高中数学-原理运用与实践教学设计学情分析教材分析课后反思

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》

一、课题、课型与目标

课题：《点、直线、平面之间的位置关系》

内容：高中数学《必修2»

课型：复习课

目标：通过简图提示.让学生回做本章共学了哪些定

理？作用是什么？通过实际运用进一步提高学生的学

习兴趣和学生的动手操作与合作学习的能力.

适用：高一《必修2》章节复习

授课人：邹平县魏桥中学高振福

___________________________________________________/

二、教学过程

1.课堂导入

出示怪图，利用怪图趣味导入。

高升，高升，再高升，走了一圈又一圈，只升不降，奇怪呀，奇怪！

其实也不怪：兜一圈，开阔眼界，增长阅历，返回原地时水平已提高，再兜一圈，水

平又提高……我们还是我们，我们不是原来的我们。

今天，围绕第二章中的判定定理兜一圈（复习一遍）。

今天，围绕第二章中的判定定理兜一圈•••

2.定理复习

看图说话，通过简图提示，让学生回顾所学定理，通过小组赋分，调动学生回答的

积极性。

看图

说话:

3.定理运用

通过四个实际应用题让学生动手、动口、动脑，提高学生运用所学定理，解决实际问

题的能力。

八,”施工人员在我们的教学

例生褛前的地平面上竖起了一根

旗杆,我们用什么方法来检

例1解答:

例D的定理依据？

无线与平面垂克的判

定定理：

如果一条直线与平面内的

两条相交直线垂直，则这条

直线与这个平面垂直.

线不在多,重在相交.

例2

动手做一做.过△加c的顶点力翻折纸

片，得到折痕47,将翻折后的纸片雯起放

置在桌面上(BD、Z7C与桌面接触).

乙

BD,

@折痕47与桌面垂直吗？

⑦如何翻折才能使折痕期与桌面所在的平面垂直.

例酷珈

立正，稍息。

教师示范.教师拿起一坐如一座钟！

站似一棵松！

个等腰△/«(),中间一对脊梁梃得正！

折，一下子直立到桌面上「

将一些质地不同的、不规则的三角形放到

桌面上，供学生任意挑选。

活动：挑出三组进行直立比赛.

例@解答:

当且仅当折痕5是5。边上的高时，WD所

在直线与桌面所在平面a垂直.

由折痕4DJL5C,翻折之后仍是垂

直关系吗？即一4Z>J_CT>,WD_LBZ>发

生变化了吗？

例会的定理依据？

克线与平面垂克的列

定定理：

如果一条直线与平面内的

两条相交直线垂直，则这条

直线与这个平面垂直.

线不在多，重在相交.

例③:

施工队建了一面墙，同学们当一下监

工，验证一下墙面是否与地面垂直？

例羽解法（Q崎定理侬据?

两个平面垂直的判定定理:

如果一个平面

经过另一个平面的

一条垂线，那么这

两个平面互相垂直

例③解法⑵:

例③解法（@）的定理依据?

两个平面垂直的定义

如果两个平面相交

所成的二面角是直二

面角，那么我们称这

两个平面相互垂直.

例4:

鲁班的徒弟在木工截面划线中遇到了

困难，请同学们当一下鲁班给以指点：

木块如图所示，

点P在平面VAC

内，过点P将木

块锯开，使截

面平行于直线

VB和AC,应该

怎样画线？

作法：1）过点P作EF〃AC分

别交VC、VA于E、F点；

2）分别过E作EH//VB交BC于H

点，过F点作FG//VB交AB于G

点；

3）最后连接GH；平面EFGH

即为所求的截面.

II!

今班稳革发解决的向4,■的稳弟♦舒决TI

例4解答的定理依据?

直线与平面平行的判定定理：

如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,

那么这条直线和这个平面平行

4.课堂总结

提问学生本节学了哪些内容？

•定理运用■

定理回顾•

三.课堂结束

下一节围绕第二章中的性质定理和基本概念再兜一圈。

课后

预习联性质定理部分

©。蓑本概念部分

(1)两直珑的夹角范围？

[0\900]

(2)异面直线的夹角范围？

(0°,90°]

(3)直线,与平面的夹角范围？

[0;900]

(4)两平面的夹角范图？

[0°,18d]

四、教法说明

(1)以问题引领课堂发展.将课本叙述的定理问题化，通过学生解决一个个

小问题，来达到教学目的.在解决问题中，师生随机进行点拨、引导，感慨、插

Um幺内邙

(2)以质示启发学生思考.启发方式有图示启发、有点拨、有引导，有教师

提前发放工具的暗示，有学生争论中自我发现，启发方法多种多样.

