高考数学大题精做专题05解析几何中的与三角形面积相关的问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题05解析几何中的与三角形面积相关的问题类型对应典例椭圆中有关三角形的面积最值典例1抛物线中有关三角形的面积最值典例2椭圆中有关三角形的面积的取值范围典例3抛物线中有关三角形的面积的取值范围典例4椭圆中由三角形面积问题求参数值或范围典例5抛物线中由三角形面积问题求参数值或范围典例6椭圆中由三角形面积问题求直线方程典例7抛物线中由三角形面积问题求直线方程典例8【典例1】【山东省临沂市2019届高三模拟考试】已知椭圆：的离心率为，且与抛物线交于，两点，（为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．【典例2】【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线C:x2=2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若l1⊥l【典例3】【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查】已知椭圆E：x2a2+y2b（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）点B为椭圆E上的动点，过点F作平行于OB的直线l交椭圆于C，D两点，求ΔBCD面积的取值范围．【典例4】【广东省汕头市潮南区2020届联考】已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.(1)求抛物线的方程；(2)设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足，求面积的取值范围.【典例5】【广西柳州高级中学2020届月考】已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.（1）求椭圆的标准方程;（2）线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.【典例6】【安徽省芜湖市2019届高三模拟考试】设曲线C: x2=2py(p>0)，点F为C的焦点，过点F作斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，点（1）求曲线C的标准方程；（2）过焦点F作斜率为k的直线l'交曲线C于M，N两点，分别以点M，N为切点作曲线C的切线相交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，求三角形MNQ【典例7】【河北省石家庄市2019届高中毕业班模拟考试】在平面直角坐标系中，，，设直线、的斜率分别为、且，（1）求点的轨迹的方程；（2）过作直线交轨迹于、两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．【典例8】【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知抛物线的焦点为，点在上，为线段的中点，.（1）求的方程；（2）过的直线与交于两点.若上仅存在三个点，使得的面积等于16，求的方程.【针对训练】1.【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.2.【天津市河北区2019届高三一模】已知椭圆C：过点，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程．3.【山东省淄博市2020届模拟】已知点，的坐标分别为，，三角形的两条边，所在直线的斜率之积是。（I）求点的轨迹方程：（II）设直线方程为，直线方程为，直线交于点，点，关于轴对称，直线与轴相交于点。若面积为，求的值。4.【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练】已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值.5．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试】已知椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F的直线l交椭园C于M，N两点，若△OMN（O为坐标原点）的面积为23，求直线l6.【山西省2019届高三3月高考考前适应性测试】已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积．7.【湖南省桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程.（2）是否存在过的直线，使得与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，且的面积等于4？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.8.【山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试】已知抛物线的焦点到准线距离为.（1）若点，且点在抛物线上，求的最小值；（2）若过点的直线与圆相切，且与抛物线有两个不同交点，求的面积.9.【福建省莆田市2019届高三第二次质量检测】已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为的正三角形．（1）求的方程；（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与交于点，求面积的最小值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题05解析几何中的与三角形面积相关的问题类型对应典例椭圆中有关三角形的面积最值典例1抛物线中有关三角形的面积最值典例2椭圆中有关三角形的面积的取值范围典例3抛物线中有关三角形的面积的取值范围典例4椭圆中由三角形面积问题求参数值或范围典例5抛物线中由三角形面积问题求参数值或范围典例6椭圆中由三角形面积问题求直线方程典例7抛物线中由三角形面积问题求直线方程典例8【典例1】【山东省临沂市2019届高三模拟考试】已知椭圆：的离心率为，且与抛物线交于，两点，（为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．【思路引导】(1)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.【详解】（1）椭圆与抛物线交于，两点，可设，，∵的面积为，∴，解得，∴，，由已知得，解得，，，∴椭圆的方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立方程，化简得，则，，，，点到直线的距离，因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，∴∵，又，所以等号不成立.