2024八年级数学下册第10讲平行四边形的判定定理核心考点讲与练含解析新版浙教版

Page41第10讲平行四边形的判定定理（核心考点讲与练）一．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线相互平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．二．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线相互平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要遗忘平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简洁．凡是可以用平行四边形学问证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应干脆运用平行四边形的性质和判定去解决问题．一．平行四边形的判定（共6小题）1．（满洲里市期末）四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠A＝180° C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D【分析】利用平行四边形的五种判定定理可得出答案；【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∴A．∠A+∠C＝180°，可得∠B＝∠C，这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；B．∠A+∠B从题目已知条件即可得出，无法证明四边形为平行四边形，此选项错误；C．同理A，这样的四边形是等腰梯形，故此选项错误；D．∠B＝∠D，可得∠A+∠D＝180°，则BA∥CD，故四边形ABCD是平行四边形，此选项正确；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定定理，得出另一对边平行是解题关键．2．（台儿庄区期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行推断即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；D、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．3．（蚌埠月考）八年级（1）班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们探讨如下问题时所需的条件．如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上．求证：四边形AECF是平行四边形．条件分别是①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．其中所填的条件符合题目要求的是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．④【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再由BE＝DF得AF＝EC，且AF∥CE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．【解答】解：当添加①④时，可得四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，∴AF＝EC，且AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，娴熟运用平行四边形的判定与性质是本题的关键．4．（海淀区校级期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，能推断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AO＝CO，BO＝DO【分析】依据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推断即可得到结论．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD＝BC，不符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不愿定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项A不符合题意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，是两组临角相等，不符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不愿定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B，不符合题意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，是两组临边相等，不符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是娴熟驾驭平行四边形的判定方法．5．（商河县期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝DC C．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB D．AO＝CO，BO＝DO【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推断即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、由AD∥BC，AB＝DC，无法推断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；C、∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠ABC＝∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质等学问；解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．6．（饶平县校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行推断，即可得出结论．【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、∵AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，∴不能得到∠OAB＝∠OCD，∴不能得到AB∥CD，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝DC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等学问，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．二．平行四边形的判定与性质（共9小题）7．（越城区期末）下列四个条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等 B．一组对边相等 C．对角线相互平分 D．对角线相互垂直【分析】由平行四边形的判定定理即可求解．【解答】解：能判定四边形是平行四边形的条件是：对角线相互平分，理由如下：对角线相互平分的四边形是平行四边形，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记“对角线相互平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．8．（丽水期末）如图，在四边形ABCD中对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列结论不愿定成立的是（）A．AB∥DC B．AD＝BC C．∠ABC＝∠ADC D．∠DBC＝∠BAC【分析】依据OA＝OC，OB＝OD先推断四边形ABCD是平行四边形，再依据平行四边形的性质即可进行推断．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，故A，B，C选项成立；∵AD∥CB，∴∠DBC＝∠ADB，故D选项不成立．