高中数学课时跟踪检测三十一函数模型的应用新人教A版必修第一册

函数模型的应用

层级(一)“四基”落实练

1.有一组实验数据如表所示：

112345

S1.55.913.424.137

下列所给函数模型较适合的是()

A.y=log“x(a>l)B.y=ax+6(a>l)

C.y—ax+Z>(a>0)D.y=log”+6(a>l)

解析：选C由表中数据可知：s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A、D中的

函数增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数y随x的增大而增大,

且增长速度越来越快.故选C.

2.数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会

用数学语言表达世界双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知

识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为a元，商家

准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价10%,然后在“双11”活动期间连续2次

对该商品进行降价且每次降价10%.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格a元相比

()

A.相等B,略有提高

C.略有降低D.无法确定

解析：选C设现价为6,则b=a(l+10%)2(l—10%)2=(l—0.01)、，则6Va,则该商

品的价格与原来价格相比略有降低，故选C.

3.(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格

每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元，每册杂

志可以定价为()

A.2.5元B.3元

C.3.2元D.3.5元

解析：选BC设杂志的定价为x元，总销售收入为y元，

根据题意可得：y=a(100000-yyX5000)

=-250007+150000x,

当销售收入不少于22.4万元时，-25000x4-150000x2224000,解得2.8W启3.2.

结合选项知选B、C.

4.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四

子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精

度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，

这与“打水漂”原理类似（如图所示）.现将石片扔向水面，假设石片第一次

接触水面的速率为11.2m/s,这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每

次“打水漂”的速率为上一次的93%,若要使石片的速率低于7.84m/s,则至少需要“打水

漂”的次数为（）

（参考数据：取In0.7=-0.357,In0.93=-0.073）

A.4B.5

C.6D.7

解析：选C设石片第〃次“打水漂”时的速率为％,则匕,=11.2X0.931.

由11.2X0.93"-'<7.84,得0.931<0.7,

则(〃一l)ln0.93<ln0.7,

In0.7-0.357

即n—!>,«»4.89,

In0.93-0.073

则">5.89,故至少需要“打水漂”的次数为6.

5.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污

染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留含量P（单位:毫克/升）与过滤时间t（单

位：小时）之间的函数关系为片其中e是自然对数的底数，4为常数，R为原污染

物总量.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则％=；要能够按规定排放

废气，还需要过滤〃小时，则正整数〃的最小值为.

（参考数据：logs2g0.43）

解析：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,

kt

'：P=Pa-e,（1-80%）S=R•e",得0.2=e",

In5

由0.25%丹=耳・e”,得0.0025=©一十-方，

:•t=\z-41ogo400—8(121ogs2)14.88.

InD

故整数〃的最小值为15-4=11.

In5

答案：一二11

6.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间,

汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S,驾驶员反应时间内汽车所行距

离为S,刹车距离为S,则S=S+S.而S与反应时间t有关，S=101n（t+l）,S与车速V

有关，$=6日某人刹车反应时间为#一1秒，当车速为60km/h时，紧急刹车后滑行的距

离为20米，若在限速100km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？（精确到米）

解：因为刹车反应时间为喊一1秒，

所以S=101n（/—1+1）=101n/=5,

当车速为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S=6•（60/=20,

解得6=4?即$=占/.

ioUloU

若r=100,则S=±X10（）2&56,S=5,

loU

所以该汽车的安全距离S=S+S=5+56=61（米）.

层级（二）能力提升练

1.一种放射性元素，每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原

来的一半）t等于（）

.0.5,0.92

A，160,92B.o.5

1g0.5lg0.92

L,1g0.92D，1g0.5

oi

解析：选c由题意知a（l—8%）'=5,即（1—8%）'=5,等式两边取对数得1g0.92'=lg

0.5,即以g0.92=lg0.5,；"=兽黑，故C选项是正确的.

1gu.92

2.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是火。C,空气的温度是℃,rmin

后物体的温度0℃可由公式0=%+（%一心）院02"求得，如果把温度是100℃的物体放

在10℃的空气中冷却tmin后，物体的温度是40°C,那么t的值约等于.（参考数

据：In3取1.099,In2取0.693）

解析：由题意可得40=10+（100—

化简可得尸"'=9,-0.24t-Inr=—In3,

0O

A0.24r=ln3=1.099,解得1*4.58.

答案：4.58

3.遂宁市为打造最佳的宜居城市，践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造

林.假设西山森林公园原来的面积为勿亩，计划每年种植一些树苗，且西山森林公园面积的

年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.

(1)求西山森林公园面积的年增长率；

(2)到今年为止，西山森林公园面积为原来的也倍，则该地已经植树造林多少年？

(3)为使西山森林公园面积至少达到6卬亩，至少需要植树造林多少年？(参考数据：1g2

=0.3010,1g3=0.4771)

解：(D设增长率为人依题意得：0(l+x)i0=2”

所以(1+入)第=2,从而［(1+力力卡=舄,

即l+x=2焉，解得x=2《-1,故年增长率为*—1.

(2)设已经植树造林〃年，则+2七一1\=y［2.m,

即2《"=23,解得〃=5,故已经植树造林5年.

(3)设至少需要植树造林在年，则1)之6偏

即2—即77421og26=log22+log23,解得A210+10卢彳和25.8,故至少需要

1U10lgz

26年.

层级(三)素养培优练

某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研琲_

究中，发现注意力指数。与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.8悔、

当力c(0,14］时，曲线是二次函数图象的一部分，当te［14,45］时，曲柒黑~第

线是函数7=log.,(i-5)+83(a>0且aWl)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p

大于80时听课效果最佳.

(1)试求0=1(。的函数关系式；

(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由.

解：(1)由题意知，当力右(0,14］时