高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第2章常用逻辑用语章末小结(原卷版+解析)

第2章常用逻辑用语章末小结TOC\o"1-4"\h\z\u第2章《常用逻辑用语》章末小结 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1充分条件与必要条件的判断 2知识点2充分、必要、充要条件的应用 3知识点3全称量词命题与存在量词命题 4二、活学活用培优训练 11一．基础知识点知识点1充分条件与必要条件的判断：充分条件、必要条件是高考对逻辑部分的主要考查点，有些题目比较简单，直接根据定义即可判断．有些题目与不等式集合等内容结合可借助数轴转化为集合间的关系解决．采用数形结合的方法，可使问题直观化、形象化．例1设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件例2“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y轴对称”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．知识点2充分、必要、充要条件的应用：充分、必要及充要条件的应用主要体现在以下两类．一类是已知两个命题的关系求参数的取值范围，另一类是与充要条件相关的证明题．这部分内容也是考查的重点，常用不等式集合、方程交汇命题．对于第一类问题常转化为集合间的关系求解，但要注意端点值能否取到，对于证明题要从充分性和必要性两方面说明．例1已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．例2求证：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|.知识点3全称量词命题与存在量词命题：全称量词命题和存在量词命题主要包括这两类命题的判定与否定．对于判定类的题目可直接根据定义判断，对于否定类的要否定量词和结论．本知识点常用方程的解、不等式、集合等交汇命题，难度为基础题，主要考查逻辑推理能力和综合应用能力．例1命题p：“∀x∈R，x2>0”，则()A．p是假命题；p：∃x∈R，x2<0B．p是假命题；p：∃x∈R，x2≤0C．p是真命题；p：∀x∈R，x2<0D．p是真命题；p：∀x∈R，x2≤0例2已知命题“∃x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命题，求实数a的取值范围．二．活学活用培优训练一、单选题1．命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．2．已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．命题：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，5．下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题6．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列说法中正确的有（

）A．“”是“”成立的充分不必要条件B．命题：，均有，则的否定：，使得C．设是两个数集，则“”是“”的充要条件D．设是两个数集，若，则，8．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（