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是依据OA＝OC，OB＝OD先推断四边形ABCD是平行四边形．9．（杭州期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．有下列结论：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝FH．则正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③④正确，∠FGH不愿定等于90°，故①不正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG＝FH，故②③④正确，∵∠FGH不愿定等于90°，∴GF⊥BD不正确，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．10．（东阳市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE．（1）求证：四边形BECO是平行四边形．（2）若OB⊥AC，OF＝4，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）由平行四边形ABCD得OB＝OD，由平行四边形DOEC得EC∥OD，EC＝OD，进而证明OB∥EC，OB＝EC，即可得出结论；（2）先证明平行四边形ABCD是菱形，再证明平行四边形BECO是矩形，求得BC＝8，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵四边形DOEC为平行四边形，∴OD∥EC，OD＝EC，∴EC∥OB，EC＝OB，∴四边形BECO为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，∴四边形ABCD是菱形，由（1）得：四边形BECO为平行四边形，∴EF＝OF＝4，∵OB⊥AC，∴∠BOC＝90°，∴平行四边形BECO为矩形，∴BC＝OE＝2OF，∵OF＝4，∴BC＝8，∴平行四边形ABCD的周长＝4BC＝32．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质，证明四边形BECO为矩形是解题的关键．11．（椒江区期末）如图，在△ABF中，∠A＝90°，AB＝2，AF＝3，点E为是边BF的中点，点D是边AF上一点，连接DE并延长至C，使得DE＝CE．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若CD⊥BF，求CD长．【分析】（1）依据线段中点的定义得到BE＝EF，由DE＝CE，得到四边形BDFC是平行四边形；（2）依据菱形的判定定理得到四边形BDFC是菱形，设BD＝DF＝x，依据勾股定理得到BF＝，依据菱形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵点E为是边BF的中点，∴BE＝EF，∵DE＝CE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）解：∵CD⊥BF，四边形BDFC是平行四边形，∴四边形BDFC是菱形，设BD＝DF＝x，在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，∴22+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵BF＝＝＝，∵S菱形BDFC＝DF•AB＝BF•CD，∴CD＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，证得四边形BDFC是菱形是解题的关键．12．（下城区期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证出AB∥CD，再由AD∥BC，即可得出结论；（2）由平行四边形的面积得BC×AE＝CD×AF，再由AF＝2AE，得BC＝2CD＝6，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180°，∴AB∥CD，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，∵AF＝2AE，∴BC＝2CD＝6，∴CD＝3．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行线的判定与性质，证出AB∥CD是解题的关键．13．（拱墅区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；（2）由勾股定理得AC＝4，则OA＝AC＝2，再由勾股定理求出OB＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，∴OA＝AC＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∵∠BAO＝90°，E是OB的中点，∴AE＝OB＝．【点评】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．14．（淮安模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F两点，点G，H分别为AD，BC的中点，连接GH交BD于点O．求证：EF与GH相互平分．【分析】先证△ABE≌△CDF，得BE＝DF，再证四边形BHDG是平行四边形，点OB＝OD，OG＝OH，则OE＝OF，即可得出结论．【解答】证明：连接BG、DH，如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵G，H分别为AD，BC的中点，∴BH＝BC，GD＝AD，且AB＝CD，∴BH＝GD，且BH∥GD，∴四边形BHDG是平行四边形，∴OB＝OD，OG＝OH，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴EF与GH相互平分．【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等学问，娴熟驾驭平行四边形的判定与性质是解题的关键．15．（余杭区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，点E是AB的中点，点F是AC延长线上一点，连接EF．（1）若ED⊥EF．求证：ED＝EF．（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试推断四边形ACPE是否为平行四边形，并证明你的结论（请补全图形，再解答）（3）若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请赐予证明．【分析】（1）连接CE，证△CEF≌△AED（ASA），依据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得CF＝AD，再证CP是△ABF的中位线，得CP＝AB＝AE即可得出结论；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证Rt△DME≌Rt△FNE（HL），得∠ADE＝∠CFE，进而得出∠DAF＝∠DEF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，如图1所示：∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED（ASA），∴ED＝EF；（2）解：四边形ACPE是平行四边形，理由如下：连接CE，如图2所示：由（1）得：△CEF≌△AED，∴CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴CP是△ABF的中位线，∴CP＝AB＝AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：若ED＝EF，ED与EF垂直，理由如下：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，如图3所示：则∠MAF＝90°，∵∠NAE＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAE，∴EM＝EN，在Rt△DME与Rt△FNE中，，∴Rt△DME≌Rt△FNE（HL），∴∠ADE＝∠CFE，∵∠DAF+∠ADE＝∠DEF+∠CFE，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠DAF＝90°，∴∠DEF＝90°，∴ED⊥EF．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等学问；正确的作出帮助线是解题的关键．