(3)方法实行小组赋分.定理回顾部分，实行教师提出问题，小组回答，给

小组赋分.定理运用部分，实行小组对决展示，决出输赢.

(4)风趣幽默，气氛活跃.开头不落俗套，结尾意味深长，靠一个只升不降

的怪图进行课堂引入，增加课堂趣味.

过程不时发点感慨，风趣幽默，气氛活跃.

(5)动，是课堂的灵魂.前半部分是动脑、动嘴；后半部分是动脑、动嘴,

动手、动腿，学生需要自寻工具到讲台具体操作，活动性强.

(6)课件制作生动、优美；幽默、风趣；实际、实用.

(7)几步一归纳，数步一总结，注意思路总结整理.

(8)前半部分是基础知识，后半部分是实际应用.解决了既要重视基础又要

让学生动手动脑、灵活运用的矛盾，为基础年级复习，提供了一种理论联系实际

的课堂案例.

学情分析

所教的魏桥高中学生是被县城几所重点高中取了后剩余

的3000名之外的学生，基础较差，所以本节课的重点还是

放在对基础知识的理解和整理上。考虑到学生的基础，用图

示进行了启发；用制作的动画减轻学生理解的难度；用简单

的实际应用提高了学生学习数学的兴趣；用看是重复、实际

是变换角度来解释、以增强学生对基础知识的理解。

效果分析

(1)开头不落俗套，结尾意味深长，靠一个只升不降的怪图进

行课堂引入，增加课堂趣味.

(2)过程老师不时发点感慨，风趣幽默，气氛活跃.

(3)动，是课堂的灵魂.前半部分是动脑、动嘴；后半部分是动

脑、动嘴，动手、动腿，学生能够自寻工具到讲台具体操作，活动性

强.学生代表小组积极参与、主动回答，有热情.

教材分析

这是一节数学实践活动展示课(也可作为综合实践或校

本课来上)，是学生在学了立体几何第二章后，让学生利用

学过的立体几何知识，来探索解决生活中的实际问题.在课

下探索实践之后，本节课堂上进行了小组汇报展示.

课堂有两大环节：一是复习；二是应用。

本节有两大目标：一是巩固本章学过的判定定理；二是

增强学生的应用意识和动手实践能力，理论联系实际。

立体几何第二章错解分析

易错点1性质应用不正确

例3.如图1-3-5,己知在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H

RdDH

分别是BC、CD边上的点，且二=也=2,求证：直线EG、FH、AC相交于一点.

GCHC

错解：如图1-3-6,^.•E、F分别是AB、AD的中点，连结EF,.^.E/〃6。,EF^=LBD.

2

又gg=些=结GH,.G”//BD,GH=-BD,：.四边形EFGH是梯形.

GCHC3

设梯形的两腰EG、FH相交于一点T.

•.•生=2,F、H分别是AD、DC上的点，FH、AC相交于

HC

一点，EG、FH、AC相交于一点.

错因分析：这是知识性错误，根本原因是对平面的基本性质图1-3-61

应用不正确，对三个公理认识不足，尤其是对公理3的理解.

正解：・.任、F分别是AB、AD的中点，连结EF,如图1-3-6所示，:.EFHBD,

EF=-BD.

2

又跑=也.GH//BD,GH=-BD,：.四边形EFGH是梯形.

GCHC3

设梯形的两腰EG、FH相交于一点T.YEGU平面ABC,F”u平面ACD,，Tw平

ffiABC,Tc平面ACD,又平面ABCfl平面ACD=AC,/.TGAC,/.EG、FH、AC相

交于一点T.

易错点2异面直线的概念理解不到位

例4.判断：若a、b是两条异面直线，p为空间任意一点，则过p点有且仅有一个平面

与a、b都平行.

错解：真命题.

错因分析：这是策略性错误.忽略了p在其中一条直线上，或a与p确定平面恰好与b

平行.

b

正解：假命题.

例5.已知直线a、b是两条异面直线，直线。〃直线b与c不相交.

求证：直线b与c是异面直线.

错解1：・・・c〃a,则直线a和c确定平面a,如图1-3-7所示，又直线a、

b是两条异面直线，则匕a,且b不平行于a.

令〃Da=A,易知A仁ar,又直线b与c不相交,

：.A,直线b与c是异面直线.