）A．① B．② C．③ D．④9．命题“∀1≤x≤3，－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A．a≥9 B．a≥11 C．a≥10 D．a≤10三、填空题10．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，则实数a的取值范围是__.11．已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为_____.12．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．四、解答题13．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：(1)p：对任意的x∈R，都成立；(2)q：∃x∈R，使．14．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“，”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“，”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？并说明理由．15．设全集，集合，非空集合，其中．(1)当时，求；(2)若命题“，”是真命题，求实数a的取值范围．16．已知集合，，.(1)若，求集合；(2)在，两个集合中任选一个，补充在下面问题中，，___________，求使p是q的必要不充分条件的的取值范围.17．设：，：.(1)若，且、均为真命题，求满足条件的实数构成的集合；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.第2章常用逻辑用语章末小结TOC\o"1-4"\h\z\u第2章《常用逻辑用语》章末小结 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1充分条件与必要条件的判断 3知识点2充分、必要、充要条件的应用 6知识点3全称量词命题与存在量词命题 10二、活学活用培优训练 42一．基础知识点知识点1充分条件与必要条件的判断：充分条件、必要条件是高考对逻辑部分的主要考查点，有些题目比较简单，直接根据定义即可判断．有些题目与不等式集合等内容结合可借助数轴转化为集合间的关系解决．采用数形结合的方法，可使问题直观化、形象化．例1设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件例2“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y轴对称”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．【解答】例1A例2充要[例1当1＜x＜2时，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p⇒q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp.例2当a＝0时，二次函数y＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，关于y轴对称；二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的对称轴为x＝－eq\f(a,2)，其关于y轴对称，则－eq\f(a,2)＝0，解得a＝0.综上可知，“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y轴对称”的充要条件．]知识点2充分、必要、充要条件的应用：充分、必要及充要条件的应用主要体现在以下两类．一类是已知两个命题的关系求参数的取值范围，另一类是与充要条件相关的证明题．这部分内容也是考查的重点，常用不等式集合、方程交汇命题．对于第一类问题常转化为集合间的关系求解，但要注意端点值能否取到，对于证明题要从充分性和必要性两方面说明．例1已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[解](1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B，又A≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3≥－5，,3a＋1≤4，,2a－3<3a＋1，))解得－1≤a≤1，所以a∈[－1,1]．(2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3＝－5，,3a＋1＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,a＝1，))则方程组无解．故不存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件．例2求证：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|.[证明]充分性：因为a>|b|，所以a>0，即|a|>|b|≥0，所以a2>b2，所以a>|b|是a2>b2的充分条件，因为a＝－2，b＝1时a2>b2，但a<|b|，所以a>|b|不是a2>b2的必要条件．综上，a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|.知识点3全称量词命题与存在量词命题：全称量词命题和存在量词命题主要包括这两类命题的判定与否定．对于判定类的题目可直接根据定义判断，对于否定类的要否定量词和结论．本知识点常用方程的解、不等式、集合等交汇命题，难度为基础题，主要考查逻辑推理能力和综合应用能力．例1命题p：“∀x∈R，x2>0”，则()A．p是假命题；p：∃x∈R，x2<0B．p是假命题；p：∃x∈R，x2≤0C．p是真命题；p：∀x∈R，x2<0D．p是真命题；p：∀x∈R，x2≤0【解答】由于02>0不成立，故“∀x∈R，x2>0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B.例2已知命题“∃x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命题，求实数a的取值范围．[解]∵命题“∃x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命题．∴命题“∀x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)>0”是真命题．即判别式Δ＝12－4×4×eq\f(1,4)(a－2)<0.即a>eq\f(9,4).二．活学活用培优训练一、单选题1．命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出命题为真时等价条件（充要条件），然后根据定义判断．【详解】任意，，即恒成立，所以，只有A是充分不必要条件．故选：A．2．已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】满足，但无意义，不成立，不充分，反之，满足，但无意义，即不成立，因此不必要，从而应为既不充分也不必要条件故选：D．3．设，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可求解.【详解】解：因为，故由可得或，由，可得，故“”是“”必要不充分条件.故选：B.4．命题：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：“，”的否定是：，．故选：B5．下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题【答案】C【分析】使用特值法可以解决，举例说明n＝1时2n2+5n+2不能被2整除，n＝2时2n2+5n+2能被2整除，从而得出结论．【详解】当n＝1时，2n2+5n+2不能被2整除，当n＝2时，2n2+5n+2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确．故选：C．6．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据命题是真命题，由，恒成立求解.【详解】因为命题“，”是真命题，所以，恒成立，所以，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B二、多选题7．下列说法中正确的有（

）A．“”是“”成立的充分不必要条件B．命题：，均有，则的否定：，使得C．设是两个数集，则“”是“”的充要条件D．设是两个数集，若，则，【答案】ACD【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.【详解】解：对于A，当时，能推出，而由不能推出，如，而，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由能推出，所以“”是“”的充要条件，故C正确；对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确，故选：ACD.8．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】根据题设有，但⇏，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.【详解】由题意，，但⇏，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：且⇏，故④正确.故选：ABD9．命题“∀1≤x≤3，－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A．a≥9 B．a≥11 C．a≥10 D．a≤10【答案】BC【分析】由命题为真求出a的范围，然后由集合的包含关系可得.【详解】由得，因为命题为真，所以，记为，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.故选：BC三、填空题10．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，则实数a的取值范围是__.【答案】a【分析】根据命题p为假命题，则它的否定￢p是真命题，利用判别式≥0求出实数a的取值范围.【详解】解：因为命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，所以它的否定￢p：∃x∈R，x2+x﹣a≤0为真命题，所以＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得a.故答案为：a11．已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为_____.【答案】【分析】根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可【详解】命题p：恒成立，若p是真命题，则：，命题q：，使得成立，若命题q为真命题，则.所以命题q是假命题时，，综上，参数a的取值范围为：，即故答案为：12．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．【答案】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围．【详解】∵“”是”的必要条件，∴，当时，，则；当时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知或，解得或，综上可得，实数a的取值范围为．四、解答题13．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：(1)p：对任意的x∈R，都成立；(2)q：∃x∈R，使．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可．(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题，又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x∈R，使成立，即“∃x∈R，使”，因为，所以方程无实数解，此命题为假命题．(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x，都有成立．即“∀x∈R，有”，因为，所以对∀x∈R，总成立，此命题是真命题．14．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“，”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“，”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？并说明理由．【答案】两位同学题中m的取值范围是一致的，理由见解析【分析】由全称、特称命题及其否定的真假