第2章投影基础讲解

第二章投影基础第二章投影基础第二章投影基础第一节投影法和视图的基本概念第二节三视图的形成及其对应关系第三节点的投影第六节几何体的投影第四节直线的投影第五节平面的投影第二章投影基础第一节投影法和视图的基本概念一、投影法二、正投影的基本性质三、视图的基本概念第二章投影基础

投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形，称为投影一、投影法投影法分类投射线平行或汇交

中心投影法平行投影法正投影法斜投影法第二章投影基础中心投影法投射线汇交一点的投影法

1．中心投影法工程上常用中心投影法绘制建筑物的透视图投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响度量性较差投影特点第二章投影基础平行投影法正投影法斜投影法投射线相互平行的投影法

投射线与投影面相垂直的平行投影法

投射线与投影面相倾斜的平行投影法

2．平行投影法投影大小与物体和投影面之间的距离无关度量性较好正投影法特点正投影法第二章投影基础二、正投影的基本性质

类似性

平面（直线）倾斜投影面，投影变小（短）

积聚性

平面（直线）垂直投影面，投影积聚成直线（一点）

真实性

平面（直线）平行投影面，投影反映实形（实长）第二章投影基础三、视图的基本概念

用正投影法绘制物体的图形时，把人的视线假想成相互平行且垂直投影面的一组投射线，将物体在投影面上的投影称为视图物体视图投影面视线平行且垂直于投影面人的视线为投射线

一个视图不能完整地表达物体的形状

国家标准规定：绘制视图时，可见的棱边线和轮廓线用粗实线绘制，不可见的棱边线和轮廓线用细虚线绘制第二章投影基础两个不同的物体，在同一投影面上的投影却相同两个不同的物体视图相同返回章目录第二章投影基础三、三视图之间的对应关系及投影规律四、三视图的画图步骤二、三视图的形成一、三投影面体系的建立第二节三视图的形成及其对应关系第二章投影基础HWV投影面

正面投影面（简称正面或V面）

水平投影面（简称水平面或H面）

侧面投影面（简称侧面或W面）投影轴OXZOX轴

V面与H面的交线，代表长度方向

OZ轴

V面与W面的交线，代表高度方向

OY轴

H面与W面的交线，代表宽度方向

Y三个投影面相互垂直一、三投影面体系的建立第二章投影基础主视图由前向后投射在正面所得的视图由上向下投射在水平面所得的视图由左向右投射在侧面所得的视图二、三视图的形成俯视图左视图第二章投影基础投影面的展开V面不动

向右转90°

向下转90°第二章投影基础三、三视图之间的对应关系及投影规律位置关系俯视图在主视图的下方左视图在主视图的右方投影规律主、俯长对正主、左高平齐俯、左宽相等方位关系主视图反映左、右和上、下俯视图反映左、右和前、后左视图反映上、下和前、后

俯、左视图远离主视图的一边，表示物体的前面；靠近主视图的一边，表示物体的后面去掉投影面边框和投影轴三等规律第二章投影基础四、三视图的画图步骤【例2-1】根据物体的轴测图，画出其三视图返回章目录第二章投影基础一、点的投影规律二、点的投影与直角坐标的关系三、两点的相对位置第三节点的投影第二章投影基础WHVOXa

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影

空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示a

●a●a

●A●ZY一、点的投影规律第二章投影基础WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazayaaZaa

yaWaXYHYWO

●●az●xV面不动

向右转90°向下转90°投影面的展开第二章投影基础●●●●XYZOVHWAaa

a

①

a

a⊥OX轴；②aax=a

az=A到V面的距离a

ax=a

ay=A到H面的距离xaazay●●YWZaza

XYHaWOaaxaya

●a

a

⊥OZ轴；点的投影规律a

az=aay=A到W面的距离aay⊥

OY轴；a

ay⊥

OY轴点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴

影轴距=点面距

点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离第二章投影基础【例2-2】已知点A的两个投影，求作第三投影●a

●●a

aaxaz作45°线使a

az=aaxCAXA作图第二章投影基础二、点的投影与直角坐标的关系点A的x坐标=点A到W面的距离（Aa″）点A的y坐标=点A到V面的距离（Aa

′）点A的z坐标=点A到H面的距离（Aa

）对应关系第二章投影基础

【例2-3】

已知点A（15、10、12），求作它的三面投影第二章投影基础三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系x

坐标大的在左侧y

坐标大的在前方z

坐标大的在上方点A在点B的左、后、下方判断方法第二章投影基础重影点的可见性判别

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点点A、点C为H面的重影点被挡住的投影加（）()●●●●●a

a

c

c

ac点A、点C为哪个投影面的重影点呢？当两点在V面的投影重合时，则y坐标大者在前当两点在H面的投影重合时，则z坐标大者在上若两点在W面的投影重合时，则x坐标大者在左判别方法