∴，综上，面积的最大值为.【典例2】【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线C:x2=2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若l1⊥l【思路引导】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到x1x2=−4，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m；联立两切线方程，可用【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,p2焦点到准线的距离为2，即p=2.(Ⅱ)抛物线的方程为x2=4y，即y=1设Ax1,l1:y−由于l1⊥l2，所以设直线l方程为y=kx+m，与抛物线方程联立，得y=kx+mx2Δ=16k2+16m>0，即l:y=kx+1联立方程y=x12x−xM点到直线l的距离d=AB所以S=当k=0时，ΔMAB面积取得最小值4【典例3】【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查】已知椭圆E：x2a2+y2b（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）点B为椭圆E上的动点，过点F作平行于OB的直线l交椭圆于C，D两点，求ΔBCD面积的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）根据题意可得，c=1，且AF+AF（Ⅱ）讨论直线CD的斜率，当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=k(x+1)(k≠0)．联立方程利用韦达定理表示SΔACDΔBCD面积的取值范围．【详解】解法一：（Ⅰ）依题意得，左焦点F(−1,0)，则右焦点即c=1，且|AF|+则a=得b椭圆方程为x2（Ⅱ）当直线CD的斜率不存在时，|CD|=2此时SΔBCD当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=k(x+1)(k≠0)．由y=k(x+1),x2+21+2k显然Δ>0，设Cx1,则x1故|CD|==1+=2因为CD//所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d=|k|所以SΔACD=2=2因为1+2k2>1所以0<S综上，SΔACD【典例4】【广东省汕头市潮南区2020届联考】已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.(1)求抛物线的方程；(2)设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足，求面积的取值范围.【思路引导】（1）求出坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，得到切线与轴的交点，利用三角形的面积列方程解出，从而可得结果；（2）计算，设出方程，求出与轴的交点，联立方程组，根据韦达定理及弦长公式可得，得出面积关于的函数，从而可得函数的最值.【详解】(1)依题意得，由，得，∴抛物线在处的切线斜率为，由抛物线的对称性，知抛物线在处的切线斜率为，抛物线在A处的切线方程为,令y=0,得,∴S=，解得.∴抛物线的方程为.(2)由已知可得，设则，∴.令直线的方程为，联立方程组消去得，则，∵，∴.∴直线MN过定点（1，0）,∴.∵，∴.综上所示，面积的取值范围是.【典例5】【广西柳州高级中学2020届月考】已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.（1）求椭圆的标准方程;（2）线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.【思路引导】（1）设,,可得:直线的方程为:,即,直线与圆相切,圆心到直线的距离为,解得,结合已知,即可求得答案.（2）将直线的方程与椭圆方程联立,求得,结合导数知识,即可求得答案.【详解】（1）设,,直线斜率为,且过椭圆的左焦点.直线的方程为:,即.直线与圆相切,圆心到直线的距离为,解得.椭圆的离心率为,即,解得:,根据:椭圆的方程为.（2）由（1）得,,直线的斜率不为,设直线的方程为:,将直线的方程与椭圆方程联立可得:消掉可得:,恒成立,设,,则,是上述方程的两个不等根,根据韦达定理可得:,.的面积:设,则,,可得:.令恒成立,函数在上为减函数,故的最大值为:,的面积的最大值为,当且仅当,即时取最大值,此时直线的方程为,即直线垂直于轴,此时,即.综上所述,的面积的最大值,时的面积的最大.【典例6】【安徽省芜湖市2019届高三模拟考试】设曲线C: x2=2py(p>0)，点F为C的焦点，过点F作斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，点（1）求曲线C的标准方程；（2）过焦点F作斜率为k的直线l'交曲线C于M，N两点，分别以点M，N为切点作曲线C的切线相交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，求三角形MNQ【思路引导】（1）设直线l的方程，与抛物线联立，由点A，B的横坐标的倒数和为-1，结合韦达定理代入求值即可；（2）设l'的方程为y=kx+1，与抛物线联立求得|MN|,求过M,N的切线方程求得Q(2k,0),利用点到线的距离求点Q到直线/的距离为dQ=【详解】（1）由题意可知：F(0,p2)，故可设直线l的方程为联立方程x2=2pyx−y+p由题意知：1xA+1xB=−1∴曲线C的标准方程为x2（2）由题意知直线l'的斜率是存在的，故设l'的方程为设l'与曲线C相交于点M(x1,联立方程x2=4yy=kx+1可得∴|MN|=(1+由x2=4y，得y=14∴kMP=12x∴kNP=12x上述两式相减得：xP=x1+x22=2k，∴点Q到直线l的距离为dQ∴S又∵k∈R，∴k2⩾0.易知当k2即(S【典例7】【河北省石家庄市2019届高中毕业班模拟考试】在平面直角坐标系中，，，设直线、的斜率分别为、且，（1）求点的轨迹的方程；（2）过作直线交轨迹于、两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．【思路引导】（1）由题意，设，得到，，根据，即可求解椭圆的标准方程；（2）设直线，联立方程组，利用韦达定理求得，再由，得到，列出关于的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，设，则，，又由，整理得，由点不共线，所以，所以点的轨迹方程为.（2）设，，易知直线不与轴重合，设直线，联立方程组，整理得得，易知，且，由，故，即，从而，解得，即，所以直线的方程为或．