2024年高考数学大一轮(老教材人教A版文)第七章7.2　一元二次不等式及其解法(学生版+解析)

§7.2一元二次不等式及其解法考试要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系.3.会解简单的一元二次不等式.4.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集2.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔________________；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔____________________.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为________________，|x|<a(a>0)的解集为________________．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.()(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.()(4)不等式eq\f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.()教材改编题1．不等式eq\f(x－3,x－2)<0的解集为()A．∅B．(2，3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为()A．1B．2C．－1D．－23．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．题型一一元二次不等式的解法命题点1不含参数的不等式例1(1)不等式(x＋1)2－x≥7的解集为()A．(－∞，－2]∪[3，＋∞)B．[－2,3]C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)D．[－3,2](2)已知p：|x－1|≤2，q：eq\f(x＋1,x－3)≤0，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2含参数的一元二次不等式例2已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求实数a，b的值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)求关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0(其中c为实数)的解集．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1解关于x的不等式．(1)eq\f(2x－1,3x＋1)>1；(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上恒成立问题例3若对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3在给定参数范围内的恒成立问题例5(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是()A．[－1，3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是()A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2}C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2}(2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是()A．a≤2 B．a≥2C．a≤eq\f(5,2) D．a≥eq\f(5,2)§7.2一元二次不等式及其解法考试要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系.3.会解简单的一元二次不等式.4.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(√)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(×)(4)不等式eq\f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(×)教材改编题1．不等式eq\f(x－3,x－2)<0的解集为()A．∅B．(2,3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案B解析eq\f(x－3,x－2)<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3.2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为()A．1B．2C．－1D．－2答案B解析因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．答案[1,3]解析∀x∈R，x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.题型一一元二次不等式的解法命题点1不含参数的不等式例1(1)不等式(x＋1)2－x≥7的解集为()A．(－∞，－2]∪[3，＋∞)B．[－2,3]C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)D．[－3,2]答案C解析不等式(x＋1)2－x≥7整理得x2＋x－6≥0，解得x≤－3或x≥2，则不等式(x＋1)2－x≥7的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．(2)已知p：|x－1|≤2，q：eq\f(x＋1,x－3)≤0，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析|x－1|≤2，－2≤x－1≤2，－1≤x≤3⇒p：－1≤x≤3.eq\f(x＋1,x－3)≤0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x－3≤0，,x－3≠0，))－1≤x<3⇒q：－1≤x<3.所以p是q的必要不充分条件．命题点2含参数的一元二次不等式例2已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求实数a，b的值；(2)求关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0(其中c为实数)的解集．解(1)依题意，不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以a>0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝\f(3,a)，,1×b＝\f(2,a)，))解得a＝1，b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0，即x2－(c＋2)x＋2c>0，(x－2)(x－c)>0.当c<2时，不等式的解集为{x|x<c或x>2}，当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}，当c>2时，不等式的解集为{x|x<2或x>c}．思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1解关于x的不等式．(1)eq\f(2x－1,3x＋1)>1；(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.解(1)移项得eq\f(2x－1,3x＋1)－1>0，合并得eq\f(－x－2,3x＋1)>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0，即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－eq\f(1,3).所以不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<－\f(1,3))))).(2)移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为eq\f(2,m)和1，当0<m<2时，eq\f(2,m)>1，解得1<x<eq\f(2,m)；当m＝2时，eq\f(2,m)＝1，原不等式无解；当m>2时，eq\f(2,m)<1，解得eq\f(2,m)<x<1.综上所述，当0<m<2时，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,m)))；当m＝2时，原不等式的解集为空集；当m>2时，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)，1)).题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上恒成立问题例3若对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k的取值范围是________．答案(－24,0]解析当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2＋24k<0，))解得－24<k<0.综上，实数k的取值范围是(－24,0]．命题点2在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7)))解析要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．方法一令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<eq\f(6,7)，所以0<m<eq\f(6,7)；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).方法二因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，所以m<eq\f(6,x2－x＋1)在x∈[1,3]上恒成立．令y＝eq\f(6,x2－x＋1)，因为函数y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq\f(6,7)，所以只需m<eq\f(6,7)即可．所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).命题点3在给定参数范围内的恒成立问题例5(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝x2－4x＋3>0，,f4＝4x－1＋x2－4x＋3>0，))解得x<－1或x>3.思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是()A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2}C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2}答案C解析因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝[2a－2]2＋4×4×a－2<0，,a－2<0，))解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}．(2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是()A．a≤2 B．a≥2C．a≤eq\f(5,2) D．a≥eq\f(5,2)答案D解析方法一当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，∴当1≤x≤2时，a≥eq\f(x2＋1,x)恒成立，则a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋1,x)))max，由于eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)，而y＝x＋eq\f(1,x)在[1,2]上单调递增，故当x＝2时，x＋eq\f(1,x)取得最大值eq\f(5,2)，故a≥eq\f(5,2).方法二令f(x)＝x2－ax＋1，∵当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，∴f(x)max≤0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(

