河南中考数学第22题总结讲义

五年中考试题(2014年22题)如图1，正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是射线BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．〔1〕连接FC，观察并猜测tan∠FCN的值，并说明理由；〔2〕如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=m，BC=n〔m，n为常数〕，E是射线BC上一动点〔不含端点B〕，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，当点E沿射线CN运动时，请用含m，n的代数式表示tan∠FCN的值．图1图2(2013年22题)〔1〕问题背景如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．〔事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．〕结论：线段BD与CE的数量关系是______________________〔请直接写出结论〕；〔2〕类比探索在〔1〕中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变〔如图2〕，〔1〕中的结论还成立吗？假设成立，请写出证明过程；假设不成立，请说明理由；〔3〕拓展延伸在〔2〕中，如果AB≠AC，且AB=nAC〔0＜n＜1〕，其他条件均不变〔如图3〕，请你直接写出BD与CE的数量关系．结论：BD=_____CE〔用含n的代数式表示〕．图1图2图3(2012年21题)如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在直线交于点E和F，易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；〔1〕如图2，假设点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，〔1〕中的结论是否仍然成立？说明你的理由；〔2〕如图3，将〔2〕中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变，假设AB=m,BC=n，直接写出的值。(2011年21题)如下图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB-=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．〔1〕如下图，猜测AB与BC的数最关系，并说明理由；〔2〕如图2所示，假设F为线段CD上一点，∠FBC=30°，连接AF，请判断△BAF的形状，并说明理由。针对训练：1.〔1〕操作发现如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．〔2〕问题解决保持〔1〕中的条件不变，假设DC=2DF，求的值；〔3〕类比探求保持〔1〕中条件不变，假设DC=nDF，求的值．2.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，假设，求的值．〔1〕尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，那么AB和EH的数量关系是_______________，CG和EH的数量关系是_________________，的值是．〔2〕类比延伸如图2，在原题的条件下，假设〔m＞0〕，那么的值是〔用含m的代数式表示〕，试写出解答过程．〔3〕拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.假设〔a＞0，b＞0〕，那么的值是〔用含a、b的代数式表示〕．4〔2012〕〕类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，假设，求的值。〔1〕尝试探究在图1中，过点E作交BG于点H，那么AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，的值是〔2〕类比延伸如图2，在原题的条件下，假设那么的值是〔用含的代数式表示〕，试写出解答过程。〔3〕拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，假设，那么的值是〔用含的代数式表示〕.5〔2013〕如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC5重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°。〔1〕操作发现如图2、固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_________；②设△BDC的面积为，△AEC的面积为，那么与的数量关系是__________；〔2〕猜测论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜测〔1〕中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜测．〔3〕拓展探究∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E〔如图4〕，假设在射线上存在点F，使，请直接写出相应的BF的长．6在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．AAA1ACCCA1A1ADB1BBBB1B1EP图1图2图3(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝°时，EP的长度最大，最大值为．7〔1〕操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜测线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．〔2〕类比探究：如图2，将〔1〕中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，〔1〕中的结论是否仍然成立？请说明理由．AABEFGCDCEDFBAG五年中考试题答案【2014年】：解：〔1〕tan∠FCN＝1.………2分如图，过点F作FQ⊥MN于点Q，那么，由∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，可得△ABE∽△EQF，……4分∵，∴△ABE≌△EQF，∴AB=EQ，BE=QF，设AB=a，CE=b，那么EQ=a，QF=BE=a+b，∴CQ=a+b，．………6分〔2〕如图，类比第〔1〕问，过点F作FQ⊥MN于点Q，那么，同样地，可得△ABE∽△EQF，∴第1问借助全等找线段关系，这里可以借助相似，所以需要找出两个三角形的相似比，由相似比得线段关系；上一问是利用正方形两邻边AE:EF=1:1得到相似比，这里同样需要找到矩形两邻边AE:EF的值．观察图形，点G恰好落在射线CD上，此时∠ADG=90°，∵∠BAD=∠EAG=90°，∴∠1=∠2，∴△ABE∽△ADG，………………8分∴∴，设CE=b，∵∴，∴EQ=n，，∵CQ=n+b，∴．…………10分【提示】①结合题干容易判断出这是一个类比探究问题，需要调用处理类比探究的思路〔照搬字母，照搬辅助线，照搬思路〕来解决问题；②要求角度的正切值，首先把角放到直角三角形中，作出需要的辅助线，表达出角度的正切值；③观察图形结构，利用“一线三等角”出现全等或相似来转化比例关系，考虑线段关系复杂，采用量化的手段来减轻思维量；④照搬第一问的思路去解决第二问，类比不下去时，需要考虑图形中有哪些不变特征〔一线三等角不变〕，同时考虑新增加的条件是什么〔点G在射线CD上〕，找思路解决．【2013年】：〔1〕BD=2CE；………………2分〔2〕结论BD=2CE仍然成立.……3分证明：延长CE、AB交于点G.∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4.又∵∠CEB=∠GEB=90°，BE=BE.∴△CBE≌△GBE.∴CE=GE，∴CG=2CE.………………5分∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°.∴∠D=∠G，∴sin∠D=sin∠G.∴.∵AB=AC，∴BD=CG=2CE.………………8分〔说明：也可以证明△DAB∽△GAC〕.〔3〕2n.……………………10分【2012年】：(1)成立.…………〔1分〕证明如下：如图，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，………〔3分〕那么∠GPH＝90°，PG＝PH，∠PGE=∠PHF＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠1＝∠2.……………〔5分〕∴△PGE≌△PHF，∴PE＝PF．……………〔7分〕(2).……………〔10分〕【2011年】：(1)猜测AB=BC．……1分理由：过D点作DＭ⊥BC，垂足为点Ｍ，那么∠DMC=90°.可得四边形ABMD是矩形,那么AB=DM.∵△DCE是等边三角形，∴DE=DC=CE,且∠DCE=∠CED=∠CDE=60°.∵∠DCB=75°,∴∠BCE=∠DCB-∠DCE=75°-60°=15°.…………3分而∠CDM=90°-75°=15°,∴∠CDM=∠BCE.在△DMC和△CBE中，∠CDM=∠BCE，∠DMC=∠CBE=90°，DC=CE，∴△DＭC≌△CBE，那么DＭ=BC.……5分∴AB=BC.…………6分〔2〕△BAF为等边三角形.理由：∵∠FBC=30º，∴∠ABF=60º.∵∠FBC=30º，∠DCB=75º，∴∠BFC=75º，故BC=BF.∵AB=BC，故AB=BF.………8分而∠ABF=60º，∴AB=BF=FA.∴△BAF为等边三角形.………………10分【2010年】：针对性训练答案1.(1)同意，连接EF，那么∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF∴Rt△EGF≌Rt△EDF∴EF=DF…………………3分(2)由(1)知，GF=DF。设DF=x,BC=y，那么有GF=x,AD=y.∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x.∴BF=BG+GF=3x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=(3x)2∴y=2。∴………………6分(3)由(1)知，GF=DF.设DF=x，BC=y，那么有GF=x，AD=y∵DC=n·DF，∴DC=AB=BG=nx∴CF=(n-1)x，BF=BG+GF=(n+1)x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[(n-1)x]2=[(n+1)x]2∴y=2.∴……10分2.〔1〕AB=3EH；CG=2EH；．………….〔3分〕〔2〕．………......………〔4分〕作EH∥AB交BG于点H，那么△EFH∽△AFB．∵AB=CD，∴CD=mEH．………………...〔5分〕∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．〔3〕ab．…………………..〔10分〕【提示】过点E作EH∥A