新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.2排列数第2课时排列的综合应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时排列的综合应用学习任务1．驾驭几种有限制条件的排列．(逻辑推理)2．能应用排列学问解决简洁的实际问题．(数学运算、数学建模)类型1数字排列问题【例1】用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满意下列条件的数各有多少个．(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数．[思路导引]明确奇数和偶数的特点→[解](1)法一(特殊位置分析法)：如图，从个位入手：个位排奇数，即从1，3，5中选1个有A31种方法，首位数从解除0及个位数余下的4个数字中选1个有A4由分步乘法计数原理可得，共有A3法二(特殊元素分析法)：0不在两端有A41种排法．从1，3，5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故所排六位奇数共有法三(解除法)：从整体上解除：6个数字的全排列有A66种排法．0，2，4在个位上有3A55法四(解除法)：从局部上解除：个位上任选一个奇数，有A31种排法，其余各位上随意排，有A55种排法，共有A3(2)法一(解除法)：0在首位和5在个位时均不符合题意，故符合题意的六位数共有A6法二(特殊位置分析法)：如图，个位不排5时，分两类：第1类，当个位排0时，有A5第2类，当个位不排0时，有A4故符合题意的六位数共有A5(3)法一(干脆法)：第1类，当千位上排1，3时，有A2第2类，当千位上排2时，有A2第3类，当千位上排4时，形如40△2，42△0的各有A31个，共有形如41△△的有A2形如43△△的只有4310和4302这两个数．故共有72＋24＋6＋6＋2＝110(个)不大于4310的四位偶数．法二(解除法)：四位偶数中，0在个位的有A50在十位、百位的分别有A2不含0的有A2故四位偶数共有60＋48＋48＝156(个)．其中大于4310的状况如下：形如5△△△的有A3形如45△△的有A21×形如432△的只有4320一个；形如431△的只有4312一个．故大于4310的四位偶数共有A3因此，符合题意的四位偶数共有156－46＝110(个)．[母题探究]1．(变结论)若例题中的条件不变，求能被5整除的五位数有多少个？[解]能被5整除的数字个位必需为0或5，若个位上是0，则有A54个；个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A32．(变结论)本例条件不变，若全部的六位数按从小到大的依次组成一个数列{an}，则240135是第几项？[解]由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3A数字排列问题的常用方法及留意事项常用方法：主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满意特殊位置，若一个位置支配的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类探讨．留意事项：解决数字问题时，应留意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其留意特殊元素“0”的处理．[跟进训练]1．(源自人教B版教材)用0，1，2，…，9这10个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？[解]满意条件的四位数可以分为两类：第一类的末位数字是0，有A9其次类的末位数字不是0．要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来完成：第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有A41种方法；其次步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有A81种方法；第三步，确定中间两位数字，有A由分类加法计数原理可知，满意条件的四位数个数为A9类型2排队、排节目问题元素的“在”与“不在”问题【例2】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？[解](1)把元素作为探讨对象．第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A6其次类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有A64种排法．依据分步乘法计数原理，有由分类加法计数原理知，共有A6(2)把位置作为探讨对象．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A6其次步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A5依据分步乘法计数原理，共有A6(3)把位置作为探讨对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A5其次步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A5依据分步乘法计数原理，共有A5(4)间接法．总的可能状况有A75种，减去甲在首位的A64种排法，再减去乙在末位的A6“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素支配位置，再把其他元素支配在其他位置上；从位置入手时，先支配特殊位置，再支配其他位置．提示：解题时，无论是从元素考虑，还是从位置考虑，都要贯彻原委，不能一会儿考虑元素，一会儿考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．“相邻”与“不相邻”问题【例3】某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满意下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．[解](1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A6(2)先排3个舞蹈节目、3个曲艺节目，有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A7(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有A41．“相邻”问题“捆绑法”将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，详细求解步骤如下：(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有An(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有Ak(4)依据分步乘法计数原理，符合条件的排法有An2．“不相邻”问题“插空法”将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，详细求解步骤如下：(1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有An(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别支配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有An(3)依据分步乘法计数原理，符合条件的排法有An定序问题【例4】7人站成一排．(1)甲、乙、丙三人排列依次确定时，有多少种排列方法？(2)甲在乙的左边，有多少种排列方法？[解](1)法一：7人的全部排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A3法二(插空法)：7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的依次去站，只有一种站法，故有A7(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满意条件的有12固定依次的排列问题的求解方法定序问题除法策略：n个不同元素的全排列有Ann种排法，m个特殊元素的全排列有Amm种排法．当这[跟进训练]2．某地媒体为了宣扬医护人员A，B，C，D，E，F共6人(其中A是队长)的优秀事迹，让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法种数为()A．36B．48C．56D．