题组A基础过关练一．选择题（共4小题）1．（娄星区模拟）下列结论中，不愿定成立的是（）A．平行四边形对边平行 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相互平分 D．平行四边形对角线相等【分析】依据平行四边形的性质进行逐一推断即可．【解答】解：因为平行四边形的对边平行，对角相等，对角线相互平分，但是对角线不愿定相等，矩形的对角线相等．所以不愿定成立的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是驾驭平行四边形的判定与性质．2．（广饶县一模）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC【分析】依据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是驾驭平行四边形的判定定理．3．（杭州期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．有下列结论：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝FH．则正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③④正确，∠FGH不愿定等于90°，故①不正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG＝FH，故②③④正确，∵∠FGH不愿定等于90°，∴GF⊥BD不正确，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．4．（海淀区校级期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，能推断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AO＝CO，BO＝DO【分析】依据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推断即可得到结论．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD＝BC，不符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不愿定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项A不符合题意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，是两组临角相等，不符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不愿定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B，不符合题意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，是两组临边相等，不符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定，∴四边形ABCD不是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是娴熟驾驭平行四边形的判定方法．二．填空题（共4小题）5．（西湖区校级自主招生）如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（﹣2，0），若在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是（0，﹣2）或（4，﹣2）或（﹣4，2）．【分析】画出图形，利用平行四边形的性质得出D点位置即可求出答案．【解答】解：∵A的坐标为（﹣2，0），∴坐标系如图1所示：当CD∥AB，CD＝AB＝2时，四边形ABCD是平行四边形，点D的坐标为（0，﹣2）；如图2，四边形ABDC是平行四边形，∴D（4，﹣2）；如图3，四边形ADBC是平行四边形，∴D（﹣4，2）．故答案为：（0，﹣2）或（4，﹣2）或（﹣4，2）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，留意不要漏解．6．（江干区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，四位同学想通过添加一个条件，使四边形AECF成为平行四边形．他们添加的条件分别是：甲，BE＝DF；乙，AE∥CF；丙，AE＝CF；丁，∠EAF＝∠AFC．添加正确的同学是甲、乙．【分析】由平行四边形的判定与性质分别对各个条件进行推断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，甲，∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即CE＝AF，又∵CE∥AF，∴四边形AECF成为平行四边形，故甲正确；乙，∵AF∥CE，AE∥CF，∴四边形AECF成为平行四边形，故乙正确；丙，由AE＝CF，AF∥CE，不能得出四边形AECF是平行四边形，故丙不正确；丁，由AF∥CE，∠EAF＝∠AFC不能得出四边形AECF是平行四边形，故丁不正确；故答案为：甲、乙．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，娴熟驾驭平行四边形的判定方法是解题的关键．7．（海淀区二模）如图，两条射线AM∥BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是AD＝BC或AB∥CD（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】在四边形ABCD中，AB＝CD，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形与一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可求得答案．【解答】解：在四边形ABCD中，AB＝CD，∴再加条件AB∥CD或AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形．故答案为：AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）．【点评】此题考查了平行四边形的判定，娴熟驾驭平行四边形的判定方法是解题的关键．8．（余姚市校级期中）在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为3个．【分析】依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格结构的特点找出平行四边形即可得解．【解答】解：如图所示：图中平行四边形有▱ABEC，▱BDEC，▱BEFC共3个．故答案为：3．【点评】本题考查了平行四边形的判定，娴熟驾驭网格结构以及一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．三．解答题（共8小题）9．（西湖区校级期中）如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质和中点的性质可得DE＝BF，即可得结论；（2）由角平分线的性质和平行线的性质可证AB＝AE＝3，即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E，点F分别是AD，BC的中点，∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∴AD＝2AE＝6，∴平行四边形ABCD的周长＝2×（3+6）＝18．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，驾驭平行四边形的性质是本题的关键．10．（杭州期中）已知如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．