\f(8,3)时，取等号．故选C.二、多选题9．(2024·山东新高考模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝2，下列式子中，最小值为2的有(BCD)A．2ab B．a2＋b2C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b) D．eq\f(2,ab)[解析]因为a，b>0，所以2＝a＋b≥2eq\r(ab)，所以0<ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．由ab≤1，得2ab≤2，所以2ab的最大值为2，A错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，B正确；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(2,ab)≥2，C正确；eq\f(2,ab)≥2，D正确，故选BCD.10．下列命题中正确的是(BD)A．函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)的最小值为4B．函数y＝eq\f(x2＋4,\r(x2＋3))的最小值为eq\f(4\r(3),3)C．函数y＝2－3x－eq\f(4,x)(x>0)的最小值为2－4eq\r(3)D．函数y＝2－3x－eq\f(4,x)(x>0)的最大值为2－4eq\r(3)[解析]A．sinx＝eq\f(4,sinx)取到最小值4，则sin2x＝4，明显不成立．因为eq\r(x2＋3)≥eq\r(3)，所以取不到“＝”，设eq\r(x2＋3)＝t(t≥eq\r(3))，y＝t＋eq\f(1,t)在[eq\r(3)，＋∞)上为增函数，最小值为eq\f(4\r(3),3)，故B正确；因为x>0时，3x＋eq\f(4,x)≥2·eq\r(3x·\f(4,x))＝4eq\r(3)，当且仅当3x＝eq\f(4,x)，即x＝eq\f(2\r(3),3)时取“＝”，所以y＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,x)))有最大值2－4eq\r(3)，故C项不正确，D项正确．故选BD.11．(2024·四川成都新都区诊断改编)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(n,3a＋b)恒成立，则n的值可以为(BC)A．18 B．12C．16 D．20[解析]由题意知n≤(3a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))＝10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)，∵10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥10＋2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝16(当且仅当a＝b时取等号)，∴10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)的最小值为16，故n的最大值为16.选BC.三、填空题12．(2024·山东济南三模)已知正实数a，b满足ab＝4，则eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值为_3__.[解析]由题设，eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(9,b))＝eq\f(6,\r(ab))＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立．13．(1)当x>2时，x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6.(2)当x≥4时，x＋eq\f(4,x－1)的最小值为eq\f(16,3).[解析](1)∵x>2，∴x－2>0.∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(4)＋2＝6，当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时“＝”成立．∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函数y＝t＋eq\f(4,t)在[3，＋∞)上单调递增，∴当x－1＝3，即x＝4时，y＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)＋1有最小值eq\f(16,3).14．已知函数f(x)＝3x＋eq\f(a,3x＋1)(a>0)的最小值为5，则a＝9.[解析]f(x)＝3x＋1＋eq\f(a,3x＋1)－1≥2eq\r(a)－1＝5，∴a＝9，经检验，当3x＝2，即x＝log32时等号成立．15．(2024·湖北部分重点中学联考)已知x>0，y>0，若eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是_(－4,2)__.[解析]∵x>0，y>0，∴eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)≥2eq\r(\f(2y,x)·\f(8x,y))＝8(当且仅当y＝2x时取等号)，∴eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)的最小值为8，由题意可知m2＋2m－8<0，解得－4<m<2，即m的取值范围是(－4,2)．16．(2024·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是eq\f(4,5).[解析]∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝eq\f(1－y4,5y2).∴x2＋y2＝eq\f(1－y4,5y2)＋y2＝eq\f(1,5y2)＋eq\f(4y2,5)≥2eq\r(\f(1,5y2)·\f(4y2,5))＝eq\f(4,5)，当且仅当eq\f(1,5y2)＝eq\f(4y2,5)，即x2＝eq\f(3,10)，y2＝eq\f(1,2)时取等号．∴x2＋y2的最小值为eq\f(4,5).B组实力提升1．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(ABC)A．ab有最大值eq\f(1,4)B.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4D．a2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)[解析]因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，所以ab≤eq\f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号，所以ab有最大值eq\f(1,4)，所以A正确；eq\r(a)＋eq\r(b)≤2eq\r(\f(a＋b,2))＝eq\r(2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)取等号，所以eq\r(a)＋eq\r(b)的最大值为eq\r(2)，所以B正确；因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4，所以C正确；因为a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号，所以a2＋b2的最小值不是eq\f(\r(2),2)，所以D错误．故选ABC.2．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是(C)A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．2eq\r(3)[解析]因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以lg(2x·8y)＝lg2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.因为x>0，y>0，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(x＋3y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))＝2＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y)≥2＋2eq\r(\f(3y,x)·\f(x,3y))＝4，当且仅当x＝3y＝eq\f(1,2)时取等号，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值为4.故选C.3．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y＋2)的最小值为(A)A.eq\f(1,2) B．2C．eq\f(1,3) D．1[解析]令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，∴eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y＋2)＝eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))×eq\f(1,8)(m＋n)＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(m,n)＋2))≥eq\f(1,8)·(2eq\r(1)＋2)＝eq\f(1,2).当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝n＝4时等号成立．∴eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y＋2)的最小值为eq\f(1,2).4．(多选题)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今日大致相同，而今我们称eq\f(a＋b,2)为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是(ACD)A．若a>0，b>0,2a＋b＝1，则eq\f(1,2a)＋eq\f(1,b)≥4B．若实数a>0，b>0，满足2a＋b＝1，则4a2＋b2的最小值为eq\f(1,3)C．若a>0，b>0，eq\f(1,a)＋b＝2，则eq\f(a,a＋1)＋eq\f(1,b)的最小值为eq\f(4,3)D．若a>0，b>0，a＋b＝4，则eq\f(a2,a＋2)＋eq\f(b2,b＋2)的最小值为2[解析]依据2a＋b＝1，利用基本不等式“1”的妙用，即可求出eq\f(1,2a)＋eq\f(1,b)的最小值；先将2a＋b＝1完全平方后绽开，利用基本不等式即可求解；用b表示出a，再代入eq\f(a,a＋1)＋eq\f(1,b)中，利用基本不等式求出最小值；设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＝m，,b＋2＝n，))用m和n表示出a和b，再代入eq\f(a2,a＋2)＋eq\f(b2,b＋2)化简变形，利用基本不等式求得最小值．因为a>0，b>0,2a＋b＝1，所以eq\f(1,2a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)＋\f(1,b)))(2a＋b)＝2＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝4，当且仅当eq\f(b,2a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2a时，等号成立，故A正确；∵2a＋b＝1，∴1＝(2a＋b)2＝4a2＋b2＋4ab＝4a2＋b2＋2eq\r(4a2)eq\r(b2)≤2(4a2＋b2)，∴4a2＋b2≥eq\f(1,2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))时等号成立，故B错误；原式＝eq\f(1,\f(1,a)＋1)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2－b＋1)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,3－b)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3－b)＋\f(1,b)))(3－b＋b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－b,b)＋1＋1＋\f(b,3－b)))≥eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当b＝\f(3,2)，a＝2时取等号))，故C正确；令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＝m，,b＋2＝n，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝m－2，,b＝n－2，))由a＋b＝4，得m＋n＝8，则eq\f(a2,a＋2)＋eq\f(b2,b＋2)＝eq\f(m－22,m)＋eq\f(n－22,n)＝m＋eq\f(4,m)－4＋n＋eq\f(4,n)－4＝eq\f(4,m)＋eq\f(4,n)，而eq\f(4,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))