72D[依据题意，可分两步进行分析，第一步，领导和队长站在两端，有A22＝2(种)站法；其次步，支配中间5人，分两种状况探讨：①若B，C相邻且C，D相邻，有A22A33＝12(种)站法；②若B，C相邻且均不与D相邻，有A22A23．3名男生、4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．2880[第一步，支配甲，在除中间、两端以外的4个位置上任选一个位置支配，有A4其次步，支配其余6名，有A6由分步乘法计数原理知，共有A44．某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的依次出场，出场依次有多少种？(2)3位老者与2位年轻人都要分别按年龄从小到大的依次出场，出场依次有多少种？[解](1)5位嘉宾无约束条件的全排列有A55种，由于3位老者的排列依次已定，因此满意3位老者按年龄从大到小的依次出场，出场依次有(2)设符合条件的排法共有x种，用(1)的方法可得x·A3解得x＝A51．A，B，C，D，E5人并排站成一排，假如A，B必需相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种B．48种C．36种D．24种D[把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A42．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36B．30C．40D．60A[奇数的个位数字为1，3或5，所以个位数字的排法有A31种，十位数字和百位数字的排法种数有A423．有5名同学被支配在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么这5名同学值日依次的编排方案共有()A．12种 B．24种C．48种 D．120种B[因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日依次的编排方案共有A44．高三(一)班学生要支配毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出依次，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．3600[先排4个音乐节目和1个曲艺节目，共有A55种方法，再将2个舞蹈节目排在形成的6个空中，共有A6回顾本节学问，自主完成以下问题：1．含有“特殊元素”的排列的解题策略是什么？[提示]接受“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求．2．对于元素有特殊位置的排列的解题思想是什么？[提示]以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．3．对于“元素相邻”和“元素不相邻”的排列的解决方法是什么？[提示]元素相邻问题接受“捆绑”法，不相邻问题接受“插空”法．课时分层作业(五)排列的综合应用一、选择题1．支配甲、乙、丙3位党员干部在周一至周五的5天中参与社区服务活动，要求每人参与1天且每天至多支配1人，并要求甲支配在另外2位前面，则不同的支配方法共有()A．20种B．30种C．40种D．60种A[分三类：甲在周一，有A42种支配方法；甲在周二，有A32种支配方法；甲在周三，有2．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有()A．60个B．48个C．36个D．24个C[由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有2A443．(多选)若3男3女排成一排，则下列说法正确的是()A．共计有720种不同的排法B．男生甲排在两端的共有120种排法C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种D．男女生相间排法总数为72种AD[3男3女排成一排共计有A6男生甲排在两端的共有2A男生甲、乙相邻的排法总数为A2男女生相间排法总数2A4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为()A．30B．48C．60D．96B[“组成三位数”这件事，分两步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A3第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．依据分步乘法计数原理，可以得到A35．元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯须要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有()A．32种 B．70种C．90种 D．280种B[因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必需先取下面的灯，即每串灯取下的依次确定，取下的方法有A8二、填空题6．4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________种不同的站法．504[4名男生和2名女生站成一排共有A66＝720(种)站法，其中男生甲站最左端有A55＝120(种)站法，女生乙站最右端有7．在全部无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有______个．448[千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制，共有8×8．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中3盆兰花不能摆放在一条直线上，则不同的摆放方法有________种．4320[先将7盆花全排列，共有A77种排法，其中3盆兰花摆放在一条直线上的方法有5A三、解答题9．用0，1，2，3，4五个数字：(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？[解](1)可组成4×54＝2500(个)五位数．(2)可组成4A(3)3的倍数的三位数，3个数字必需是0，1，2；0，2，4；1，2，3；2，3，4．故共有2×(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位有A21种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A31种填法，包含0在内的还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为10．九龙壁是中国古代建筑的特色，做工特殊精致，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各具神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是沉降之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不变更升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置．则不同的雕刻模型的种数为()A．A88C．A94D[由题设可知：四条升腾之龙的相对位置有A44种调换方法，四条沉降之龙的相对位置有A411．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最终一步，程序B和C实施时必需相邻，则试验依次的编排方法共有()A．24种 B．48种C．96种 D．144种C[首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最终将程序A排在第一步或最终一步，依据分步乘法计数原理可得，试验依次的编排方法共有A212．(2024·安徽临泉一中高二下月考)英文单词“sentence”由8个字母构成，将这8个字母进行排列，且2个“n”不相邻，则可得到的英文单词(假设每个排列都是一个有意义的单词)的个数为()A．2520 B．3360C．25200 D．4530A[英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s，t，c各有1个．优先考虑无限制的字母，排法共有A66A13．某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本．现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中随意2本不相邻，则不同的排法种数为()A．12B．24C．48D．720C[先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成