【分析】利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理简洁证明△AFD≌△CEB．简洁证明AD＝BC且AD∥BC，可依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，理由：∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，娴熟驾驭全等三角形的判定定理是解题的关键．11．（台州期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．AD与CB有什么关系？证明你的结论．【分析】AD＝BC且AD∥BC，通过证明△ABD≌△CDB推知AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，由平行线的判定定理推知AD∥BC．【解答】解：AD＝BC且AD∥BC．证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS）．∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD．∴AD∥BC．【点评】本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，娴熟驾驭性质定理和判定定理是解题的关键．12．（杭州期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连结BF，DE．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）连结BD，若BE＝3，BF＝5，求BD的长．【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，易证得△ABE≌△CDF，即可得BE∥DF，BE＝DF，则可证得四边形BFDE是平行四边形；（2）连结BD交AC于点O，依据平行四边形的性质得到OE＝OF，OB＝OD，依据勾股定理得到EF＝4，求得OE＝2．再由勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，BE∥DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形；（2）连结BD交AC于点O，∴OE＝OF，OB＝OD．∴BE⊥AC，BE＝3，BF＝5，∴EF＝4，∴OE＝2．在Rt△OBE中，．∴．【点评】此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，证得四边形BFDE是平行四边形．13．（滨江区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若E是AD中点，且CE⊥AD，当CE＝4，AB＝5时，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AE＝CF，即可得出结论；（2）由勾股定理得DE＝3，则AD＝2DE＝6，再由平行四边形的面积公式求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝BF，∴AD﹣DE＝BC﹣BF，即AE＝CF，且AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，∵CE⊥AD，∴∠DEC＝90°，∴DE＝＝＝3，∵E是AD的中点，∴AD＝2DE＝6，∴▱ABCD的面积＝AD×CE＝6×4＝24．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出DE的长是解题的关键．14．（衢州期末）已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且∠AFD＝∠CEB．求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】证△ADF≌△CBE（AAS），得DF＝BE，再证DF∥BE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAF＝∠BCE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴DF＝BE，又∵∠AFD＝∠CEB，∴DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．15．（海淀区校级期末）如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF＝∠ADE．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）判定四边形DEBF是否是平行四边形？并说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得∠A＝∠C，AD＝BC，再由ASA证明△ADE≌△CBF即可；（2）由平行四边形的性质得DC∥AB，则DF∥EB，再由全等三角形的性质得AE＝CF，得DF＝EB，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝BC，在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；（2）解：四边形DEBF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴DF∥EB，由（1）得：△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．16．（镇海区期中）如图，▱ABCD的对角线AC恰好平分∠DAB，点H、点F分别在AD、BC上，点E、点G分别在BA、DC的延长线上，且AE＝AH＝CG＝CF．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）写出△HEA和四边形EFGH的面积之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）证△BFE≌△DHG（SAS），得EF＝GH，同理△EAH≌△GCF（SAS），得EH＝FG，即可得出结论；（2）设AC与GH交于点P，连接PE、PF，证EH∥AP，得△AEH的面积＝△PEH的面积，同理△GCF的面积＝△PFG的面积，由（1）得△EAH的面积＝△GCF的面积，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，∠B＝∠D，∵AE＝AH＝CG＝CF，∴AB+AE＝CD+CG，BC﹣CF＝AD﹣AH，即EB＝GD，BF＝DH，在△BFE和△DHG中，，∴△BFE≌△DHG（SAS），∴EF＝GH，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠EAH＝∠FCG，同理△EAH≌△GCF（SAS），∴EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积，理由如下：如图，设AC与GH交于点P，连接PE、PF，∵AH＝AE＝CF＝CG，∠BAD＝∠AEH+∠AHE，AC平分∠DAB，∴∠AEH＝∠AHE＝∠DAC＝∠BAC，∴EH∥AP，∴△AEH的面积＝△PEH的面积，同理可得：△GCF的面积＝△PFG的面积，由（1）得：△EAH≌△GCF，∴△EAH的面积＝△GCF的面积，∴△AEH的面积+△PFG的面积＝2△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积，∴△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质是解题的关键．题组B实力提升练一．解答题（共11小题）1．（镇海区期中）如图，▱ABCD的对角线AC恰好平分∠DAB，点H、点F分别在AD、BC上，点E、点G分别在BA、DC的延长线上，且AE＝AH＝CG＝CF．