高中数学习题2：充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

♦♦随堂自测♦♦

1.“a>8”是“a>㈤”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.由a>|=4a>b,而a>Q>/a>|3.

2.（2011•高考天津卷）设集合/={xGR|x-2>0},B=R|T<0},C=

R|x（x—2）〉0},则“xG4U8”是“xG仁'的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选C.4U6={xeR|x<0或x>2},

C={*WR|KO或x>2},

"：AUB=C,

...“X64U6”是“xC广’的充分必要条件.

3.“lgx>lgy”是“,>5”的条件.

解析：由lgx>lgQx>y>00W>近.而有可能出现x>0,y=0的情况，

故/lgx>lgy.

答案：充分不必要

4.如果命题“若A,则8”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A

是6的条件.

解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即40/8,

又因否命题为真，所以逆命题为真，即24

所以4是8的必要不充分条件.

答案：必要不充分

♦♦谭时作业♦♦

[A级基础达标]

1.设xdR,则x>2的一个必要不充分条件是（）

A.x>lB.XI

C.x>3D.X3

解析：选A.x>20x>l,但

2.（2012•杭州质检）函数f（x）=aV+6x+c（d#0）的图象关于y轴对称的充要

条件是（）

A.b=c=0B.6=0且cWO

C.6=0D.620

解析：选C.F（x）关于y轴对称今一2=0台6=0.

3.已知）：a手B,q：cosoWcosE,则夕是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.-1夕：a=8：「0：cosa=cos£,

显然㈱》「0成立，但「#「夕，

・•・14是「夕的必要不充分条件，即0是4的必要不充分条件.

4.用符号“0”或“英”填空.

（1）a>b；

（2）助WOaWO.

解析：（1）当cWO时，a>b=>ac>bc；

当c=0时，a（｝=bd.

Aa>b=^acybc.

⑵当abWO时，aWO,且后0,

答案：（1）釜⑵今

5.已知直线/：x+ay+6=0和&(a-2)x+3y+2a=0,则乙〃八的充要条件

是a=.

解析：由1X3—aX(a—2)=0得a=3或一1,而a=3时，两条直线重合，所以

a==1.

答案：一1

6.指出下列各组命题中，0是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件,

充要条件，既不充分也不必要条件)？

(Dp：△/比'中，^2>a+c2,q-.为钝角三角形；

(2)。△/固有两个角相等，q：△力a'是正三角形；

(3)若a,6WR,p：才+斤=0,q：a=b=Q；

(4)p-.中，N/W30°,q：sinlW/

才+c—甘

解：(1)ZU8C^L；82〉，+C2,，COS3=―----<0,为钝角，即△/a'为

Zac

钝角三角形，反之，若为钝角三角形，6可能为锐角，这时〃〈才+4

:,月q,冷P，故是q的充分不必要条件.

(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，

：.p^q,q=^p,故夕是q的必要不充分条件.

(3)若3+62=0,则a=6=0,故p=>g,若a=8=0,则才+万=0,即牛，p,所

以。是Q的充要条件.

⑷转化为△力比'中sin/=:是/力=30°的什么条件.

乙

VZJ=30°=>sin/=1,

乙

但是sin/=；RN/=30°,

...△46。中$门4=；是//=30°的必要不充分条件，

即。是q的必要不充分条件.

[B级能力提升]

7.(2012•重庆调研)给出下列各组条件：

(1)/?：ab=。,q：a2+Z?'=0；

(2)p：灯20,q-.|T|+|y|=|x+y\；

(3)pt9>0,<?：方程而=0有实根；

(4)p：|x—11>2,q：—1.

其中0是q的充要条件的有()

A.1组B.2组

C.3组D.4组

解析：选A.而户夕，故夕是q的必要不充分条件.

(2)0=>q,且户p,故。是q的充要条件.

(3)△=1+4而，当0>0时，△>1,方程/一x—加=。有实根，所以。0q.反之不

成立，所以p是q的充分不必要条件.

(4)p-.|Jf—11>2,即x>3或—1,C.p^-q,而(7=40.

二夕是q的必要不充分条件.

8.(2011•高考天津卷)设x,yGR,则“x22且是“f+724”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A./+/24表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即

|削22且|y|22,而x22且y22时，*+424,故A正确.

9.“4>4,伙5”是“一次函数尸(,一4)计8—5的图象交y轴于负半轴，交x

轴于正半轴”的条件.

解析：如果一次函数y=(4-4)x+8—5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半

轴，则有人一5<0且4一4>0,得乐5,A>4；反之，当从5时，。一5<0,即图象交

y轴于负半轴，A>4时，A—4>0,即图象交x轴于正半轴.

因此“4>4,伙5”是“一次函数尸仪一4)在8—5的图象交/轴于负半轴，交

x轴于正半轴”的充要条件.

答案：充要

10.命题,：x>0,y<0,命题/x>y,则夕是q的什么条件？

xy

解：p：x>0,y<0,则0x>y,2>与^立；

xy

反之，由x>y->-==>~—~>0,

9xyxy

因p—x<0,得孙<0,即x、y异号，

又x>y,得x>0,y<0.

所以“x〉0,水0”是“x>y,的充要条件.

Xy

11.(创新题)求关于x的方程af+2x+1=0至少有一