错因分析:逻辑性错误，推理过程只说明了b与c不共面与a,这不表示b与c一定是异

面直线，即b、c不共面与某些指定的平面，推不出b、c是异面直线.

错解2：\•直线a、b是异面直线，有一个平面口使au/，

又•••a不平行于b,则可令bD尸=A且Aec,•.•c〃a".cu/7.

又♦.•直线b与c不相交，.•.Aec,直线b、c是异面直线.

错因分析：证明过程中出现的由c〃。确定的平面未必是所设的p.

错解3：假设b、c共面，设所确定平面为7,

•：clla,设直线a和c确定的平面为夕，

则huQ,直线a与b共面.

这就与a、b是异面直线矛盾，，直线b、c是异面直线.

错因分析：这是心理性错误，由b、c共面且c、a共面推出b、a共面是错误的，其心

理原因可归结为对通常的“传递性”产生的负迁移而引发的错误.

正解：如图1-3-7所示，•.•直线b与c不相交，〃人或者b与c是异面直线.

若。〃/?,Vella,：.allb,这与与a、b是异面直线矛盾，.,.直线b、c是异面直线.

例6.空间四边形ABCD中，AB=CD且成60°的角，点M、N分别为BC、AD的中点，

求异面直线AB和MN所成的角.

错解：如图1-3-8所示，取AC的中点p,连结PM、PN、MN.

•••M、N分别为BC、AD的中点，

MP//AB,且NP//CD,RNP=；CD.

又AB=CD且AB、CD所成的角为60°,

；.MP=NP且MP、NP成60°角，

NMPN=60°,即AMPN是等边三角形.

NPMN=60°,,即直线AB和MN成的角为60°.

错因分析：这是策略性错误.解法中遗漏了当直线AB与CD

成60°,而NA/PN=120P.时的情形，此时直线AB和MN所成

角为30°.

正解：如图1-3-8所示，取AC的中点P,连结PM、PN、MN.

•••M、N分别为BC、AD的中点，

MPHA8,且MP=gA8,NP//CD,且NP=；CD.

又AB=CD且AB、CD所成的角为60°,

二.且MP、NP成60°角，

NMPN=60°或120°,

当/MPN=60°时，即AMPN是等边三角形.

NPMN=60°,,即直线AB和MN成的角为60°.

当NMPN=120°时，此时AMPN是等腰三角形，

NPMN=30°,,即直线AB和MN成的角为30°.

例7.如果异面直线a、b所在的角为50°,P为空间一定

点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有（）.

A.—条B.二条C.三条D.四条

错解1：若直线/是点p与两异面直线a、b所成的角都是

30°的直线，则异面直线a、b所在的角为60°,故无正确答

案.

错因分析：这是策略性错误.对过点p与两异面直线成相同

角的直线的位置关系空间想象不足，把它当作平面问题进行解

决.

错解2：如图1-3-9,过点p分别作a、b的平行线"、"，则/、Z/所成的角也为50°,

即过点p与X、〃成相等的角的直线必与a、b成相等的角，由于过点p的直线/与a'、b1

成相等的角，故这样的直线/在『、〃确定的平面的射影在其角平分线上，而直线7、〃所

成角的平分线有四条，故而直线/在平面内的射影有四条，所以答案D正确.

错因分析：心理性错误，不明确与两直线所成的角与两异面直线所成的角的内在的约束

关系，没有进行计算而凭感觉做题.

正解：如图1-39过点p分别作a、b的平行线〃、少，则"、少所成的角也为50°,

即过点p与7、。/成相等的角的直线必与a、b成相等的角，由于过点p的直线/与〃、b1

成相等的角，故这样的直线/在7、。/确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有

cos30°

cosZAPB=cosZAPOxcosZOPR当cosNAPO=----------时，有

cos25°

cosNAPO=e（0,1）,此时,这样的直线存在且有两条：当cos/6PC=130°时,

cos25°

有（：0544尸0=上co2s3空0°＞1,这样的直线不存在，故选B.

cos65°

易错点3定理应用出现问题

例8如图1-3-10,PA_L矩形ABCD所在的平面，M、N分别为

AB、PC的中点，求证：MN〃平面PAD.

错解：取PD中点为E,连结AE、EN,则有EN//CD//AB//AM,

EN=-CD=-AB=AM.：.四边形AMNE为平行四边形，,MN//AE.

22

MN//平面PAD.