第二章投影基础

【例2-4】

已知点A的三面投影，作出点B（16、8、0）的三面投影，并判断两点在空间的相对位置点A在点B的右、前、上方

返回章目录第二章投影基础一、直线的三面投影二、各种位置直线的投影特性三、属于直线的点第四节直线的投影四、两直线的相对位置第二章投影基础一、直线的三面投影

一般情况下，直线的投影仍是直线

求作直线的三面投影时，可分别作出直线两端点的三面投影。然后将同一投影面上的投影（简称同面投影）连接起来，即得到直线的三面投影

特殊情况下（即直线垂直投影面），其投影积聚成一点第二章投影基础二、各种位置直线的投影特性投影面平行线投影面垂直线一般位置直线特殊位置直线与三个投影面都倾斜的直线垂直于某一投影面

平行于某一投影面，而与其他两投影面倾斜正平线（平行于Ｖ面）水平线（平行于H面）侧平线（平行于W面）正垂线（垂直于Ｖ面）铅垂线（垂直于H面）侧垂线（垂直于W面）（机工高职多2）机械制图教学软件第二章投影基础1．投影面平行线水平线平行于H面与V面、W面倾斜的直线

正平线平行于V面与H面、W面倾斜的直线侧平线平行于W面与V面、H面倾斜的直线①直线在所平行的投影面上的投影，均反映实长②其他两面投影平行于相应的投影轴③反映实长的投影与投影轴所夹的角度，等于空间直线对相应投影面的倾角投影特性第二章投影基础（1）水平线①水平投影ab=AB②正面投影a′b′∥OX，侧面投影a″b″∥OY，且不反映实长③ab与OX和OY的夹角β、γ等于AB对V、W面的倾角

投影特性实长第二章投影基础（2）正平线①正面投影c′d′=CD②水平投影cd∥OX，侧面投影c″d″∥OZ且不反映实长③c′d′与OX和OZ的夹角α、γ等于CD对H、W的倾角投影特性实长第二章投影基础（3）侧平线①侧面投影e″f″=EF②水平投影ｅf∥OY，正面投影e′f′∥OZ且不反映实长

③

e″f″与OY和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面的倾角

投影特性实长第二章投影基础2．投影面垂直线铅垂线垂直于H面的直线

正垂线垂直于V面的直线

侧垂线垂直于W面的直线①直线在所垂直的投影面上的投影，积聚成一点②其他两面投影反映该直线的实长，且分别垂直于相应的投影轴投影特性第二章投影基础（1）铅垂线①水平投影积聚成一点a（b）

②a′b′=a″b″=AB，且a′b′⊥OX轴，a″b″⊥OY轴

投影特性第二章投影基础（2）正垂线①正面投影积聚成一点c′（d′）②

cd=c″d″=CD，且cd⊥OX轴，c″d″⊥OZ轴

投影特性（机工高职多2）机械制图教学软件第二章投影基础（3）侧垂线①侧面投影积聚成一点e″（f″）

②

ef=e′f′=EF，且ef⊥OY轴，e′f′⊥OZ轴

投影特性第二章投影基础3.一般位置直线

由于一般位置直线对三个投影面都倾斜，其三面投影都与投影轴倾斜，且均不反映实长投影特性第二章投影基础【例2-5】分析图中正三棱锥SA、SB、AC三条棱线与投影面的相对位置一般位置线侧垂线侧平线第二章投影基础三、属于直线的点投影特性

如果一个点在直线上，则此点的各个投影必在该直线的同面投影上。反之，如果点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点一定在该直线上第二章投影基础【例2-6】

已知点M在直线AB上，求作它们的第三投影第二章投影基础空间两直线的相对位置可分为以下三类:四、两直线的相对位置平行相交交叉可以组成一个平面不能组成一个平面又称异面直线

⒈平行两直线投影特性若空间两直线相互平行，则其各组同面投影必相互平行若两直线的各组同面投影分别相互平行，则空间两直线必相互平行

第二章投影基础d

b

a

c

bcdab

c

a

d

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行AB与CD不平行【例2-8】

判断AB、CD两直线是否平行如何判断？分析求出侧面投影后可知求出侧面投影

第二章投影基础2．相交两直线投影特性

若空间两直线相交，则其各组同面投影必定相交，交点为两直线的共有点，且符合点的投影规律

若两直线的各组同面投影都相交，且交点符合点的投影规律，则两直线在空间必定相交第二章投影基础Ｏcabb

a

c

dX●k●●k

●d

【例2-9】已知两相交直线AB和CD的水平投影ab、cd，直线AB和点C的正面投影a′b′c′，求直线CD的正面投影第二章投影基础3

(4

)2(1)3．交叉两直线投影特性“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置为什么？两直线相交吗？同名投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律b