【典例8】【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知抛物线的焦点为，点在上，为线段的中点，.（1）求的方程；（2）过的直线与交于两点.若上仅存在三个点，使得的面积等于16，求的方程.【思路引导】(1)利用对称性或者中点得出方程.(2)设的方程为，代入抛物线方程利用韦达定理得出弦长,利用导数求出切点坐标,求出点线距3,利用面积是16确定直线.或者建立所以关于的方程恰有三个不同实根，即恰有三个不同实根，求出直线方程.【详解】解法1：（1）由抛物线的对称性，可知∥轴，且的坐标分别为，所以，解得，故的方程为.（2）如图，作与平行且与相切的直线，切点为.由题意，可知的面积等于16.设的方程为，方程可化为，则，令，解得，将代入，得，故，所以到的距离，由消去，得，从而，所以，故的面积，从而，解得或.所以的方程为或.解法2：（1）设，则，，因为为的中点，所以，，故，从而，故，所以，解得，故的方程为.（2）直线斜率显然存在，设直线的方程为.由消去，得，设，则，所以，点在上，设点，则点到直线的距离，的面积等于16，所以关于的方程恰有三个不同实根，即恰有三个不同实根，所以，，解得或.所以的方程为或.【针对训练】1.【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.【思路引导】(1)先求P,再列a,b,c的方程组求解即可（2）设的方程为，与抛物线联立将坐标化代入韦达定理解得n=2，利用即可求解；【详解】（1）因为点到的准线的距离为2，所以，，由解得所以的方程为（2）解法一.由（1）知抛物线的方程为.要使直线与抛物线交于两点，则直线的斜率不为0，可设的方程为，由得所以，得.设则所以，因为，所以，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线过椭圆的右顶点，不妨设，，且，所以，当且仅当时，.2.【天津市河北区2019届高三一模】已知椭圆C：过点，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程．【思路引导】（Ⅰ）列a,b,c的方程组求解即可求得方程；（Ⅱ）当的斜率k=0时符合题意；当的斜率k0时，设直线与椭圆联立，求得P，Q坐标，进而求得设直线的中垂线方程：,求其与的交点M,由为等边三角形,得到解方程求得k值即可【详解】（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4直线与y轴的交点（0，满足题意；当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,,∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=综上可知，直线的方程为y=0或y=3.【山东省淄博市2020届模拟】已知点，的坐标分别为，，三角形的两条边，所在直线的斜率之积是。（I）求点的轨迹方程：（II）设直线方程为，直线方程为，直线交于点，点，关于轴对称，直线与轴相交于点。若面积为，求的值。【思路引导】(1)本题可以先将点的坐标设出，然后写出直线的斜率与直线的斜率,最后根据、所在直线的斜率之积是即可列出算式并通过计算得出结果；(2)首先可以联立直线的方程与直线的方程，得出点两点的坐标，然后联立直线的方程与点的轨迹方程得出点坐标并写出直线的方程，最后求出点坐标并根据三角形面积公式计算出的值。【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标分别为、，所以直线的斜率，直线的斜率，由题目可知，化简得点的轨迹方程；（2）直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或，根据题目可知点，由可得直线的方程为，令，解得，故，所以，的面积为又因为的面积为，故，整理得，解得，所以。4.【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练】已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值.【思路引导】（Ⅰ）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（Ⅱ）由题意得到直线AM,BM的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得点E,F的坐标结合题意即可得到关于m的方程，解方程即可确定m的值.【详解】（Ⅰ）由题意可得：，解得：，椭圆的方程为.（Ⅱ）且，∴直线的斜率为，直线的斜率为，∴直线的方程为，直线的方程为，由得，∴，∴.由得，∴，∴.∵，，，∴，∴∴∵，且∴整理方程得，∴为所求.5．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试】已知椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F的直线l交椭园C于M，N两点，若△OMN（O为坐标原点）的面积为23，求直线l【思路引导】（1）根据题意，得到c,a，进而求出b2（2）先由题意设直线l的方程为x=my+1，联立直线与椭圆方程，设Mx1,y1，Nx2【详解】（1）由题意可知c=1，离心率ca=所以b所以椭圆C的方程为x2（2）由题意可以设直线l的方程为x=my+1，由x22+Δ=4设Mx1所以，y1+y所以ΔOMN的面积S=12=因为ΔOMN的面积为23，所以m解得m=±1.所以直线l的方程为x+y−1=0或x−y−1=0.6.【山西省2019届高三3月高考考前适应性测试】已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积．【思路引导】根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；设过点的直线n的方程为，联立直线方程与抛物线方程，得利用根与系数的关系结合求得t，进一步求出与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解．【详解】由题知，，则．设准线与x轴交于点D，则．又是边长为8的等边三角形，，，，即．抛物线C的方程为；设过点的直线n的方程为，联立，得．设，，则，．．．由，得，解得．不妨取，则直线方程为．．而F到直线的距离．的面积为．7.【湖南省桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程.（2）是否存在过的直线，使得与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，且的面积等于4？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.【思路引导】（1）根据抛物线的定义求出抛物线的方程即可；（2）设直线：，联立，设，则，由利用韦达定理计算即可.【详解】（1）设为曲线上任意一点，已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.所以点到的距离与它到直