错因分析：这是知识性错误.判定直线与平面平行的主要依据是判定

定理，三个条件缺一不可.本题在证明时，描述条件中忽视了AEu平面

PAD,A/NU平面PAD的证明.

正解：取PD的中点E,连结AE、EN,则有EN//CD//AB//AM,

图1-3-11

EN=[CD=LAB=AM.：.四边形AMNE为平行四边形，，MN//AE.

22

AEu平面PAD,W平面PAD

MN//平面PAD.

例9两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M&AC,NeFB,

且AM=FN,求证：MN〃平面BCE.

A]\/fAU

错解：如图1-3-11,过M作垂足为H,则=H

ACAB

.FNAH

连结NH,由BF=AC,FN=AM,z得a，——=——.

BFAB

NH//AF//BE.：.}=>平面MNW〃平面BCE

NHHBE\

：.MN//平面BCE

错因分析：这是心理性错误，判断面面平行是通过线面平行来判断面面平行，三个条件

缺一不可.本题在证明时，描述条件中，忽视了用〃、NHu平面MNH,

BC、BEu平面BCE,MNu平面MN”的证明.

AMAH

正解：如图1-3-11,过M作垂足为H,则NH〃BC,；.——=——.连结

ACAB

,八,口FNAH

NH,由BF=AC,FN=AM,得；.——=——

BFAB

：.NH//AF//BE.

MH//BC

NH//BE

MH,NHu面MN”

>n平面MN"〃平面BCE

BC,BEu面BCE

MH、NHU面BCE

MHCNH=H

A/Nu平面MN”,.二MN〃平面BCE.

例10如图1-3-12,在正方体ABC。—AgG2中，M、N、P分别是G。、用G、

的中点，求证：平面仞VP〃平面46D

错解：连结80、BD、PN、MN、\D,\-P,N分别是G2、4G的

中点，，PN〃片2，BXDXHBD.：.PNHBD.

同理MN〃AD又PNnMN=N,，平面PMN//平面为BD.

错因分析：这是知识性错误.本题容易证得MN〃4。，PN〃B。，而直接由此得出

平面PMN〃平面ABO,导致证明过程跨步太大.

正解：连结瓦。、BC，;P、N分别是。G、々G的中点，，PN〃42、

B.DJIBD,:.槐〃面48。.

同理MN//面ABD.又PNCMN=N,

平面MNP//平面4BD.

易错点4忽视题目中的条件

例11在矩形ABC。中，4。=2五，4845。、沿对角线4。折起，使乙48。和

AADC所在平面互相垂直，此时BD的长为石，求AB的长.

错解：如图1-3-13,作AC,垂足为E,DF±AC,垂足为E连结DE、BF,

设AB=x,BC=y,在AA3C中，AB?+台。2=则+^2=&,即j?=8—…“)

由等面积公式知BE=DF=/，CF=AE

2V2272

EF=2A£-AC=2x、—2&在AZ5ER中，DE2=EF2+DF2,

2V2V2

8D2=6£2+。尸2+£/2=25七2+收2,即5=2（是）~

把（1）代入上式得——8/+12=0,所以/=6,%2=2,即46=后或

错因分析：这是心理性错误.错解忽略了题中所给的条件ABWBC,即y.

正解：设如图1-3-13,作BEJ,AC,垂足为E,DFYAC,垂足为E连结DE、BF,

设AB=x,BC=y，在AA3C中，AB?+台。2=则+^2=&,即j?=8—…“)

由等面积公式知BE=OF=3XV，CF=AE=x~

2V22V2

r2r2-4

EF=2AE—AC=2x——2声=—在ADER中，

2V2V2

图1-3-13

DE2=EF2+DF2,BD2=BE2+DF2+EF2=2BE2+族？，即

把（1）代入上式得——8/+12=0,所以/=6,炉=2,即A8=后或

上述解法中当/=6时，J?=2不符合/<J,所以43=行

例12点M是线段AB的中点.若A、B到平面a的距离分别为4cm和6cm,求点M到

平面a的距离.

错解：如图1-3-14,分别过点A、B、M作平面a的垂线AA'、BB'、垂足分别

为卬、B‘、H,则线段AA'、BB,的长分别为点A、B、M到平面a的距离,

+BB

由题设知，4A=4cm,BB=6cm,因此，MH===5（cm）.

22

错因分析：这是心理性错误.不少同学没有发现异侧的情况，缺乏分类讨论的意识，片

面地考虑问题，使问题出现漏解.