d

c

cdaaa

2

1

●●●34●●●Ⅰ、Ⅱ是H面的重影点Ⅲ、Ⅳ是V面的重影点

交点的连线与投影轴倾斜

第二章投影基础【例2-10】试判别两根交叉管子AB和CD的相对位置，并判别可见性返回章目录第二章投影基础一、平面的表示法三、平面内直线和点的投影第五节平面的投影二、各种位置平面的投影第二章投影基础一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●●●●abca

b

c

平面图形两平行直线abca

b

c

●●●●●●d●d

●第二章投影基础二、各种位置平面的投影E面ED面FF面DB面A面C面BCAG面G投影面平行面

平行于某一投影面投影面垂直面正平面（平行于Ｖ面）侧平面（平行于Ｗ面）水平面（平行于Ｈ面）正垂面（垂直于Ｖ面）侧垂面（垂直于Ｗ面）铅垂面（垂直于Ｈ面）一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面特殊位置平面

垂直于某一投影面而与其他两投影面倾斜第二章投影基础1．投影面平行面①水平投影反映实形

②正面投影积聚成直线，且平行于OX轴

投影特性③侧面投影积聚成直线，且平行于OY轴

（1）水平面①平面在所平行的投影面上的投影反映实形②其他两面投影积聚成直线，且平行于相应的投影轴投影特性第二章投影基础（２）正平面①正面投影反映实形

②水平投影积聚成直线，且平行于OX轴

投影特性③侧面投影积聚成直线，且平行于OZ轴

第二章投影基础（3）侧平面①侧面投影反映实形②正面投影积聚成直线，且平行于OZ轴

投影特性③水平投影积聚成直线，且平行于OY轴

第二章投影基础2．投影面垂直面①水平投影积聚成直线，该直线与X、Y轴的夹角β、γ，等于平面对V、W面的倾角

②正面投影和侧面投影为原形的类似形

投影特性（1）铅垂面①平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成与投影轴倾斜的直线，该直线与投影轴的夹角等于平面对相应投影面的倾角②其他两面投影均为原形的类似形投影特性第二章投影基础（2）正垂面①正面投影积聚成直线，该直线与X、Z轴的夹角α、γ，等于平面对H、W面的倾角

②水平投影和侧面投影为原形的类似形

投影特性第二章投影基础（3）侧垂面①侧面投影积聚成直线，该直线与Y、Z轴的夹角α、β，等于平面对H、V面的倾角

②正面投影和水平投影为原形的类似形

投影特性第二章投影基础3．一般位置平面

由于一般位置平面对三个投影面都倾斜，其三面投影均不反映实形，都是小于原平面的类似形投影特性类似形类似形类似形第二章投影基础【例2-11】判断正三棱锥的三个面（ABC、SAC、SAB）与投影面的相对位置水平面侧垂面一般位置平面第二章投影基础三、平面内直线和点的投影判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内

定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内1．平面内的直线第二章投影基础【例2-12】已知△ABC上的直线EF的正面投影e′f′，求水平投影ef第二章投影基础2．平面内的点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置首先面上取线点从属于平面的几何条件

若一点在平面内的任一直线上，则此点必定在该平面内面上取点的方法第二章投影基础【例2-13】已知△ABC内点E的正面投影e′和点F的水平投影f，求作它们的另一面投影第二章投影基础【例2-14】在△ABC平面上取一点K，距离V面14，距离H面16返回章目录一、平面立体二、曲面立体第六节几何体的投影表面均为平面的立体

表面由曲面、或曲面与平面组成的立体第二章投影基础

点的可见性规定若点所在表面的投影可见，则点的同面投影也可见；反之为不可见。对不可见的点的投影，需加圆括号表示

求体表面上点的投影，应依据在平面上取点的方法作图

一、平面立体⑵棱柱的三视图⑶棱柱面上取点

m

m

⑴棱柱的组成

由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线称为侧棱线，侧棱线相互平行

它的顶面和底面为水平面；三个矩形侧面中，后面是正平面，左右两面为铅垂面；三条侧棱为铅垂线

m1.棱柱第二章投影基础2．棱锥⑵棱锥的三视图⑶在棱锥面上取点

m

m

m

b

a

c

abc

a

(c

)b

s

⑴棱锥的组成

由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶同样采用平面上取点法

棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面

s

s

第二章投影基础

圆柱的主视图为一个矩形线框，其中左、右两轮廓线是两组由投射线组成（和圆柱面相切）的平面与V面的交线。这两条交线也正是圆柱面上最左、最右素线的投影，它们把圆柱面分为前、后两部分，其投影前半部分可见