f1≤0，,

f2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a≤0，,5－2a≤0，))解得a≥eq\f(5,2).课时精练1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∪B等于()A．RB．{x|x>－1}C．{x|x<3或x>9}D．{x|x<－1或x>3}答案C解析由题意，得A＝{x|x<0或x>9}，B＝{x|－1<x<3}，所以A∪B＝{x|x<3或x>9}．2．函数f(x)＝eq\r(|x－1|－x)＋lg(4－x2)的定义域为()A．(－2,2) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．(－∞，－2)答案B解析依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|－x≥0，,4－x2>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,2)，,－2<x<2，))∴－2<x≤eq\f(1,2)，∴原函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).3．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是()A．－1<a<2 B．a≥1C．a<－1 D．－1≤a<2答案D解析当a＝－1时，3>0成立；当a≠－1时，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,Δ＝4a＋12－12a＋1<0，))解得－1<a<2.综上所述，－1≤a<2.4．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1}答案A解析因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－eq\f(b,a)，(－1)×2＝eq\f(2,a)，解得a＝－1，b＝1，则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－1<x<eq\f(1,2)，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))).5．已知a∈R，关于x的不等式eq\f(ax－1,x－a)>0的解集不可能是()A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．∅答案A解析当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a<x<1；当a＝0时，不等式的解集是∅；当0<a<1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x<a或x>1；当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x<1或x>a.6．已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围是()A．(4,6) B．(0,6)C．[4,6) D．[0,6]答案C解析画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，因为函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－eq\f(5,2)，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝4－10＋m<0，,f－1＝1－5＋m≥0，))解得4≤m<6.7．不等式eq\f(3,x－1)>1的解集为________．答案(1,4)解析∵eq\f(3,x－1)>1，∴eq\f(3,x－1)－1>0，即eq\f(4－x,x－1)>0，即1<x<4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________．答案－4解析∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，∴a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))恒成立，又当x∈[1,3]时，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≤－4，∴a≥－4，故a的最小值为－4.9．已知集合：①A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)>1))))；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：(1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B；(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解(1)选①：eq\f(4,x＋1)>1，若x＋1>0，即x>－1时，eq\f(4,x＋1)>1，即4>x＋1，解得－1<x<3，若x＋1<0，则eq\f(4,x＋1)<0，则eq\f(4,x＋1)>1无解，所以eq\f(4,x＋1)>1的解集为(－1,3)，故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．选②：x2－2x－3<0，解得－1<x<3，故A＝(－1,3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．选③：|x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3，故A＝(－1,3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，解得B＝(m，m＋1)，因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－1，,m＋1≤3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－1，,m＋1<3，))解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1,2]．10．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a－1.解(1)∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，此时必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－a2－4a2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝3a2＋2a－1≥0，))解得a≥eq\f(1,3)，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).(2)依题意，因为a<0，则f(x)<a－1⇔ax2＋(1－a)x－1<0⇔eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－1)>0，当a＝－1时，－eq\f(1,a)＝1，解得x≠1；当－1<a<0时，－eq\f(1,a)>1，解得x<1或x>－eq\f(1,a)；当a<－1时，0<－eq\f(1,a)<1，解得x<－eq\f(1,a)或x>1，所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1或x>－\f(1,a)))))；当a<－1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,a)或x>1)))).11．已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4)))C．(－∞，－1) D．(－∞，－4)答案C解析因为f(x)＝4ax2＋4x－1，当x＝0时，f(0)＝－1<0成立．当x∈(－1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1，所以4a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(4,x)))min，因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以eq\f(1,x)∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以eq\f(1,x2)－eq\f(4,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x