正解：（1）如图1314,分别过点A、B、M作平面a的垂线A4'、BB>MH,垂足

分别为A、B：H,则线段AA'、BB'、的长分别为点A、

B、M到平面a的距离，

由题设知，AA=4cm,BB!=6cm,因此，

图1-3-14

_AA!+BB_4+6_<

————（cm）.

22

(2)如图1315,若A、B在a的异侧，

B

河-㈣6-4

MH=J---------=--=l（cm）.M____

22

由（1）（2）可知A7”=5cTn或1cm.A

易错点5处理空间图形问题出错，对空间儿何体的认识不到位1-3-15

例13在正方体ABCD-A,8cA中，E、F分别是

的中点，P是CG上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截

面，若截面为四边形，则点P的轨迹是（）.

A.线段G/B.线段CGC.线段CFD.线段

图1-3-16

CF和一点c

错解：B.如图1-3-16,当点P在线段CG上时，过E、D、P作正方体的截面，截面必

交于BB］于一点,故而选B.

错因分析：学生的空间想象力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面

的交线.

正解：C.

(1)如图1-3-17,当点P在线段CF上移动时，易由线面平行的性质定理知直线/

平面BBICCI,

则过DE的截面DEP与平面的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE

平行的直线.

•.•点P在线段CF上，此时，过点P与DE平行的直线与直线的交点在线段BB1上,

故此时截面为四边形(实质上是平行四边形).

特别的，当P点恰为F点时，此时截面为也为平行四边

形.

(2)当点尸在线段GF上时，如图，分别延长。E、DP交

图1-3-17

24，4G于点“、G,

则根据平面基本定理知点H、G既在截面OEP内，也在平面内，

故G4位两平面的交线，

连接GH分别交4玛、用G与点K、N(注也有可能交在两直线的延长线上)，再分

别连接EK、KN、PN即得截面，

此时，截面为DEMVP,为五边形，故选C.

例14正三棱柱的底面边长与侧棱都为a,过底面的一边与上下

底面中心连线的中点作棱柱的截面，求截面的面积.

错解设上下底面中心为。、为。。连线的中点，。为

图1-3-18

A8的中点，连接。P并延长交CC'于一点E,则AA8E即为所求的

截面，如图1-3-18,

OPOD122

3

错因分析这是策略性错误.但仔细检查不难发现，EC=‘a〉a=CC'.这说明E点

2

不应落在CC'内，而应落在CC'的延长线上，如图1-3-19.

正解设DE交上底面于点H,过H点作GF,使得GF//AB,则等腰梯形AGFB

才是所求的截面.

ECDC33

即EC=-a

OP-OD-T2

1

EC_EC-CC2^_i

EC—~EC--3--3

-a

2

图1-3-19

ECEHGF

ED=^EC2+CD2=屈,

~EC

/.GF^-AB=-a,HD=^DE=翌鱼.

3333

,_1,、26_4V32

=a+a=a

,梯形ACFB2^3^~3~~9~

即所求梯形的截面面积为竺4A

9

易错点6旋转体、组合体问题出错

例15过球面上两已知点作的大圆个数是个.

错解：1个

错因分析：这是知识性错误，得出结论是一个的原因是没有注意球面上两已知点与球心

共线的特殊情况，此时，可作无数个大圆.

正解：当球面上两点的连线不是球的直径时，可以作1个，当球面上两点的连线是球的

直径时，可以作无数个，故正确答案是1个或无数个.

例16某地球仪上北纬30°,纬线的长度为12万cm,该地球仪的半径是______cm,

表面积是cm.

错解：由2成=12万得/?=6,，5=4成2=4%.36=144万.

错因分析:这是心理性错误,本题在解答过程把球的半径与球的截面中圆的半径混淆了,

把球的截面圆的半径当作了球的半径，故而出现错误.

正解：4百，192万.

设地球仪的半径为/?,纬线的半径为r,由已知2成=12万得R=6.

,r=7?•cos30°.=aR=4遍.

2

/.S表=4^R2=4乃•48—192乃.

例17在半径为15的球内有一个低面边长为12A/3的内接正三棱锥,

求此正三棱锥的体积

错解：如图1-3-20所示，设球心为。，球内接正三棱锥为A—DBC,

则。4=OB=OC=OO=H=15.

图1-3-20

MCD是边长为126的正三角形，设ABCD的中心为〃，则”也

是A点和。点在平面8CO上的射影,

—x1273=12.

32

OH