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）写出△HEA和四边形EFGH的面积之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）证△BFE≌△DHG（SAS），得EF＝GH，同理△EAH≌△GCF（SAS），得EH＝FG，即可得出结论；（2）设AC与GH交于点P，连接PE、PF，证EH∥AP，得△AEH的面积＝△PEH的面积，同理△GCF的面积＝△PFG的面积，由（1）得△EAH的面积＝△GCF的面积，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，∠B＝∠D，∵AE＝AH＝CG＝CF，∴AB+AE＝CD+CG，BC﹣CF＝AD﹣AH，即EB＝GD，BF＝DH，在△BFE和△DHG中，，∴△BFE≌△DHG（SAS），∴EF＝GH，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠EAH＝∠FCG，同理△EAH≌△GCF（SAS），∴EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积，理由如下：如图，设AC与GH交于点P，连接PE、PF，∵AH＝AE＝CF＝CG，∠BAD＝∠AEH+∠AHE，AC平分∠DAB，∴∠AEH＝∠AHE＝∠DAC＝∠BAC，∴EH∥AP，∴△AEH的面积＝△PEH的面积，同理可得：△GCF的面积＝△PFG的面积，由（1）得：△EAH≌△GCF，∴△EAH的面积＝△GCF的面积，∴△AEH的面积+△PFG的面积＝2△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积，∴△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质是解题的关键．2．（滕州市期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．（2）连接BD交AC于点O，若BD＝12，AE＝EF﹣CF，求EG的长．【分析】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝6，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝12，∴OB＝OD＝6，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE＝EF﹣CF，∴AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG＝OB＝3．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等学问点，娴熟驾驭平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．3．（西湖区校级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；（2）已知DE＝4，FN＝3，求△BFN的周长．【分析】（1）证明AM∥CN，CM∥AN即可解决问题．（2）证△DME≌△BNF（AAS），推出DE＝BF＝4，再依据勾股定理求出BN＝5，解决问题即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴四边形CMAN是平行四边形；（2）解：∵四边形CMAN是平行四边形，∴AN＝CM，∵CD＝AB，∴DM＝BN，∵CD∥AB，∴∠MDE＝∠NBF，在△BNF和△DME中，，∴△DME≌△BNF（AAS），∴BF＝DE＝4，在Rt△BFN中，BN＝＝＝5，∴△BFN的周长＝FN+BF+BN＝3+4+5＝12．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等学问，解题的关键是灵敏运用所学学问解决问题，属于中考常考题型．4．（衢州期末）如图，在▱ABCD中，直线l经过对角线AC的中点O，与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】证△AOE≌△COF（ASA），得AE＝CF，再由AE∥CF，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质是解题的关键．5．（永嘉县校级模拟）如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE＝EF，连接CF，CF∥AB．（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC，请干脆写出图中与线段CF相等的全部线段．【分析】（1）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD＝CF，再证BD＝CF，即可得出结论；（2）由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，且CF∥BD，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）解：与线段CF相等的全部线段为AD、BD、AE、CE；理由如下：由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，∵AB＝AC，∴BD＝AD＝AE＝CE＝CF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（柳南区校级模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AE，由AB＝BE得到CD＝BE，依据平行四边形的判定即可证得结论；（2）过D作DH⊥AE于H，依据勾股定理得到BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，可求得BH，再由勾股定理求得DH，依据平行四边形的面积公式即可求得结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AE，∵AB＝BE，∴CD＝BE，CD∥BE，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：过D作DH⊥AE于H，∵AB＝BD＝4，∴BE＝AB＝4，∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，∴BH＝3，∴DH＝＝＝，∴平行四边形BECD的面积＝BE•DH＝4×＝4．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质是解题的关键．7．（鹿城区校级期中）如图，在▱ABCD，点E为AD的中点，延长BE、CD交于点F，连接AF，BD，CE．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形．（2）若BE为∠ABC的角平分线，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面积．【分析】（1）通过证明△ABE≌△DFE，即可推出AB平行且相等于FD，即得证；（2）通过帮助线进行转化得S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，再通过已知条件算出△ECD面积即为△AEF的面积．【解答】解：（1）证明：由题意得，AB∥CF，∴∠ABE＝∠DFE，又∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS）∴AB＝DF，又∵AB∥DF，∴四边形ABDF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；（2）过点F作AD的垂线交AD延长线于点K，过点D作DH⊥EC，过点E作EG⊥CD，∵S△AEF＝；，∴S△AEF＝S△EDF，又∵BE为∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠EBC，又∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠FED，而∠ABE＝∠DFE，∴∠FED＝∠DFE，∴ED＝FD，由（1）可知AB＝DC＝FD＝5，∴ED＝FD＝DC＝5，又∵S△EFD＝，S△EDC＝，∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，在等腰△EDC中，ED＝CD＝5，EC＝6，∵DH⊥EC，∴EH＝＝＝3，在Rt△EHD中，ED＝5，EH＝3，∴DH＝＝＝4，∴S△ECD＝＝12，∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD＝12，故S△AEF＝12．【点评】本题考查平行四边形的性质与判定以及全等三角形的性质与判定，娴熟其性质与判定